![La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas
sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema
se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro.
El procedimiento general de resolución de estas situaciones se divide en el análisis recursivo de cada una de las etapas del problema, en
orden inverso, es decir comenzando por la última y pasando en cada iteración a la etapa antecesora. El análisis de la primera etapa finaliza
con la obtención del óptimo del problema.
Terminología y notación básica
Períodos o etapas: Sea N= {1, 2,....., n} un conjunto finito de elementos. Mediante el índice , representamos cada uno de ellos. N es el
conjunto de períodos o etapas del proceso. En la ilustración anterior N= {1, 2, 3, 4}, las cuatro etapas del viaje, cada una de ellas es un período
y se representa mediante un valor del índice n, así cuando n =1 nos estamos refiriendo a la primera etapa del proceso.
Espacio de estados: { } es una familia de conjuntos, uno para cada período n. S se denomina espacio de estados en el período n. Cada uno de
sus elementos, que se representa mediante Sn, es un estado, que describe una posible situación del proceso en ese período. En nuestro
ejemplo, S1 = {1}, S2= {2, 3, 4}, S3= {5, 6, 7}, S4= {8, 9}.
La función recursiva: Dados unos nodos y unos arcos que conectan estos nodos, el problema de la diligencia intenta encontrar la ruta más
corta que conecta un nodo de arranque con el nodo final (el destino).
Sea s: el estado de inicio; j: estado destino
* n: la fase, normalmente representa el número de arcos hasta el destino.
* C(s,j): costo o distancia de ir desde s hasta j.
* f(n,s): la política de costo mínimo cuando se encuentra en el estado s de la etapa n.
La relación recursiva dinámica se expresa como
f(n,s) = mínimo [C(s,j) + f(n-1,,j)] para todos los arcos ( s,j) en la red](https://image.slidesharecdn.com/programacionnolineal-150807200636-lva1-app6891/85/Programacion-no-lineal-4-320.jpg)
Programacion no lineal
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MARACAIBO ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS CÁTEDRA: OPTIMIZACION DE SISTEMAS Y FUNCIONES PROGRAMACION NO LINEAL INTEGRANTES: YREANA BRAVO C.I. 18.318.383 JOSE HUMBERTO OLIVARES C.I. 19.485.406 MARACAIBO 07/08/2015
- 2. Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales. Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al contrario del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal. Se introducirán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver algunos de estos problemas. Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL)de la siguiente manera: Encuentre los valores de las variables que: Como en la programación lineal z es el funcional del problema de programación no lineal y son las restricciones del problema de programación no lineal. Un problema de programación no lineal es un problema de programación no lineal no restringido. El conjunto de puntos , tal que es un número real, es, entonces, es el conjunto de los números reales. Los siguientes subconjuntos de (llamados intervalos) serán de particular interés: Y en forma análoga a las definiciones de la programación lineal.
- 3. La programación cuadrática es un problema de optimización matemática. La cual busca minimizar o maximizar una función cuadrática con diferentes variables sujeto a limitaciones lineales sobre estas variables. se puede formular de la siguiente forma: Se asume que x representa . .Q es una matriz simétrica nxn y que c es cualquier vector nx1. F(x)= ½ XT Qx + CT X Ax ≤ b Ex = d Un problema de Programación Cuadrática es aquél que contiene una función objetivo cuadrática y restricciones lineales MIN F(X) = 𝒋=𝟏 𝒏 𝑪𝒋𝑿𝒋 + 𝒋=𝟏 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝒒𝒊𝒋 𝑿𝑱 𝒙𝒊 S.A 𝒋=𝟏 𝒏 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋 ≥ 𝒃𝒊 𝒊 = 𝟏 … , … , 𝒎 𝑿𝒋 ≥ 𝟎 En notación matricial: MIN f(X) =cx + xtQx S.A g1 (X) = x ≥ 0 g2(X) = Ax – b ≥ 0
- 4. La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro. El procedimiento general de resolución de estas situaciones se divide en el análisis recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es decir comenzando por la última y pasando en cada iteración a la etapa antecesora. El análisis de la primera etapa finaliza con la obtención del óptimo del problema. Terminología y notación básica Períodos o etapas: Sea N= {1, 2,....., n} un conjunto finito de elementos. Mediante el índice , representamos cada uno de ellos. N es el conjunto de períodos o etapas del proceso. En la ilustración anterior N= {1, 2, 3, 4}, las cuatro etapas del viaje, cada una de ellas es un período y se representa mediante un valor del índice n, así cuando n =1 nos estamos refiriendo a la primera etapa del proceso. Espacio de estados: { } es una familia de conjuntos, uno para cada período n. S se denomina espacio de estados en el período n. Cada uno de sus elementos, que se representa mediante Sn, es un estado, que describe una posible situación del proceso en ese período. En nuestro ejemplo, S1 = {1}, S2= {2, 3, 4}, S3= {5, 6, 7}, S4= {8, 9}. La función recursiva: Dados unos nodos y unos arcos que conectan estos nodos, el problema de la diligencia intenta encontrar la ruta más corta que conecta un nodo de arranque con el nodo final (el destino). Sea s: el estado de inicio; j: estado destino * n: la fase, normalmente representa el número de arcos hasta el destino. * C(s,j): costo o distancia de ir desde s hasta j. * f(n,s): la política de costo mínimo cuando se encuentra en el estado s de la etapa n. La relación recursiva dinámica se expresa como f(n,s) = mínimo [C(s,j) + f(n-1,,j)] para todos los arcos ( s,j) en la red
- 5. Una función separable es aquella aquella que puede expresarse expresarse como la suma de funciones funciones de una única variables variables. Estas funciones funciones tienen la ventaja ventaja de que los términos no lineales pueden ser aproximados por términos lineales a tramos (piecewise). Utilizando esta técnica se puede escribir un programa lineal entero, e incluso lineal continuo para estas funciones. El término separable puede aparecer en la función objetivo o en las restricciones de un problema de optimización.
- 6. La Programación geométrica soluciona un caso especial de problemas de Programación No lineal. Este método resuelve al considerar un problema dual asociando los siguientes dos tipos de Programación No lineal: Problema geométrico no restringido, Problema geométrico restringido. La programación geométrica surge cuando la función objetivo y funciones de restricción son de la siguiente forma: Donde: En tales casos, las representan las constantes físicas y las son las variables de diseño, estas funciones por lo general no son cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de programación convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas de programación geométrica.
- 7. La Optimización Estocástica busca la mejor decisión en un escenario dependiente de sucesos aleatorios, dependientes del azar, ya sean esos sucesos los precios de un producto, la duración de una tarea, el número de personas en la cola de un cajero, el número de averías en una flota de camiones, o incluso la aprobación de una normativa, vamos, cualquier cosa. Procesos estocástica En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.