AnáLise CombinatóRia
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O documento discute conceitos de combinatória como combinação simples, permutação simples e arranjos simples. Explica como calcular o número de possibilidades para cada um desses casos, usando fórmulas como n!/(p!(n-p)!) para combinação e n! para permutação. Fornece exemplos como comissões formadas com 5 alunos e anagramas da palavra "amor".
AnáLise CombinatóRia
- 2. ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.
- 3. COMBINAÇÃO SIMPLES Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
- 4. Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe? 1° aluno 2ª aluno n° de comissões ( 5 possibilidades) ( 4 possibilidades) (10 comissões) A B AB C AC D AD E AE B A BA = AB C BC D BD E BE C A CA = AC B CB = BC D CD E CE D A DA = AD B DB = BD C DC = CD E DE E A EA = AE B EB = BE C EC = CE D ED = DE
- 5. FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES: No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que é o fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2). O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é: C n, p = n ! p! ( n – p)! C 5, 2 = 5 ! = 5. 4. 3. 2. 1 2! ( 5 – 2) ! 2! 3! C 5, 2 = 120 = 120 = 10 2.1.3.2.1 12 n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 5 alunos (A, B, C, D e E) p= agrupamentos possíveis ex: duplas ou tomados dois a dois.
- 6. PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. P n = n!
- 7. Ex.: Quantos são os anagramas da palavra AMOR? AMOR AMRO A AORM AOMR ARMO AROM MORA MOAR MROA M MRAO MAOR MARO OAMR OARM O OMAR OMRA ORMA ORAM R O M A R O A M R A O M R R A M O R M A O R M O A P 4 = 4! P = 4. 3. 2. 1 = 24 Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor. Com a 1ª letra da palavra amor, (A) , consigo obter 6 possibilidades
- 8. Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra OSSO ? OSSO OSOS SOSO OOSS SSOO SOOS P 4 2, 2 = 6 permutações ou anagramas
- 9. ARRANJOS SIMPLES Arranjos simples é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
- 10. 1 ) Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperança e Fluminense tomados quatro a quatro. a) Quais são as possibilidades que podemos encontrar?
- 11. 1° lugar 2° lugar 3° lugar 4° lugar Palmeiras Esperança Fluminense Juventude Palmeiras Fluminense Esperança Fluminense Palmeiras Esperança Fluminense Esperança Palmeiras Esperança Palmeiras Fluminense Esperança Fluminense Palmeiras Juventude Esperança Fluminense Juventude Fluminense Esperança Fluminense Juventude Esperança Fluminense Esperança Juventude Esperança Juventude Fluminense Esperança Fluminense Juventude Juventude Palmeiras Fluminense Juventude Fluminense Palmeiras Fluminense Juventude Palmeiras Fluminense Palmeiras Juventude Palmeiras Juventude Fluminense Palmeiras Fluminense Palmeiras Juventude Palmeiras Esperança Juventude Esperança Palmeiras Esperança Juventude Palmeiras Esperança Palmeiras Juventude Palmeiras Juventude Esperança Palmeiras Esperança Juventude Palmeiras Esperança Fluminense
- 12. b) Quantas possibilidades existem? Existem 24 possibilidades. O número de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A 4, 4 ) também pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem: A 4, 4 = 4. 3. 2. 1 = 24
- 13. c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar? Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os demais times também possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar.
- 14. 2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5? 1 ° algarismo 2° algarismo números formados (4 possibilidades) (3 possibitidades) ( 12 números) 3 23 2 4 24 5 25 2 32 3 4 34 5 35 2 42 4 3 43 5 45 2 52 5 3 53 4 54
- 15. Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si: * pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo) Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12
- 16. Trabalho feito por: Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete Estudantes do curso de Ciências Exatas – UNIVATES Lajeado - RS