QuestõesFísica
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O documento apresenta três questões resolvidas sobre movimentos. A primeira explica a precessão do eixo de rotação da Terra, causada pela inclinação do eixo em relação ao plano da órbita e pelas forças gravitacionais do Sol e da Lua. A segunda calcula a aceleração inicial de um sistema composto por uma escada e um homem. A terceira demonstra que a posição, velocidade e aceleração de um movimento harmônico simples podem ser representadas pela projeção de um vetor girante, cuja velocidade
8 8
ω
˙ ˆ
τ = [150g cos α − (810 sin α2 + 2250 cos α2 )](k)
8
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Sabemos que τ = I wk, e pelo c´lculo do I:
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mL2 L 2 1 2
Isistema = Ibarra + Ihomem = + m(LCM − ) + M ( )
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20(3)2 3 1
Isistema = + 20( )2 + 60( )2
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Isistema =
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5g cos α
Temos finalmente: ω =
˙
4 + 6 cos2 α
Quest˜o 3 Demonstre que a posi¸ao, a velocidade e a acelera¸ao de uma part´
a c˜ c˜ ıcula que realiza um mo-
vimento harmˆnico simples podem ser representadas pela proje¸˜o de vetores girantes. Neste caso, qual a
o ca
rela¸ao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequˆncia angular do movimento oscilat´rio?
c˜ e o
Solu¸˜o
ca
obs: No referencial considerado, usaremos A = Aˆ
i
Considerando um vetor de m´dulo A girante sobre o ponto de equil´
o ıbrio do MHS(x = 0),
podemos escrever que, num instante qualquer em que o vetor faz um angulo de θ com o eixo
ˆ](https://image.slidesharecdn.com/tarefa5-130401004353-phpapp01/85/QuestoesFisica-3-320.jpg)
QuestõesFísica
- 1. ıcios Resolvidos - 5o Tarefa Exerc´ . 31 de mar¸o de 2013 c Quest˜o 1 Explique detalhadamente o movimento de precess˜o do eixo de rota¸˜o da Terra. N˜o se a a ca a esque¸a de apresentar as causas e suas consequˆncias mais importantes. Lembre-se de ler a postagem c e anterior onde indiquei as referˆncias que podem ajud´-lo a cumprir esta atividade. e a Solu¸˜o ca O movimento de transla¸ao descrito pela Terra em torno do sol se d´ em uma trajet´ria el´ c˜ a o ıptica. A terra, a lua e o sol s˜o coplanares a essa orbita, mostrada na figura. a ´ No entanto, o eixo de rota¸ao da Terra n˜o ´ perfeitamente perpendicular a esse plano. Na verdade, c˜ a e o eixo de inclina¸˜o da Terra ´ inclinado de 23o 30’, em rela¸ao a posi¸ao ortogonal, conforme mostra a ca e c˜ ` c˜ figura: A diferen¸a entre as for¸as gravitacionais do sol e da lua, que ´ simplificadamente a for¸a gravitacional c c e c resultante sobre a terra, tem dire¸ao no plano da el´ c˜ ıptica enquanto a dire¸˜o do vetor r ´ inclinado de ca e
- 2. 23,5◦ em rela¸ao a essa dire¸˜o. Logo, essa diferen¸a de for¸as gerar´ um torque: c˜ ca c c a τ = r ∧ (Fsol − Flua ) Admitindo a figura acima e a for¸a feita pelo sol maior que a for¸a feita pela Lua, temos que o sentido c c de T ´ perpendicular ao plano da tela do computador e aponta para dentro. Assim, temos que o m´dulo e o desse torque ´ dado por e 6400000.(35, 7.1065 − 7, 8.1028 ).0, 398 = 9, 13.1070 N.m Mas sabemos tamb´m que o torque ´ a varia¸ao do momento angular (L) por unidade de tempo. Sendo e e c˜ assim, a varia¸ao vetor que no momento da figura est´ no plano da tela, tem sentido para dentro do plano c˜ a do papel. Ent˜o o polo norte descrever´ um movimento circular em torno do eixo Ortogonal a el´ a a ` ıptica. Olhando novamente para o plano da el´ıptica, temos: Quest˜o 2 Uma escada AB de comprimento igual a 3m e massa 20Kg est´ apoiada contra uma parede a a sem atrito(Figura abaixo). O ch˜o ´ tamb´m sem atrito e, para previnir que ela deslize, uma corda OA ´ a e e e ligada a ela.Um homem com 60Kg de massa est´ sobre a escada numa posi¸ao que ´ igual a dois ter¸os a c˜ e c do comprimento da escada, a partir da extremidade inferior. A corda quebra-se repetinamente. Calcule (a) a acelera¸ao inicial do centro de massa do sistema homem-escada, e (b) a acelera¸˜o angular inicial em c˜ ca torno do centro de massa. Solu¸˜o ca obs: origem O. L cos α L sin α L cos α 2L sin α i) CM da barra: ( , ) ii) CM homem: ( , ) iii) CM do sistema: 2 2 3 3 L cos α 2 20 + L cos α 60 3 3 xCM = = L cos α 80 8 L sin α 2 + 2L sin α 60 20 3 5 yCM = = L sin α 80 8 L 9 15 rCM = (3 cos αˆ + 5 sin αˆ = cos αˆ + i j) i sin α sin αˆ j 8 8 8 9 dα 15 dα dα 9 15 Derivando: vCM = (− sin α) ˆ + i cos α ˆ como j = ω => vCM = (− sin α)ωˆ + i cos αωˆ e j 8 dt 8 dt dt 8 8 derivando novamente: 9 15 aCM = (ω sin α + ω cos −α)ˆ − (ω cos α + ω(− sin α)(−ω))ˆ ˙ i ˙ j 8 8
- 3. 9 15 aCM = ω sin αˆ − ω cos αˆ ˙ i ˙ j 8 8 B) For¸as na escada (em m´dulo) e a 2o lei de Newton: c o 9 x = Nparede = (M + m)aCM,X = 80 ω sin α = 90ω sin α ˙ ˙ 8 y = Nchao − (M + m)g = (M + m)aCM,Y => n − chao = 80g − 150ω cos α ˙ Torque em rela¸ao a um eixo perpendicular a figura, passando por CM: c˜ ` 15 9 ˆ τ = [Nparede (3 sin α − sin α) − Nchao (3 cos α − cos α)](−k) 8 8 ω ˙ ˆ τ = [150g cos α − (810 sin α2 + 2250 cos α2 )](k) 8 ˙ˆ Sabemos que τ = I wk, e pelo c´lculo do I: a mL2 L 2 1 2 Isistema = Ibarra + Ihomem = + m(LCM − ) + M ( ) 12 2 8 20(3)2 3 1 Isistema = + 20( )2 + 60( )2 12 8 8 75 Isistema = 4 5g cos α Temos finalmente: ω = ˙ 4 + 6 cos2 α Quest˜o 3 Demonstre que a posi¸ao, a velocidade e a acelera¸ao de uma part´ a c˜ c˜ ıcula que realiza um mo- vimento harmˆnico simples podem ser representadas pela proje¸˜o de vetores girantes. Neste caso, qual a o ca rela¸ao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequˆncia angular do movimento oscilat´rio? c˜ e o Solu¸˜o ca obs: No referencial considerado, usaremos A = Aˆ i Considerando um vetor de m´dulo A girante sobre o ponto de equil´ o ıbrio do MHS(x = 0), podemos escrever que, num instante qualquer em que o vetor faz um angulo de θ com o eixo ˆ
- 4. x,sempre medido no sentido trigonom´trico a partir do primeiro quadrante, a proje¸˜o hori- e ca zontal da ponta do vetor ´ e x = A cos θ = A cos (ωt + φ0 ) pois do MCU temos θ = ωt + φ0 , onde φ0 ´ o angulo inicial do movimento do vetor. Derivando e ˆ essa equa¸ao, e em seguida derivando novamente o resultado, chegamos a c˜ dx = v = −Aω sin (ωt + φ0 ) dt dv = a = −Aω 2 cos (ωt + φ0 ) dt Assim, verificamos que a proje¸ao da ponta do vetor se comporta como uma part´ c˜ ıcula em MHS no eixo horizontal,com A sendo a amplitude,e a frequˆncia angular do movimento ´ a mesma e e do vetor, pois s´ uma vez a cada volta do vetor a proje¸˜o ter´ a mesma posi¸ao,velocidade e o ca a c˜ acelera¸ao que uma certa posi¸˜o na volta anterior. c˜ ca