Remember 06

REMEMBER VI
COD. 955

b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta
01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357? escola
a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9 c) algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta
-7 –6
d) 3 / 8 . 10 e) 3 / 8 . 10 escola
d) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta
02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio escola
quando são 12h e 25 min é: e) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola
a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137°
12. A solução de 5x x 1  x x 1 1 2 é:
03. Se cada número em um conjunto de dez números é
aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez a) { 2,1 } b) { 2/3 } c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 }
números originais:
a) permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidades
c) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 aa4 4b b4
unidades e) é aumentada em 2 unidades 13. A fração aa2 2b b2
é igual a:
a6 b6
a) a 6 b b) a a2 2 b b2 c) a a2  b b2
1 1
04. A igualdade xx1
1 xx2
é satisfeita: d) a 2  b 2 d) a 2 2 b 2
a) por nenhum valor real de x b) por xx1 ou xx2
c) apenas x x 1 d) apenas x x 2 e) apenas x x 0 14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o
lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10%
05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e
x = 1. Quando x = 8, y é igual a: Q é:
a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024 a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1
d) 199 : 200 e) 201 : 200
06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base
de 3 por 10 centavos, e igual quantidade à base de 5 por 20 15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de
centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à 1: 3. Se o raio do círculo menor é r, então a diferença entre
base de: os raios é aproximadamente:
a) 8 por R$ 0,30 b) 3 por R$ 0,11 c) 5 por R$ 0,18 a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r
d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50
16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é:
07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito
salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um e) não definida
aumento de:
a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00 17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a:
a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25
08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é:
a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos x 18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero.
b) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos y Portanto, suas raízes são:
c) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos a) reais e iguais b) racionais e iguais c) racionais e
d) é um par de retas distintas d) irracionais e distintas e) imaginárias
e) não existe
19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da
09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O diferença é 8 são as raízes da equação:
raio do círculo é: a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0
a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0

10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade 20. A expressão √25 – t² +5 se anula para:
média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se a) em nenhum valor real ou imaginário de t
durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma? b) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores
a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12 imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas
d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40 para alguns valores reais d) t = 0 e) t = ±5
11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em 21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área.
aprender freqüenta esta escola” é: Então altura relativa à hipotenusa mede:
a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c²
escola
22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar
entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou

1

então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5% b) eles formam uma progressão geométrica
Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza: c) eles são distintos d) eles são números negativos
a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00 e) apenas b é negativo e a e c são positivos
d) R$ 345,00 e) R$ 360,00
33. Carine inicia uma viagem quando os ponteiros do
23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e
contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino
c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio
que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem
de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas é:
como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 min
deve: e) nra
a) deixar o total inalterado b) subtrair 11 centavos
c) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavos 34. Uma estaca de 6 cm e outra
e) somar x centavos de 18 cm de diâmetro dão
colocadas lado a lado como
24. A função 4x² - 12x – 1: mostra a figura, e amarradas
a) sempre cresce à medida que x cresce com um arame. O menor
b) sempre decresce à medida que x decresce comprimento de arame que
c) não se pode anular contorna as duas estacas em cm é:
d) tem um valor máximo quando x é negativo a) 12√3 + 163 b) 12√3 + 73 c) 12√3 + 143
e) tem um valor mínimo em -10. d) 12 + 15d e) 24

25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è : 35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas
a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a. de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade
das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das
26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o
casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de dobro das bolas do segundo. O número de bolas é:
volta para Édio com 10% de prejuízo. Então: a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dados
a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ c) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra
100,00
c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal,
100,00 tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno
e) Édio lucra R$ 1.100,00 de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque
tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros,
27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + é:
s² é igual a: a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5
a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p²
37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a
28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número
de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo com os dígitos em posição reversa é subtraído do número
x por –x na função dada. Se b x0 e c 0 0 então esses gráficos original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois
interceptam-se: dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são:
a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos y a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4
b) em um ponto localizado fora dos eixos e) 4 e 5
c) somente na origem d) em um ponto no eixo dos x
e) em um ponto no eixo dos y 38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros
quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes,
29. Na figura, PA é depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se
tangente ao consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números
semicírculo SAR; originais é:
PB é tangente ao a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17
semicírculo RTB;
SRT é um segmento 39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y
de reta e os arcos é zero, q deve então valer:
estão indicados na a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q
figura. O ângulo APB
mede:
40. Se b 4 d, então as frações ax + b e b são distintas se:
a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) c) (c - a) - (d – b)
cx + d d
d) a – b e) a + b
a) a = c = 1 e x a 0 b) a = b = 0 c) a = c = 0
30. Cada uma das equações 3x 2 2 2 2 25;;2x x 112 2 2x x 112 e x 2 2 7 7 x x 1 têm : d) x = 0 e) ad = bc
a) duas raízes inteiras b) nenhuma raíz maior que 3
c) nenhuma raíz nula d) apenas uma raíz 41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra
e) uma raíz negativa e ooutra positiva um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e
depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria
31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse
em um trapézio por uma linha paralela a um de seus lados. percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado
Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo atrasado uma hora apenas. A velocidade usual do trem, em
original, o comprimento da mediana do trapézio é: km/h, é:
a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2 a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50
e) (2√3 - √6) / 2

32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então 42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e
outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é: a.√(b /c) são iguais se e somente se:
a) eles formam uma progressão aritmética a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / a

2

d) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1. a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h
43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das 01.D 11.C 21.B 31.D 41.A
equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são: 02.B 12.D 22.D 32.B 42.C
a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários
d) 2 pares reais e 2 pares imaginários 03.B 13.C 23.C 33.A 43.E
e) 1 par real e 2 pares imaginários. 04.E 14.A 24.E 34.C 44.A

44. Em um círculo de centro O é traçado uma corda AB de 05.D 15.D 25.E 35.B 45.A
tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e 06.B 16.E 26.E 36.E 46.B
estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é 07.B 17.C 27.B 37.B 47.C
traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre
x e y? 08.D 18.A 28.E 38.B 48.B
a) x = 3y 09.D 19.B 29.E 39.B 49.C
b) x = 2y
c) x = 60° 10.A 20.A 30.B 40.A 50.C
d) não existe e) 3 km /h.
nenhuma
relação especial
entre x e y
e) x = 2y ou x =
3y, dependendo do comprimento de AB.

45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não GABARITO
nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro
termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma 01(D) Trata-se de uma questão que envolve números
dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez decimais. Temos então que:
primeiros termos da terceira seqüência é: 3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a
a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a. alternativa correta.

46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e 02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos:
y = 2 / 3 se interceptam em: O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°.
a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum ponto O ponteiro pequeno (das horas) desloca-se: 1/12 do
e) em um número não limitado de pontos deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5°
∴ ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’.
47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são:
a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b
+c=1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente 03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média
quando a = b = c = 0. aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n.
Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão
48. Dado um ∆ uma média aritmética M tal que:
ABC com M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20) ] / n =
medianas AB, BF e = (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n =
CD; com FH = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa.
paralela a AF e de
igual comprimento. 04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x –
Traça-se BH e HE 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0.
e estende-se FE até
encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é 05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x².
necessariamente correta? Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16.
a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DC Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4.
d) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF
06(B) Considerando as duas compras temos dois preços:
49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em: 1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender
x–2 por x, temos: n.x = (10 / 3) n
a) um ponto cuja abscissa é 2 b) um ponto cuja 2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender
abscissa é 0 por x, temos: n.x = (20 / 5) n.
c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5
dois pontos distintos ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11.

50. Para 07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original).
poder Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴
ultrapassar B S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de
que corre a Sn.
40 Km/h em
uma estrada 08(D) Fatorando o dado, temos:
de pista x² - 4y² = (x + 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0.
simples, A Cada uma dessas equações representa uma reta.
que corre a
50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo 09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para
C, que corre em direção a A com velocidade de 50 qualquer ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I
– Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 +
km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder
ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua 15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e
velocidade de: b → catetos e r = raio do círculo inscrito).

3

a- b=8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e
b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes
em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é:
10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em x² - 6x – 7 = 0.
velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de
a km (∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual a zero um
horas. vez que é a soma de um número positivo com um número
Cálculo do tempo das n paradas de m minutos (∆t2): não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir
∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas. somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta.
Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = 21(B)2Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c.
( 3 a + 2mn)/120 .

11(C) A negação consiste em dizer que é falso que “
nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o
que é o mesmo de dizer: “algumas pessoas lentas em 22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar
aprender freqüentam esta escola”. cada desconto único da forma D = 1 – (1 – i1)(1 – i2)(1 - i3)
onde i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada
12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode desconto sucessivo. Vejamos o desconto de cada proposta:
esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. 1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%.
A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) =
= 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4%
quadra-se a equação, ou seja: 2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%.
5x x 1 1 2 2 x x 1 1quadrando) D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05)
= 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%.
5x x 1 1 2 2 4 x x 1  x x 1 1 4x x 4 4 44 x x 1
Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos
1 x x 1 1 1 x x 1 1quadrando-se ss x² ² 2x  1 1 x x 1 como economia em relação a 1ª de:
1 x² ² 3x  2 2 0 0 x x x 1 e x" " 2. (D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00.
Verificação: Para x x 1 1 5.1 1 1  11 1 1 4  0 0 22 (Veja também outra maneira de resolução modelo
2 2 22VV V x x 1 é raiz. REMEMBER I – problema 22).
Para x x 2 2 5.2 2 1  22 1 1 9  1 1 44
4 4 22FF F x x 2 não é raiz.Logo a opção certa é a aDD. 23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c.
Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x).
A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos
13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, devem ser subtraídos.
a² - b² = (a + b)(a – b) , temos:
24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma
aa4 4b b4 2aa2  b b2 22aa2 2bb2 2
2 2 aa2  b b2 . parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0
cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; -∆ / 4 a) ∴ xv = 3/2
aa2 2b b2 aa2 2bb2
= 1,5 e yv = - 10 (mínimo).
14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = (Veja REMEMBER I- Problema 4) .
1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L².
A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então: 25(E) Trata-se de uma questão sobre complementar
Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100. quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo:
x4  2x 2  9 9 x4  2x 2  9  4x 2 2 4x 2 2 x 4  6x 2  9 9 4x 2 2
2
2 2 2 22x 2  33 2 22x x2 2 2x 2  3 3 2xxxx 2  3  2x x x
Área Círc.menor r2
m1 3
3 2 R²
² 1
3
3 R R r 3.
Área Círc. maior
x4 4 9 99x 2 2 2x  333x 2  2x  33.
Então a diferença entre os raios r . . .
r R R r r r 3 3r r r 3 3 1 1 rr1,73 3 111 0,73r
x2 2.x2 . 3 3
15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos:
6x2

16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a
26(E) Édio vende com lucro de 10% =
expressão não tem sentido para esses valores, pois não se
= 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00
divide por zero.
Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra=
= 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00.
logx x 5 log3 3 32 2 logx x log3 5 5 52 2 A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou:
log x5 5 52 2 243 3 10 02 2 x x 2, 43 (que satisfaz
x 11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00.
3
(Veja REMEMBER II - Problema 5)
a condição do log x, que é x x 0).
17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do 27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes:
quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = -
propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição de b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de
logarítmos (logx a = b → x b = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade,
0 < x 0 1, sendo todos reais. fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema.
Vejamos como é fácil:
18(A) O discriminante valendo zero (∆ = 0) significa que as (r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q.
raízes são reais e iguais desde que os coeficientes da
equação sejam números reais. 28(E) Para x 2 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c.
Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴
19(B) Denominando os números de a e b temos: existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa
a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. correta.
Formamos então os sistemas:
a+b=6 e a+b=6 29(E) Trata-se de uma questão que envolve ângulos
replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB =

4

360° - ]BPA (veja sempre a figura para acompanhar ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o
cálculos). Vamos ao problema: deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro
Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo
intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 =
excêntricos exteriores) temos:
43,6min.
(i) ) RPA R ABAAR
2 2a cc x2 c cc caa 2 2ccx Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min.
2 2
2b b d dddbbxx 2d x Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs
2iiii BPR B BRBBM 2 2 2
2 2 43,6 min = 6 h.
Então:: BPA B 2cc x  2d2 x 2 c  d.
2
Como C APB A 360° ° BPA B 360° ° °c  dd 34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes
d d APB A A 180° ° cc   180° ° dd d a  b. externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2.
Nota:a)No semi-círculo SAR: a  c c 180° ° a a 180° ° c Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo)
b)No semi-círculo RMT: x   b b x x  d d 180° ° b b 180° ° d
temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴
12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm
No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴
DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC
= √3 / 3 → α = 30° ∴
Arco CE = A1 = 120°/ 360°. 2 .3 = 2. ∴ A1 = 2
e o arco AGB = A2 = 240°/ 360 . 2 .9 = 12. ∴ A2 = 12

30(B) Resolvendo individualmente cada equação
encontram-se os seguintes conjuntos soluções:

Para : ii 3x² ² 2 2 25 5 x x x3 3 Si S SS33
ii) (2x – 1)² ² (x – 1)² ² 2x – 1 1 1x x 11² ²
2x x 1 1 1 1x x 11 onde:
2x – 1 1 x – 1 1 x x 0
∴ m.C = 12√3 + 143 .
e 2x – 1 1 - (x – 1) ) x x 2 / 3 3 Sii S {0, 2 / 3}
iii) x² ² 7 7 x x 1 (quadrando a equação, temos)
35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos
x² - 7 7 x – 1 1 x² - x – 6 6 0 0 x’ ’ -2 e x” ” 3.
Como se trata de equação irracional deve-se fazer a verificação
que cada menino pega:
com as raízes encontradas, ou seja:
b b 2
Parax P P2 2 2222² ² 7 7 72 2 1 1 13 3 33 , , FFpoisnãoexistereal 1ºmen. . 2
 11 2
; 2ºmen. . 1 bb2 2 bb2
3 2 6
e
comraizquadrada negativa. Então E 2nãosatisfaz. bb2
3ºmen. . 2 6
6 bb2 .Podemos então armar a
3
Parax P 3 3 3² ² 7 7 3 3 1 1 2 2 2 , , VV
V Siii S { 3 }. equação: b b b22  bb2  bb2 3 0b b 0.
6 3
Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B).
Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumir
31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; qualquer valor inteiro da forma 2  6b para b b 1, 2, ...
do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao.
Veja pela figura que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois 36(E)A área da superfície retangular é dada por:
Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No
/ 2. ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 .
Usando o teorema das áreas, A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras).
temos:
Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE
= √2.
A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus
lados paralelos (suas bases)
∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2.

32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4)
37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o
∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica
número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para
de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica.
subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d
= 10 ). O mesmo acontece com as centenas e dezenas, ou
33(A) Seja x o número de graus que o
seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴
ponteiro das horas se move entre 8
100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10
horas e o começo da viagem e por sua
100u + 10 d +c
vez é 240° + x o deslocamento em
graus do ponteiro dos minutos. Como o 100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) =
ponteiro dos minutos é 12 vezes mais = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c.
rápido que o das horas, em qualquer Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6.
intervalo de tempo, temos: Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4 ∴
12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82° as dezenas d = 9 e as centenas c = 5.
43,6 minutos ∴
Horário da saída 8h 43,6minutos. 38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos
como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a
Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o
da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do

5

sistema de equações abaixo, que resolvendo por 44(A) Um modo de resolução do problema usando a
escalonamento temos: propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos:
i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴
1/33a  b  cc  d d 29 a  b  c  3d d 87 ]O = ]C = y.
1/33b  c  dd  a a 23 3a  b  c  d d 69 ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA =
7
1/33c  d  aa  b b 21 a  3b  c  d d 63 ] OAB
1/33d  a  bb  c c 17 a  b  3c  d d 51
= 2y pois
] OBA é
a  b  c  3d d 87 externo ao
a  b  3c  d d 51 ∆OBC.
iii) Então
a  3b  c  d d 63
] x =
3a  b  c  d d 69
]OAC + y
Escalonando o sistema, temos: ( ]x é
a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 externo ∆OAC ) ∴
2c c 2d d d36 c c d d d18 b b d d d12 ]x = 2y + y = 3y.
2 6
2b b 2d d d 24 b bdd d 12 c cdd d 18
42b b 2c c 8d d d192 2b b c c 4d d d96 8b b c c 4d d d96
Fazendo L2 L4 e finalmente L3  L4, temos:
a  b  c  3d d 87 a  b  c  3d d 87 d d 21
45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . )
b b d d d12 b b d d d12 cc 3
8 6 Logo B é a opção onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i);
c cdd d 18 c cd d d 18 bb 9
aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii).
8c c 5d d d108 86d d d126 a a 12
Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos:
q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2.
e então r = 1 – 2 = 1.
39(B) Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1)
p² S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023.
y min m mm a 0 0 0 0 0 0 p² ² 4. 1. q q 0 0 q q
4a 4
.
. Veja REMEMBER I, problema 41) a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2
∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45.
40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos:
ax b Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978.
cx d
d b a adx  bd b bcx  bd b x x adabc
a
1

b a
ad a bc b 0 0 ad a bc b d c 1 1 d c 46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar
b b d ; a a c e x x 0. o ponto interseção das quatro retas.
A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x não
2x  3y y 6
nulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção.
41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da 4x x 3y y 6
viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo x x 2
normal da viagem, em horas, é dado por: 1
x/v + 1 = (x + v) / v . yy 2
Considerando o tempo em cada viagem temos:
1 x x v 4v 2v 5x 4x 4v 8v
a) 1  2
 4v
5 v  22 4v
v 4v
v x x 6v vii Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema.
5
80 1 xx80 x v 320 2v 5xx 400 4x 4v Logo (B) é a opção correta.
bb 1  v  2
 4v
5 v  11 4v
v 4v
5

v v80 0 0x  2v v x x 2v  80 (ii). 42(C) 47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac
∴ a + b + c = 1.
Fazendo (i) ) (ii),temos: 6v v 2v  80 0 v v 20km/h.
Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre 48(A) Analisado cada opção, verifica-se:
números inteiros e positivos. (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE.
(C) é verdadeira porque, quando se estende HE, que é
b b b paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados
Temos: a  c c a c cquad rand oo o a  c c a² b c
c correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB.
ac b a²b bba²² 11 (D) é verdadeira
c c c c ac a a²b b b b c c a FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB.
43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos (E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB.
(B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um
desafio: que informação é necessária para provar (B)?

49(C) Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) =
x + 2 ( para x x 2, ou então y 4; que é a condição de
domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4).
A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz
parte do gráfico. Logo (C) é a opção correta. Para melhor
entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano.

50(C)

:

6

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