20100926 ontology konev_lecture05

Остановка

Для любой таблицы S0 ,
не существует бесконечной последовательности

S0 , S1 , S2 , . . .

т.ч. Si+1 получена из Si
применением одного из правил вывода

Онтологии и представление знаний, 2010 1

Остановка

Для любой таблицы S0 ,
не существует бесконечной последовательности

S0 , S1 , S2 , . . .

т.ч. Si+1 получена из Si
применением одного из правил вывода

Proof: Никакое правило кроме →∀ не применяется дважды к одному узлу

→∀ никогда не применяется к x боле чем
число непосредственных потоков x (т.е, y т.ч. (x, y): R),
что ограничено размером концепта

Правила добавляют узлы z: D т.ч. D подконцепт C


Корректность

Если начав с S0 = {x: C}
и применяя правила вывода
можно построить полную непротиворечивую таблицу Sn ,
то C реализуем

Sn задает интерпретацию I = (∆I , ·I ):
• ∆I содержит все индивиды из Sn

• для x ∈ ∆I и имени концепта A,
I
x∈A т. и т.т., когда x: A ∈ Sn
• для x, y ∈ ∆I и имени роли R,
(x, y) ∈ RI т. и т.т., когда (x, y): R ∈ Sn

Легко убедиться, что C выполняется в I, т.е., C I ̸= ∅


Полнота

Выполнимость S: отображение в интерпретацию (доска).

• Предположим, что S выполнима и

S →⊓ S ′ , S →∀ S ′ или S →∃ S ′ .
Тогда S′ также выполнима

• Если

S →⊔ S ′ и S →⊔ S ′′
то (по крайней мере одна из) S′ и S ′′ выполнима

Т.о., начав с выполнимой таблицы, всегда можно построить
полную и непротиворечивую таблицу.


Вычислительная сложность

• Рассматривая ветви по одной, можно реализовать в полиномиальной памяти

• PSPACE-полная задача

Сведение задачи истинности QBF

(Q1 X1 ) . . . (QnXn)(G1 ∧ . . . ∧ Gm)

Например
∀X1 ∃X2 ∀X3 ((X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ) ∧ (¬X1 ∨ X2 ∨ ¬X3 ))

(∃R.A ⊓ ∃R.¬A) ⊓ ∀R.(∃R.⊤ ⊓ ∀R.(∃R.A ⊓ ∃R.¬A))⊓
∀R.(A ⊔ ∀R.(A ⊔ ∀R.A))⊓
∀R.(¬A ⊔ ∀R.(¬A ⊔ ∀R.¬A))


TBox и импликации концептов

T — TBox и C⊑D — импликация концептов.

• T влечет C⊑D т. и т.т., когда каждая модель T является моделью C ⊑ D.

• C реализуется совместно с T т. и т.т., когда существует интерпретация I , модель
T , т.ч. C I ̸= ∅.

• T выполним если существует модель T.

Имеет место следующее:

• T |= C ⊑ D т. и т.т., когда C ⊓ ¬D не реализуется совместно с T.

• T выполним т. и т.т., когда A реализуется совместно с T (A новое имя).


Ациклические ALC -терминологии

ALC терминология это конечное множество определения вида

A ≡ C, A ⊑ C

таких что никакое имя концепта не определяется более одного раза. и в которой нет (явных
или неявных) циклических определений.




A ≡ C, A ⊑ C


НУО, все определения имеют вид
A≡C




A ≡ C, A ⊑ C


НУО, все определения имеют вид
A≡C
Заменим
A⊑C

A ≡ C ⊓ A′ ,
где A′ — новое имя концепта


Развёртка

T — ациклическая ALC -терминология

UnfoldT (A) = A, Если A не определен в T
UnfoldT (A) = UnfoldT (D), Если A≡D∈T
UnfoldT (C1 ⊓ C2 ) = UnfoldT (C1 ) ⊓ UnfoldT (C2 ),

UnfoldT (¬C) = ¬UnfoldT (C),

UnfoldT (∃r.C) = ∃r.UnfoldT (C),

...

T |= C ⊑ D т. и т.т., когда ∅ |= UnfoldT (C) ⊑ UnfoldT (D)
т. и т.т., когда концепт
UnfoldT (C) ⊓ ¬UnfoldT (D)
не реализуем


Вычислительная сложность

• UnfoldT (C) может иметь экспоненциальный размер:

C ≡ ∃r.C1 ⊓ ∃s.C1
C1 ≡ ∃r.C2 ⊓ ∃s.C2
C2 ≡ ∃r.C3 ⊓ ∃s.C3
...
Cn−1 ≡ ∃r.Cn ⊓ ∃s.Cn

• Полиномиальная глубина

• PSPACE-алгоритм

– Подставлять определение когда необходимо


Логический анализ

В любой интерпретации I для любых E и F,

I |= E ⊑ F т. т.т., когда I |= ⊤ ⊑ ¬E ⊔ F

Т.о., можно предположить, что T содержит только аксиомы вида ⊤⊑D


Логический анализ

S →U S ∪ { x: D }
если (a) ⊤⊑D∈T
(b) x∈S
(c) x: D ∈ S
/

Добавление этого правила может привести к тому, что построение таблицы не закончится


Пример

S0 = { x0 : ⊤} T = {⊤ ⊑ ∃R.C }
S0 →U S1 = S0 ∪ { x0 : ∃R.C }
S1 →∃ S2 = S1 ∪ { (x0 , x1 ): R, x1 : C }
S2 →U S3 = S2 ∪ { x1 : ∃R.C }
S3 →∃ S4 = S3 ∪ { (x1 , x2 ): R, x2 : C }
S4 →U S5 = S4 ∪ { x2 : ∃R.C }
... ...

Процесс порождает бесконечную модель но можно легко построить и конечную.

Можно модифицировать правило →∃ таким образом, что
полученный алгоритм всегда заканчивает работу
(используя блокировку)


Блокировка

• Узел x заблокирован узлом y если

{C | x : C ∈ Si} ⊆ {D | y : D ∈ Si}

• Правила вывода применяются только к не заблокированным узлам.

• Ветви в таблице могут быть экспоненциальной длины

• EXPTIME-полная задача


О сложности

Реализуемость концептов относительно ALC -теорий ExpTime-полна.

• Нет гарантии, что существующие (или будущие) реализации закончат работу.

• Тем не менее, существуют системы (FACT, PELLET, RACER) успешно работающие на
практике.


Экспрессивные Дескрипционные
Логики

Расширения ALC

Qualified number restrictions: если C концепт а r роль, то

(≤ n r.C), (≥ n r.C)

являются концептами.

Интерпретация задается

• (≤ n r.C)I = {x ∈ ∆I | |{y ∈ ∆I | (x, y) ∈ r I and y ∈ C I }| ≤ n }

• (≥ n r.C)I = {x ∈ ∆I | |{y ∈ ∆I | (x, y) ∈ r I and y ∈ C I }| ≥ n }

Примеры

• (≥ 3 hasChild.Male) класс объектов у которых по крайней мере трое детей-самцов.

• (≤ 2 hasChild.Male) класс объектов у которых не более двух детей-самцов.



Обратные роли: если r имя роли, то r − это роль, обратная к r . Интерпретация задается
как

• (r −)I = {(y, x) ∈ ∆I × ∆I | (x, y) ∈ r I }.

r − может входить везде, куда может входить r .
Примеры

• ∃has_child−.Gardener класс объектов, у кого родитель садовник.

• (≥ 3parent−.Gardener) класс объектов, у кого по крайней мере трое детей-садовников.

Замечание. логический анализ в EL с обратными ролями ExpTime-труден (полон).



Транзитивные роли: Декларация transitive(r) означает, что отношение r является транзитивны

• I |= transitive(r) т. и т.т., когда r I транзитивно, т.е., для всех x, y , z ∈ ∆I т.ч.
(x, y) ∈ r I и (y, z) ∈ r I мы имеем (x, z) ∈ r I .

Пример

• Роль “is part of” часто объявляется транзитивной

Иерархия ролей: декларация r ⊑ s означает, что отношение r включено в s. Т.о.,

• I |= r ⊑ s т. и т.т. r I ⊆ sI .

Пример

• hasSon ⊑ hasChild



Классы, содержащие в точности один объект (синглетоны). Для выражения этого свойства,
в ALC вводятся номиналы.

Номиналы: a, b — имена индивидов. Индивиды ассоциированы с элементами домена.

Интерпретация I расширяется на элементы: aI ∈ ∆I , bI ∈ ∆I , и т. д.

Если a — индивид, то {a} — номинал. {a1 , . . . , an} — множество номиналов.
Интерпретация I:

• {a}I = {aI };

• {a1 , . . . , an}I = {aI , . . . , aI }.
1 n



В ACCO выражения {a} и {a1 , . . . , an} используются как концепты.
Пример:

• ∃citizen_of.{France} (гражданин Франции).

• ∃citizen_of.{France, Ireland} (гражданин Франции или Ирландии).

• ∃has_colour.{Green} (зеленые объекты).

• ∃student_of.{Liverpool_University} (студенты ливерпульского университета).

• Можно определить Colour как набор цветов

Colour ≡ {red, yellow, . . . , green}

и писать
⊤ ⊑ ∀has_colour.Colour.


Выразительная дескрипционная логика SHOIQ

Расширение ALC

• qualified number restrictions,

• обратные роли

• иерархии ролей

• транзитивные роли

• номиналы

называется SHOIQ. Лежит в основе языка Web-онтологий OWL-DL.


20100926 ontology konev_lecture05

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

More from Computer Science Club (20)

20100926 ontology konev_lecture05