20101021 proof complexity_hirsch_lecture05
0 likes234 views
Документ обсуждает сложности пропозициональных доказательств, включая нижние оценки для монотонной интерполяции, сложности булевых схем и самих логических выводов. Приведены различные теоремы и леммы, касающиеся ширины доказательства и свойств дисъюнктивных нормальных форм. Также рассматриваются графы как средство описания условий для формул, подчеркивая важность характеристик расширителей.
20101021 proof complexity_hirsch_lecture05
- 1. Сложность пропозициональных доказательств Эдуард Алексеевич Гирш http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch ПОМИ РАН 21 октября 2010 г. 1 / 5
- 2. Cutting Plane: нижняя оценка Монотонная интерполяция. Экспоненциальная нижняя оценка на интерполянт. 2 / 5
- 3. Cutting Plane: нижняя оценка Монотонная интерполяция. Теорема (Пудлак) Пусть в A(x, y) ⊃ B(x, z) все вхождения xi в A и в B положительны. Тогда из док-ва в Res (или CP) получается монотонный интерполянт — булева (или арифметическая) C(x) полиномиального размера. Экспоненциальная нижняя оценка на интерполянт. 2 / 5
- 4. Cutting Plane: нижняя оценка Монотонная интерполяция. Теорема (Пудлак) Пусть в A(x, y) ⊃ B(x, z) все вхождения xi в A и в B положительны. Тогда из док-ва в Res (или CP) получается монотонный интерполянт — булева (или арифметическая) C(x) полиномиального размера. Экспоненциальная нижняя оценка на интерполянт. Теорема (Разборов; Алон-Боппана; Пудлак) Для булевых (или арифметических) схем, разделяющих n–клики и (n − 1)–раскрашиваемые графы, |C| = 2Ω( √ n) при n = 1 8 (m/ log m)2/3 . 2 / 5
- 5. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. 3 / 5
- 6. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. Резолюция: Ширина дизъюнкции W (l1 ∨ . . . ∨ lk) — количество переменных. 3 / 5
- 7. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. Резолюция: Ширина дизъюнкции W (l1 ∨ . . . ∨ lk) — количество переменных. Ширина формулы/вывода — ширина самой широкой дизъюнкции. G w H: есть вывод ширины ≤ w. W (F) — минимально возможная ширина док-ва. S (F) — минимально возможное кол-во дизъюнкций док-ва. 3 / 5
- 8. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. Резолюция: Ширина дизъюнкции W (l1 ∨ . . . ∨ lk) — количество переменных. Ширина формулы/вывода — ширина самой широкой дизъюнкции. G w H: есть вывод ширины ≤ w. W (F) — минимально возможная ширина док-ва. S (F) — минимально возможное кол-во дизъюнкций док-ва. Лемма (для формулы F от n переменных) W (F) ≤ W (F) + O( n ln S (F)) 3 / 5
- 9. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. Резолюция: Ширина дизъюнкции W (l1 ∨ . . . ∨ lk) — количество переменных. Ширина формулы/вывода — ширина самой широкой дизъюнкции. G w H: есть вывод ширины ≤ w. W (F) — минимально возможная ширина док-ва. S (F) — минимально возможное кол-во дизъюнкций док-ва. Лемма (для формулы F от n переменных) W (F) ≤ W (F) + O( n ln S (F)) Лемма (к лемме) 1. F|x=0 w C =⇒ F w+1 C ∨ x. 2. W (F|x=0) ≤ w−1, W (F|x=1) ≤ w =⇒ =⇒ W (F) ≤ max{w, W ({C ∈ F|¬x ∈ C})}.3 / 5
- 10. Нижние оценки, основанные на ширине Схема доказательства: Линейная нижняя оценка на какой-то параметр (ширину). Лемма: в коротком док-ве π можно понизить ширину до ∼ ln |π|. Резолюция: Ширина дизъюнкции W (l1 ∨ . . . ∨ lk) — количество переменных. Ширина формулы/вывода — ширина самой широкой дизъюнкции. G w H: есть вывод ширины ≤ w. W (F) — минимально возможная ширина док-ва. S (F) — минимально возможное кол-во дизъюнкций док-ва. Лемма (для формулы F от n переменных) W (F) ≤ W (F) + O( n ln S (F)) Лемма (к лемме) 1. F|x=1 w C =⇒ F w+1 C ∨ ¬x. 2. W (F|x=1) ≤ w−1, W (F|x=0) ≤ w =⇒ =⇒ W (F) ≤ max{w, W ({C ∈ F| x ∈ C})}.3 / 5
- 11. Цейтинские формулы G = (V , E) — граф. Переменная xe ∈ {0, 1} для каждого e ∈ E. Условие e v xe = 1. |V | ... 2. 4 / 5
- 12. Цейтинские формулы G = (V , E) — граф. Переменная xe ∈ {0, 1} для каждого e ∈ E. Условие e v xe = cv . Константа cv ∈ {0, 1} для каждой v ∈ V . v∈V cv = 1. 4 / 5
- 13. Цейтинские формулы G = (V , E) — граф. Переменная xe ∈ {0, 1} для каждого e ∈ E. Условие e v xe = cv . Константа cv ∈ {0, 1} для каждой v ∈ V . v∈V cv = 1. Определение Расширительная способность e(G) = min |cut(V , V V )| V ⊆ V , 1 3 |V | ≤ |V | ≤ 2 3 |V | . G — расширитель, если e(G) = Ω(|V |). Факт Существуют связные регулярные расширители степени 3. 4 / 5
- 14. Цейтинские формулы Нижняя оценка Ω(|V |) на ширину вывода В выводе есть дизъюнкция C, следующая в точности из уравнений v∈U e v xe = cv , (1) где |U| ∈ 1 3 |V |..2 3 |V | . 5 / 5
- 15. Цейтинские формулы Нижняя оценка Ω(|V |) на ширину вывода В выводе есть дизъюнкция C, следующая в точности из уравнений v∈U e v xe = cv , (1) где |U| ∈ 1 3 |V |..2 3 |V | . Каждая переменная из сечения (U, V U) меняет истинность (1) для какого-то набора. . . 5 / 5
- 16. Цейтинские формулы Нижняя оценка Ω(|V |) на ширину вывода В выводе есть дизъюнкция C, следующая в точности из уравнений v∈U e v xe = cv , (1) где |U| ∈ 1 3 |V |..2 3 |V | . Каждая переменная из сечения (U, V U) меняет истинность (1) для какого-то набора. . . . . . и должна входить в C. 5 / 5