![METODE NEWTON RAPHSON
Metode Newton ditemukan oleh Sir Isaac Newton 1642 – 1727, merupakan salah
satu metode yang sering dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan tidak linier,
metode ini dikenal juga sebagai Metode Newton – Raphson.
Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan
pendekatan satu titik sebagai titik awal, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan.
Dimulai dengan titik awal xi , sebuah garis singgung (tangen) dapat ditarik dari
titik [xi , f (xi) ] pada kurva y = f(x) dan memotong sumbu x yang biasanya memberikan
perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
Dengan demikian kita akan mendapatkan suatu barisan titik-titik (nilai pendekatan
untuk akar persamaan) x1,x2,x3,...dengan xi+1 menyatakan titik potong garis tangen kurva
y = f(x) di titik (xi , f(xi) ) dengan sumbu x.
Gambar pelukisan pada metode Newton-Raphson, garis singgung pada fungsi di
xi [yakni f’(xi)] diekstrapolasikan ke bawah ke sumbu x untuk memberikan suatu
taksiran akar di xi+1
xixi+1 x
f(xi)
0
f(x)
y
xi - xi+1
f(xi)-0
Kemiringan/m =
𝑦
𝑥
= f’(xi)](https://image.slidesharecdn.com/3-150331093913-conversion-gate01/85/3-newton-raphson-method-2-320.jpg)
3. newton raphson method
- 1. Tugas Makalah METODE NUMERIK Tentang METODE NEWTON - RAPHSON Dosen Pembimbing : Siti Dinarti M.Pd Di susun oleh : Shindy Pramudya Ayu Nofra Dilova (1251064) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2012-A SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA JOMBANG 2014/2015
- 2. METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton ditemukan oleh Sir Isaac Newton 1642 – 1727, merupakan salah satu metode yang sering dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan tidak linier, metode ini dikenal juga sebagai Metode Newton – Raphson. Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik sebagai titik awal, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Dimulai dengan titik awal xi , sebuah garis singgung (tangen) dapat ditarik dari titik [xi , f (xi) ] pada kurva y = f(x) dan memotong sumbu x yang biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Dengan demikian kita akan mendapatkan suatu barisan titik-titik (nilai pendekatan untuk akar persamaan) x1,x2,x3,...dengan xi+1 menyatakan titik potong garis tangen kurva y = f(x) di titik (xi , f(xi) ) dengan sumbu x. Gambar pelukisan pada metode Newton-Raphson, garis singgung pada fungsi di xi [yakni f’(xi)] diekstrapolasikan ke bawah ke sumbu x untuk memberikan suatu taksiran akar di xi+1 xixi+1 x f(xi) 0 f(x) y xi - xi+1 f(xi)-0 Kemiringan/m = 𝑦 𝑥 = f’(xi)
- 3. Dari gambar di atas, persamaan garis tangen (garis singgung) yang melalui titik (xi , f(xi) ) adalah : Persamaan garis singgung ( l ) : y – y0 = m (x – x0) atau y – yi = m (x – xi) Dengan yi = 𝑓( 𝑥 𝑖)dan m = 𝑓′( 𝑥 𝑖), maka 𝑦 − 𝑓( 𝑥 𝑖) = 𝑓′( 𝑥𝑖)( 𝑥 − 𝑥 𝑖) 𝑦 = 𝑓( 𝑥 𝑖)+ 𝑓′( 𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥 𝑖) xi+1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x dan y = 0 Jadi 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 dan memenuhi persamaan 0 = 𝑓( 𝑥 𝑖)+ 𝑓′( 𝑥 𝑖)(𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖) Sehingga diperoleh 0 = 𝑓( 𝑥 𝑖)+ 𝑓′( 𝑥 𝑖)(𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖) ↔ 𝑓′( 𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥 𝑖) = −𝑓( 𝑥 𝑖) ↔ { 𝑓′( 𝑥 𝑖) . 𝑥 𝑖+1 } − { 𝑓′( 𝑥𝑖) . 𝑥 𝑖} = −𝑓( 𝑥 𝑖) ↔ 𝑓′( 𝑥𝑖) . 𝑥 𝑖+1 = − 𝑓( 𝑥𝑖) + { 𝑓′( 𝑥 𝑖) . 𝑥 𝑖} ↔ 𝒙𝒊+𝟏 = − 𝑓( 𝑥 𝑖)+ { 𝑓′( 𝑥𝑖) . 𝑥 𝑖} 𝑓′( 𝑥𝑖) = − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥𝑖) + 𝑓′( 𝑥𝑖) .𝑥 𝑖 𝑓′( 𝑥 𝑖) = 𝒙𝒊 − 𝒇( 𝒙𝒊) 𝒇′( 𝒙𝒊) ↔ 𝒇′( 𝒙𝒊) = 𝒇( 𝒙𝒊) 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊+𝟏
- 4. Dengan syarat : i = 0, 1, 2, 3, 4, ... ( i ϵ bilangan cacah) 𝑓′( 𝑥 𝑖)≠ 0 Catatan : 1. Setiap iterasi pada penerapan Metode Newton memerlukan dua kali perhitungan fungsi yaitu f (x) dan f‘ (x) 2. Apabila titik awal x0 cukup jauh dari α , metode Newton dapat memberikan hasil yang tidak kita harapkan atau bahkan mungkin hasilnya tidak konvergen. 3. Apabila f’ (xi) tidak tersedia atau f’ (xi) = 0 untuk suatu nilai i, metode Newton tidak dapat dipergunakan Contoh : 1. Selesaikan persamaan 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0 dengan menggunakan Metode Newton-Raphson ! Jawab : Persamaan yang diselesaikan : 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 − 0 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 Turunan pertama dari persamaan tersebut : 𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 Dengan menggunakan persamaan : 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − 𝒇( 𝒙𝒊) 𝒇′( 𝒙𝒊)
- 5. Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya ambi x0 = 1 Cari : 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑓( 𝑥0 = 1) = 13 + 12 − 3. 1 − 3 = − 4 𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑓′( 𝑥0 = 1) = 3. 12 + 2.1 − 3 = 2 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥0+1 = 𝑥1 − −4 2 𝑥1 = 1 + 2 = 3 Langkah berikutnya ditetapkan x1 = 3 maka : 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑓( 𝑥1 = 3) = 33 + 32 − 3. 3 − 3 = 24 𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑓′( 𝑥1 = 3) = 3. 32 + 2.3 − 3 = 30 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥1+1 = 𝑥2 − 24 30 𝑥2 = 3 − 24 30 = 2,2 Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 2,2 maka : o 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑓( 𝑥2 = 2,2) = 2,23 + 2,22 − 3. 2,2 − 3 = 5,888 o 𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑓′( 𝑥2 = 2,2) = 3. 2,22 + 2 .2,2 − 3 = 15,92
- 6. o 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥2+1 = 𝑥3 − 5,588 15,92 𝑥3 = 2,2 − 0,37 = 1,83 Langkah berikutnya ditetapkan x3 = 1,83 maka : 𝑓( 𝑥3 = 1,83) = 1,833 + 1,832 − 3. 1,83 − 3 = 0,987387 𝑓′( 𝑥3 = 1,83) = 3. 1,832 + 2 . 1,83 − 3 = 10,7067 𝑥4 = 1,83 − 0,987387 10,7067 = 1,73778 Langkah berikutnya ditetapkan x4= 1,73778 maka : 𝑓( 𝑥4 = 1,73778) = 1,737783 + 1,737782 − 3. 1,73778 − 3 = 0,05442 𝑓′( 𝑥4 = 1,73778) = 3. 1,737782 + 2 . 1,73778 − 3 = 9,535197985 𝑥5 = 1,73778 − 0,05442 9,535197985 = 1,73207 Langkah berikutnya ditetapkan x5= 1,73207 maka : 𝑓( 𝑥5 = 1,73207) = 1,732073 + 1,732072 − 3. 1,73207 − 3 = 0,000181641 𝑓′( 𝑥5 = 1,73207) = 3. 1,732072 + 2 . 1,73207 − 3 = 9,464339455 𝑥6 = 1,73207 − 0,000181641 9,464339455 = 1,732050808 Langkah berikutnya ditetapkan x6= 1,732050808 maka : 𝑓( 𝑥6 = 1,732050808) = 1,7320508083 + 1,7320508082 − 3. 1,732050808− 3 = 0,000000004 𝑓′( 𝑥6 = 1,732050808) = 3. 1,7320508082 + 2 . 1,732050808− 3 = 9,464101621
- 7. 𝑥7 = 1,732050808− 0,000000004 9,464101621 = 1,732050807577 Langkah berikutnya ditetapkan x7= 1,732050807577 maka : 𝑓( 𝑥7 = 1,732050807577) = 1,7320508075773 + 1,7320508075772 − 3. 1,732050807577 − 3 = 0,0000000000769 𝑓′( 𝑥7 = 1,732050807577) = 3. 1,7320508075772 + 2 . 1,732050807577 − 3 = 9,46410162 𝑥8 = 1,732050807577 − 0,0000000000769 9,46410162 = 1,732050807577 Untuk menentukan nilai x5 , x6 , x7 ....xi+1, hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan pada tabel berikut : Tabel hasil hitungan dengan Metode Newton-Raphson Jumlah Iterasi i xi f (xi) f ’(x) 1 0 1,0 -4,0 2 2 1 3,0 24,0 30 3 2 2,2 5,888 15,92 4 3 1,83 0,987387 10,7067 5 4 1,73778 0,05442 9,535197985 6 5 1,73207 0,00018164 9,464339455 7 6 1,732050808 0,00000000 9,46410162 8 7 1,732050807577 0,0000000000 9,46410162 Kesimpulan : Karena pada iterasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 1,732050808.
- 8. Other Method Apabila f (x) merupakan suatu suku banyak (polinom) maka pemakaian metode Newton untuk mendapatkan akar-akar persamaan sukubanyak tersebut akan lebih efisien bila f (x) dan f ’(x) diperoleh dengan pembagian sintesis (metode horner). Contoh : 2. Masih dalam persamaan pada no.1 untuk membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode Horner ! Dengan menggunakan metode Newton hitung penyelesaian dari : 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0 Jawab : Andaikan kita tentukan x0 = 1 Jadi 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥0+1 = 𝑥0 − −4 2 𝑥1 = 1 + 2 = 3 Langkah kedua, ditentukan x1 = 3 +1 2 -1 1 1 -3 -3 1 2 -1 -4 1 f (x0) = -4 1 1 3 1 3 2 f ‘ (x) = 2 +3 12 27 1 1 -3 -3 1 4 9 24 3 f (x1) = 24 3 3 21 1 7 30 f ‘ (x) = 30
- 9. Jadi 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥1+1 = 𝑥1 − 24 30 𝑥2 = 3 − 24 30 = 2,2 Langkah kedua, ditentukan x2 = 2,2 Jadi 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖) 𝑓′( 𝑥 𝑖) 𝑥2+1 = 𝑥2 − 24 30 𝑥3 = 2,2 − 5,888 15 ,92 = 1,830 Langkah berikutnya juga sama seperti cara horner diatas, sehingga nantinya akan memperoleh nilai x4,x5,...xn sampai menemukan nilai akarnnya dengan f(x)=0 Dari permasalahan di atas, terlihat bahwa kedua penyelesaian yang berbeda metode menghasilkan nilai xi yang sama. +2,2 7,04 8,888 1 1 -3 -3 1 3,2 4,04 5,888 2,2 f (x2) = 5,888 2,2 2,2 11,88 1 5,4 15,92 f ‘ (x) = 15,92
- 10. Daftar Pustaka Fuad Yusuf.1994.METODE NUMERIK 1.University Press IKIP Surabaya : Surabaya Chapra Steven C,Raimond P.Canale.1989.METODE NUMERIK Jilid 1 EDISI KEDUA.Erlangga : Jakarta Triatmodjo,Bambang.1992.METODE NUMERIK.Beta Offet : Jogjakarta