Chapter 7 - Rotational Motion

LLeessssoonn 77--11
MMeeaassuurriinngg
RRoottaattiioonnaall
MMoottiioonn

Rotational QQuuaannttiittiieess
 WWhheenn aann oobbjjeecctt ssppiinnss,, iitt iiss ssaaiidd ttoo
uunnddeerrggoo rroottaattiioonnaall mmoottiioonn
 TThhee aaxxiiss ooff rroottaattiioonn iiss tthhee lloonnee aabboouutt wwhhiicchh
tthhee rroottaattiioonn ooccccuurrss
 TThhiinnkk ooff aa wwhheeeell oonn aa ccaarr,, tthhee aaxxiiss iiss aa
PPEERRPPEENNDDIICCUULLAARR lliinnee tthhrroouugghh tthhee cceenntteerr ooff
tthhee wwhheeeell

Rotational QQuuaannttiittiieess
 AA ppooiinntt oonn aann oobbjjeecctt rroottaattiinngg aabboouutt aa
ssiinnggllee aaxxiiss uunnddeerrggooeess cciirrccuullaarr mmoottiioonn
 WWee sshhoouulldd ppooiinntt oouutt tthhaatt RROOTTAATTIIOONNAALL aanndd
CCIIRRCCUULLAARR mmoottiioonn aarree nnoott tthhee ssaammee
 AA wwhheeeell ((tthhee eennttiirree rriiggiidd oobbjjeecctt))
uunnddeerrggooeess rroottaattiioonnaall mmoottiioonn
 TThhee vvaallvvee sstteemm ((aa ppooiinntt oonn tthhee oobbjjeecctt))
uunnddeerrggooeess cciirrccuullaarr mmoottiioonn

Describing CCiirrccuullaarr
MMoottiioonn
 IItt iiss ddiiffffiiccuulltt ttoo ddeessccrriibbee cciirrccuullaarr mmoottiioonn
wwiitthh tthhee qquuaannttiittiieess wwee hhaavvee bbeeeenn uussiinngg
tthhuuss ffaarr
 RReeccaallll qquuaannttiittiieess ssuucchh aass vveell.. aanndd aacccceell..
hhaavvee mmaaggnniittuuddee aanndd ddiirreeccttiioonn
 IInn cciirrccuullaarr mmoottiioonn,, aa ppooiinntt mmaayy hhaavvee aa ccoonnssttaanntt
qquuaannttiittyy ooff ssppeeeedd,, tthhee ddiirreeccttiioonn iiss CCOONNSSTTAANNTTLLYY
cchhaannggiinngg

Describing CCiirrccuullaarr
MMoottiioonn
 CCiirrccuullaarr mmoottiioonn iiss ddeessccrriibbeedd iinn tteerrmmss ooff
tthhee aannggllee tthhrroouugghh wwhhiicchh tthhee ppooiinntt oonn aann
oobbjjeecctt mmoovveess
 AAllll ppooiinnttss oonn aa rriiggiidd oobbjjeecctt,, eexxcceepptt ffoorr
tthhoossee aatt tthhee aaxxiiss,, wwiillll rroottaattee tthhrroouugghh tthhee
ssaammee aannggllee iinn tthhee ssaammee ttiimmee iinntteerrvvaall

BBiiccyyccllee EExxaammppllee
 LLeettss ccoonnssiiddeerr aa bbiiccyyccllee wwhheeeell
 LLeettss ssaayy aa ssppookkee ffaasstteennss ttoo tthhee rriimm aatt aa
ddiissttaannccee rr
 TThhiiss ppooiinntt wwiillll ttrraavveell iinn aa cciirrccllee wwiitthh rraaddiiuuss rr
 EEvveerryy ppooiinntt oonn tthhee wwhheeeell wwiillll uunnddeerrggoo
cciirrccuullaarr mmoottiioonn
 TToo aannaallyyzzee ssuucchh aa ssiittuuaattiioonn,, iitt iiss ccoonnvveenniieenntt
ttoo sseett uupp aa ffiixxeedd rreeffeerreennccee lliinnee,, wwhheerree tt==0

BBiiccyyccllee EExxaammppllee
 AAfftteerr aa ttiimmee iinntteerrvvaall ΔΔtt,, tthhee ssppookkee
aaddvvaanncceess ttoo aa nneeww ppoossiittiioonn
 DDuurriinngg tthhiiss ttiimmee iinntteerrvvaall,, tthhee ssppookkee
ttrraavveellss tthhrroouugghh aann aannggllee θθ..
 LLiikkeewwiissee,, tthhee ppooiinntt wwhheerree tthhee ssppookkee
ccoonnnneeccttss ttoo tthhee rriimm mmoovveess tthhrroouugghh tthhee
ssaammee aannggllee θθ aanndd ttrraavveellss aa ddiissttaannccee ss,,
aalloonngg tthhee cciirrccuummffeerreennccee ooff tthhee cciirrccllee

RRaaddiiaannss
 UUpp ttoo tthhiiss ppooiinntt,, aallll ooff oouurr aanngglleess hhaavvee
bbeeeenn mmeeaassuurreedd iinn ddeeggrreeeess
 AAnnyy aannggllee mmeeaassuurreedd iinn rraaddiiaannss iiss
ddeeffiinneedd::
q = s
r
 TThhee rraaddiiaann iiss aa ppuurree nnuummbbeerr wwiitthh nnoo
ddiimmeennssiioonnss wwiitthh uunniittss rraaddiiaann oorr rraadd ffoorr
sshhoorrtt

RRaaddiiaannss
q = s Þ p Þ p
r
r
r
2 2
 NNoottiiccee uunniittss ooff ddiissttaannccee ccaanncceell,, aanndd wwee
aarree lleefftt wwiitthh oonnllyy rraaddss
 NNoottee tthhaatt 33660oo == 22ππ rraadd oorr oonnee ccoommpplleettee
rreevvoolluuttiioonn
 AAnnyy aannggllee ccaann bbee ccoonnvveerrtteedd uussiinngg tthhee
ffoolllloowwiinngg::
q (rad) = p q (deg)
180

Angular DDiissppllaacceemmeenntt
 AAnngguullaarr ddiissppllaacceemmeenntt iiss tthhee cchhaannggee iinn
aarrcc lleennggtthh,, ttrraavveelleedd bbyy tthhee ppooiinntt wwhheerree
tthhee ssppookkee mmeeeettss tthhee rriimm,, ΔΔss ddiivviiddeedd bbyy
tthhee ddiissttaannccee tthhee ppooiinntt iiss ffrroomm tthhee cceenntteerr
ooff oouurr rriimm
Dq = Ds
r
 AAnngguullaarr DDiissppllaacceemmeenntt::
 IItt sshhoouulldd bbee nnootteedd tthhaatt ppoossiittiivvee aanngguullaarr
ddiissppllaacceemmeenntt iiss ccoouunntteerr--cclloocckkwwiissee aanndd nneeggaattiivvee
aanngguullaarr ddiissppllaacceemmeenntt iiss cclloocckkwwiissee

AAnngguullaarr SSppeeeedd
 AAnngguullaarr ssppeeeedd ddeessccrriibbeess tthhee rraattee ooff
rroottaattiioonn
 RReeccaallll lliinneeaarr ssppeeeedd ddeessccrriibbeess tthhee ddiissttaannccee
ttrraavveelleedd iinn aa ssppeecciiffiieedd iinntteerrvvaall ooff ttiimmee
 AAnngguullaarr ssppeeeedd iiss ssiimmiillaarr
 TThhee aavveerraaggee aanngguullaarr ssppeeeedd,, ωωaavvee iiss tthhee rraattiioo ooff
aanngguullaarr ddiissppllaacceemmeenntt ttoo ttiimmee
w q
= D
D
ave t
 AAnngguullaarr ssppeeeedd iiss ggiivveenn iinn rraaddiiaannss ppeerr sseeccoonndd
 MMaayy aallssoo bbee ggiivveenn iinn rreevvoolluuttiioonnss

Angular AAcccceelleerraattiioonn
 OOccccuurrss wwhheenn aanngguullaarr ssppeeeedd cchhaannggeess
 RReeccaallll lliinneeaarr aacccceelleerraattiioonn iiss tthhee cchhaannggee iinn vv
oovveerr tthhee cchhaannggee iinn ttiimmee
 RReeccaallll aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn iiss ωω
 AAnngguullaarr aacccceelleerraattiioonn iiss tthhee cchhaannggee iinn
aanngguullaarr ssppeeeedd oovveerr tthhee cchhaannggee iinn ttiimmee
a w
= D
D
ave t
 SSaammppllee,, EExxaammpplleess 224466,, 224477,, 224488,, 224499,, 22550

SSaammee QQuuaannttiittiieess
 AAllll ppooiinnttss oonn aa rroottaattiinngg rriiggiidd oobbjjeecctt hhaavvee
tthhee ssaammee aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn aanndd
aanngguullaarr ssppeeeedd
 EEvveerryy ppooiinntt oonn aa rroottaattiinngg bbooddyy iiss ppeerrffoorrmmiinngg iinn
tthhee eexxaacctt ssaammee wwaayy,, iitt iiss aaccttuuaallllyy qquuiittee iinntteerreessttiinngg
ttoo tthhiinnkk ooff aa wwhheeeell rroottaattiinngg oonn aa ccaarr wwhheerree eevveerryy
ppooiinntt oonn tthhee wwhheeeell ddooeess nnoott ppeerrffoorrmm tthhee ssaammee,,
ppeerrhhaappss aa ffllaatt ttiirree

SSaammee QQuuaannttiittiieess
 HHoowweevveerr,, oonn aa rriiggiidd ((iinnffllaatteedd)) ttiirree oorr ootthheerr
rroottaattiinngg bbooddyy,, aacccceelleerraattiioonn aanndd ssppeeeedd
aarree ccoonnssttaanntt aatt eevveerryy ppooiinntt oonn tthhee bbooddyy
 TThhoossee ttwwoo pprrooppeerrttiieess mmaakkee ssppeeeedd aanndd
aacccceelleerraattiioonn ssoo uusseeffuull ffoorr ssttuuddyyiinngg
rroottaattiioonnaall mmoottiioonn

Comparing LLiinneeaarr aanndd
RRoottaattiioonnaall QQuuaannttiittiieess
 RReeccaallll x -
x
v
=
f i
= D
x
ffoorr lliinneeaarr
qquuaannttiittiieess
avg t -
t
t
f i
q q q
-
-
= D
 RReeccaallll w
ffoorr rroottaatt.. QQuuaannttiittiieess
avg
f i
f i t t t
=
 NNoottiiccee tthhee eeqquuaattiioonnss aarree eexxttrreemmeellyy ssiimmiillaarr
 NNeeaarrllyy eevveerryy lliinneeaarr qquuaannttiittyy hhaass aa rroottaattiioonnaall
ttwwiinn
x«q v«w a«a

Rotational KKiinneemmaattiiccss
 SSiinnccee mmoosstt ooff oouurr lliinneeaarr qquuaannttiittiieess hhaavvee
rroottaattiioonnaall ttwwiinnss,, iitt wwoouulldd oonnllyy ffoollllooww tthhaatt
tthhaatt tthhee eeqquuaattiioonnss uussiinngg lliinneeaarr qquuaannttiittiieess
wwoouulldd ttrraannssffeerr iinnttoo rroottaattiioonnaall mmoottiioonn
LLiinneeaarr RRoottaattiioonnaall
x v v t i f = 1 +
2
( ) q = w +w 1
2
( ) i f t
v v at f i = + w w a f i = + t
x v t at i = + 1
2
2 q =w + a it 1 t
2
2
2 = 2 + 2 w w aq f i
v v ax f i
2 = 2 + 2

 SSaammppllee 225511
 PPrraaccttiiccee 225522

LLeessssoonn 77--22
TTaannggeennttiiaall aanndd
CCeennttrriippeettaall
AAcccceelleerraattiioonn

RReellaattiioonnsshhiippss
 TThhee mmoottiioonn ooff aa ppooiinntt oonn aa rroottaattiinngg oobbjjeecctt
iiss mmoosstt eeaassiillyy ddeessccrriibbeedd iinn tteerrmmss ooff aann
aannggllee ffrroomm aa ffiixxeedd rreeffeerreennccee lliinnee
 IInn ssoommee ccaasseess iitt iiss uusseeffuull ttoo uunnddeerrssttaanndd
hhooww tthhee aanngguullaarr ssppeeeedd aanndd aanngguullaarr
aacccceelleerraattiioonn ooff aa rroottaattiinngg oobbjjeecctt rreellaattee ttoo
tthhee lliinneeaarr ssppeeeedd aanndd lliinneeaarr aacccceelleerraattiioonn
ooff aa ppooiinntt oonn tthhee oobbjjeecctt

RReellaattiioonnsshhiippss
 IImmaaggiinnee aa ggoollffeerr sswwiinnggiinngg aa ggoollff cclluubb,,
ttuurrnnss oouutt tthhee mmoosstt eeffffeeccttiivvee wwaayy ttoo hhiitt aa
ggoollff bbaallll iiss ttoo sswwiinngg iinn aann aapppprrooxxiimmaattee
cciirrccllee aarroouunndd tthhee bbooddyy
 WWhheenn tthhee cclluubb ssttrriikkeess tthhee bbaallll,, tthhee bbaallll
fflliieess aawwaayy bbeeccaauussee ooff tthhee ssiiggnniiffiiccaanntt
ffoorrccee pprroovviiddeedd bbyy tthhee cclluubb hheeaadd
 TThhiiss iiss aann eexxaammppllee hhooww rroottaattiioonnaall mmoottiioonn
ccaann pprroodduuccee lliinneeaarr mmoottiioonn

TTaannggeennttiiaall SSppeeeedd
 IImmaaggiinnee aa mmeerrrryy--ggoo--rroouunndd aatt tthhee ppaarrkk
 AAtt aannyy ttiimmee dduurriinngg tthhee ccaarroouusseell’’ss rriiddee,, aannyy
ttwwoo hhoorrsseess hhaavvee tthhee ssaammee aanngguullaarr ssppeeeedd
aanndd aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn
 HHoowweevveerr,, iiff tthhee hhoorrsseess aarree ddiiffffeerreenntt
ddiissttaanncceess ffrroomm tthhee cceenntteerr,, tthheeyy wwiillll hhaavvee
ddiiffffeerreenntt ttaannggeennttiiaall ssppeeeeddss
 TThhee ttaannggeennttiiaall ssppeeeedd iiss aallssoo ccaalllleedd tthhee
iinnssttaannttaanneeoouuss lliinneeaarr ssppeeeedd ooff tthhaatt ppooiinntt

 TThhee ttaannggeennttiiaall ssppeeeedd ooff aa hhoorrssee ((oorr ppeerrssoonn
rriiddiinngg tthhaatt hhoorrssee)) iiss tthhee ssppeeeedd ddrraawwnn aalloonngg aa
lliinnee ttaannggeenntt ttoo tthhee cciirrccuullaarr ppaatthh tthhee hhoorrssee iiss
ttrraavveelliinngg
 IIff tthhee ppeerrssoonn wwoouulldd hhaappppeenn ttoo ffllyy ooffff ooff tthhee
hhoorrssee,, tthheeyy wwoouulldd ttrraavveell aalloonngg tthhaatt ttaannggeenntt
lliinnee

 LLeettss aassssuummee wwee aarree ssttuuddyyiinngg ttwwoo hhoorrsseess
oonn tthhee ccaarroouusseell
 LLeettss ccaallll tthheemm hhoorrssee AA aanndd hhoorrssee BB aanndd wwee
wwiillll ssaayy hhoorrssee AA iiss cclloosseerr ttoo tthhee cceenntteerr tthhaann
hhoorrssee BB
 SSiinnccee bbootthh hhoorrsseess aarree oonn tthhee ssaammee rriiddee,,
tthheeiirr aanngguullaarr ssppeeeedd aanndd aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn
aarree tthhee ssaammee

 TToo aacchhiieevvee tthhiiss,, bbootthh hhoorrsseess mmuusstt ttrraavveell tthhee
ssaammee aanngguullaarr ddiissppllaacceemmeennttss iinn tthhee ssaammee aammoouunntt
ooff ttiimmee,, bbuutt tthhee oouuttssiiddee hhoorrssee hhaass ttoo ttrraavveell aa
ggrreeaatteerr ddiissttaannccee ttoo ““kkeeeepp uupp”” wwiitthh tthhee iinnssiiddee
hhoorrssee,, iinn tthhee ssaammee aammoouunntt ooff ttiimmee
 FFoorr tthhaatt rreeaassoonn,, tthhee lliinneeaarr vveelloocciittyy ooff tthhee oouuttssiiddee
hhoorrssee wwiillll bbee ggrreeaatteerr tthhaann tthhee iinnssiiddee hhoorrssee

 RReeccaallll::
q = s
r
 DDiivviiddee bbootthh ssiiddeess bbyy ttiimmee::
 TTaannggeennttiiaall SSppeeeedd::
q
t
s
rt r
s
t
= = 1
v r t = w

 NNoottiiccee tthhaatt ωω iiss tthhee iinnssttaannttaanneeoouuss
aanngguullaarr ssppeeeedd,, rraatthheerr tthhaann aavveerraaggee
aanngguullaarr ssppeeeedd,, bbeeccaauussee tthhee ttiimmee iinntteerrvvaall
iiss ssoo sshhoorrtt
 TThhiiss eeqquuaattiioonn iiss aallssoo vvaalliidd oonnllyy wwhheenn ωω iiss
mmeeaassuurreedd iinn rraaddiiaannss ppeerr uunniitt ooff ttiimmee
 OOtthheerr mmeeaassuurreess ooff aanngguullaarr ssppeeeedd ssuucchh
aass ddeeggrreeeess ppeerr sseeccoonndd oorr rreevvoolluuttiioonnss
mmaayy nnoott bbee uusseedd

TTaannggeennttiiaall
 TTaannggeennttiiaall aacccceelleerraattiioonn iiss ttaannggeenntt ttoo tthhee
cciirrccuullaarr ppaatthh
 IIff aa ccaarroouusseell ssppeeeeddss uupp,, tthhee hhoorrsseess aanndd
rriiddeerrss eexxppeerriieennccee aann aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn
 TThhee lliinneeaarr aacccceelleerraattiioonn rreellaatteedd ttoo tthhiiss
aanngguullaarr aacccceelleerraattiioonn iiss ttaannggeenntt ttoo tthhee
cciirrccuullaarr ppaatthh aanndd iiss ccaalllleedd tthhee ttaannggeennttiiaall
aacccceelleerraattiioonn

 RReeccaallll tthhee eeqquuaattiioonn ffoorr ttaannggeennttiiaall
vveelloocciittyy::
v r t = w
 DDiivviiddee bbootthh ssiiddeess bbyy ttiimmee::
 TTaannggeennttiiaall AAcccceelleerraattiioonn::
v
t
r
t
t = w = w
r
t
a r t = a

 AAggaaiinn,, tthhiiss eeqquuaattiioonn iiss vvaalliidd oonnllyy wwhheenn αα
iiss eexxpprreesssseedd iinn rraaddiiaannss
 SSuummmmaarryy::
 TToo ffiinndd tthhee lliinneeaarr vveerrssiioonn ooff vveelloocciittyy oorr
aacccceelleerraattiioonn,, ssiimmppllyy mmuullttiippllyy tthhee aanngguullaarr
vveerrssiioonn ooff tthheessee bbyy rr,, tthhee ddiissttaannccee ffrroomm
cceenntteerr

 CCoonnssiiddeerr aa ccaarr ddrriivviinngg tthhrroouugghh aa sshhaarrpp
ttuurrnn oonn aa hhiigghhwwaayy
 TThhee ccaarr’’ss ssppeeeedd rreemmaaiinnss tthhee ssaammee,, bbuutt
tthhee vveelloocciittyy cchhaannggeess
 NNoottee tthhaatt tthhee cchhaannggee iinn vveelloocciittyy iiss dduuee ttoo tthhee
cchhaannggee iinn ddiirreeccttiioonn,, rreeccaallll vveelloocciittyy ddeeppeennddss
oonn ssppeeeedd aanndd ddiirreeccttiioonn

 FFoorr aa ccaarr mmoovviinngg aarroouunndd aa ttuurrnn,, ssuucchh aass
tthhee oonnee wwee’’vvee ddeessccrriibbeedd,, tthhee
aacccceelleerraattiioonn iiss dduuee ttoo cchhaannggee iinn ddiirreeccttiioonn
 WWee ccaallll tthhiiss aacccceelleerraattiioonn cceennttrriippeettaall
aacccceelleerraattiioonn ((cceenntteerr sseeeekkiinngg
aacccceelleerraattiioonn))
2
 GGiivveenn bbyy::
a = v
t
c r
 NNoottiiccee aacc iiss rreellaatteedd ttoo vvtt,, aass iiss ωω,, iinn
ssoo wwee ccaann ffiinndd aacc bbyy::
v r t = w
a r c = w 2

PPeerrppeennddiiccuullaarr
AAcccceelleerraattiioonnss
 TTaannggeennttiiaall aanndd CCeennttrriippeettaall aacccceelleerraattiioonnss
aarree ppeerrppeennddiiccuullaarr ttoo eeaacchh ootthheerr
 WWhheenn aann oobbjjeecctt mmoovveess iinn aa cciirrccuullaarr ppaatthh,, iitt
aallwwaayyss hhaass aa cceennttrriippeettaall ccoommppoonneenntt ooff
aacccceelleerraattiioonn bbeeccaauussee ooff tthhee ddiirreeccttiioonn ooff
ttrraavveell
 HHeennccee,, tthhee ddiirreeccttiioonn ooff vveelloocciittyy iiss ccoonnssttaannttllyy
cchhaannggiinngg
 BBuutt,, iiff tthhee oobbjjeecctt iinnccrreeaasseess oorr ddeeccrreeaasseess ssppeeeedd,,
tthhee oobbjjeecctt wwiillll aallssoo hhaavvee ttaannggeennttiiaall aacccceelleerraattiioonn

SSuummmmaarryy aanndd
CCaallccuullaattiioonn
 TToo ssuummmmaarriizzee tthheessee ccoonncceeppttss,, tthhee ttaannggeennttiiaall
ccoommppoonneenntt ooff aacccceelleerraattiioonn iiss dduuee ttoo cchhaannggiinngg
ssppeeeedd,, tthhee cceennttrriippeettaall ccoommppoonneenntt iiff aacccceelleerraattiioonn iiss
dduuee ttoo cchhaannggiinngg ddiirreeccttiioonn
 FFiinndd tthhee ttoottaall aacccceelleerraattiioonn uussiinngg tthhee PPyytthhaaggoorreeaann
tthheeoorreemm
 WWhheenn bbootthh ccoommppoonneennttss eexxiisstt ssiimmuullttaanneeoouussllyy,, ttaannggeennttiiaall
aacccceelleerraattiioonn iiss ttaannggeenntt ttoo tthhee ppaatthh aanndd cceennttrriippeettaall ppooiinnttss ttoo
tthhee cceenntteerr ooff tthhee ppaatthh
 TThhee ttwwoo aarree ppeerrppeennddiiccuullaarr ttoo eeaacchh ootthheerr,, ffoorrmmiinngg aa rriigghhtt
ttrriiaannggllee
 TThhee mmaaggnniittuuddee ooff ttoottaall aacccceelleerraattiioonn iiss ffoouunndd bbyy ffiinnddiinngg tthhee
hhyyppootteennuussee ooff tthhaatt rriigghhtt ttrriiaannggllee

LLeessssoonn 77--33
CCaauusseess ooff
CCiirrccuullaarr MMoottiioonn

Maintaining CCiirrccuullaarr
MMoottiioonn
 CCoonnssiiddeerr aa tteennnniiss bbaallll ooff mmaassss mm ttiieedd ttoo aa
ssttrriinngg ooff lleennggtthh rr
 BBeeccaauussee tthhee vveelloocciittyy vveeccttoorr cchhaannggeess
ddiirreeccttiioonn ccoonnttiinnuuoouussllyy dduurriinngg tthhee mmoottiioonn,,
tthhee bbaallll eexxppeerriieenncceess cceennttrriippeettaall
aacccceelleerraattiioonn ddiirreecctteedd ttoowwaarrdd tthhee cceenntteerr ooff
mmoottiioonn aass ppeerr :: a = v
2
t
c r

MMoottiioonn
 TThhee iinneerrttiiaa ooff tthhee bbaallll tteennddss ttoo mmaaiinnttaaiinn tthhee bbaallll’’ss
mmoottiioonn iinn aa ssttrraaiigghhtt lliinnee ppaatthh,, hhoowweevveerr tthhee ssttiinngg
ccoouunntteerraaccttss tthhiiss bbyy eexxeerrttiinngg aa ffoorrccee oonn tthhee bbaallll
tthhaatt mmaakkeess tthhee bbaallll ffoollllooww aa cciirrccuullaarr ppaatthh
 TThhiiss ffoorrccee iiss ddiirreecctteedd aalloonngg tthhee lleennggtthh ooff tthhee
ssttrriinngg ttoowwaarrdd tthhee cceenntteerr ooff tthhee cciirrccllee
 TThhee mmaaggnniittuuddee ccaann bbee ffoouunndd bbyy aappppllyyiinngg
NNeewwttoonn’’ss sseeccoonndd llaaww ((FF==mmaa))
F ma c c =

MMoottiioonn
 TThhee nneett ffoorrccee iiss ddiirreecctteedd ttoowwaarrdd tthhee
cceenntteerr ooff tthhee oobbjjeecctt’’ss cciirrccuullaarr ppaatthh aanndd iiss
tthhee ffoorrccee tthhaatt mmaaiinnttaaiinnss tthhee oobbjjeecctt’’ss
cciirrccuullaarr mmoottiioonn
F = mv
t
c r
2
F mr c = w 2

MMoottiioonn
 TThhee ffoorrccee tthhaatt mmaaiinnttaaiinnss cciirrccuullaarr mmoottiioonn iiss
mmeeaassuurreedd iinn tthhee SSII uunniitt ooff NNeewwttoonnss,, jjuusstt lliikkee
ootthheerr ffoorrccee qquuaannttiittiieess
 FFoorr eexxaammppllee,, tthhiiss iiss tthhee ffoorrccee tthhaatt kkeeeeppss aa
rraacceeccaarr’’ss ttiirreess gglluueedd ttoo tthhee ttrraacckk tthhrroouugghh
ccoorrnneerrss aanndd tthhee ffoorrccee tthhaatt kkeeeeppss tthhee mmoooonn iinn
oorrbbiitt aarroouunndd tthhee eeaarrtthh

MMoottiioonn
 BBeeccaauussee tthhee ffoorrccee tthhaatt mmaaiinnttaaiinnss cciirrccuullaarr
mmoottiioonn aaccttss aatt rriigghhtt aanngglleess ttoo tthhee mmoottiioonn,, iitt
ccaauusseess aa cchhaannggee iinn tthhee ddiirreeccttiioonn ooff tthhee
vveelloocciittyy.. IIff tthhiiss ffoorrccee vvaanniisshheess,, tthhee oobbjjeecctt nnoo
lloonnggeerr wwiillll ttrraavveell iinn aa cciirrccuullaarr ppaatthh,, iitt wwiillll
ttrraavveell iinn aa lliinnee ttaannggeenntt ttoo tthhaatt cciirrccuullaarr ppaatthh
 LLeettss tthhiinnkk ooff tthhee tteennnniiss bbaallll sswwiinnggiinngg oonn aa ssttrriinngg,,
aaggaaiinn
 IIff tthhee ssttrriinngg wwoouulldd bbrreeaakk,, tthhee bbaallll wwoouulldd ffllyy oouutt ooff iittss
cciirrccuullaarr ppaatthh

Describing tthhee MMoottiioonn
 LLeettss tthhiinnkk ooff aa ccaarr aapppprrooaacchhiinngg aann eexxiitt
rraammpp oonn tthhee hhiigghhwwaayy
 LLeettss ssaayy tthhee rraammpp ccuurrvveess aarroouunndd ttoo tthhee lleefftt
 AA ppooppuullaarr bbuutt iinnccoorrrreecctt eexxppllaannaattiioonn iiss ttoo ssaayy
tthhaatt CCEENNTTRRIIFFUUGGAALL ffoorrccee ppuusshheess tthhee
ppaasssseennggeerr aaggaaiinnsstt tthhee ddoooorr
 WWee wwiillll nnoott uussee tthhee tteerrmm cceennttrriiffuuggaall ffoorrccee ffrroomm
tthhiiss ppooiinntt ffoorrwwaarrdd

IInneerrttiiaa
 TThhee ppaasssseennggeerr,, iinn tthhee aabboovvee eexxaammppllee,,
ccoonnttiinnuueess ttoo mmoovvee iinn aa ssttrraaiigghhtt lliinnee,, aass ppeerr
NNeewwttoonn’’ss ffiirrsstt llaaww ooff mmoottiioonn,, bbeeccaauussee ooff
iinneerrttiiaa
 TThhee ppaasssseennggeerr wwoouulldd ssttaayy iinn tthheeiirr sseeaatt iiff tthhee
ffoorrccee tthhaatt mmaaiinnttaaiinnss cciirrccuullaarr mmoottiioonn wwaass
llaarrggee eennoouugghh
 TThhiiss ffoorrccee iiss tthhee ffoorrccee ooff ffrriiccttiioonn bbeettwweeeenn tthhee
ppaasssseennggeerr aanndd tthhee sseeaatt

IInneerrttiiaa
 IIff iitt iiss nnoott ggrreeaatt eennoouugghh,, tthhee ppaasssseennggeerr wwiillll
sslliiddee,, nnoott bbyy ssoommee mmyysstteerriioouuss ffoorrccee,, bbuutt
bbeeccaauussee tthhee ffoorrccee tthhaatt mmaaiinnttaaiinnss cciirrccuullaarr
mmoottiioonn wwaass nnoott ggrreeaatt eennoouugghh
 EEvveennttuuaallllyy tthhee ppaasssseennggeerr eennccoouunntteerrss tthhee
ddoooorr,, wwhhiicchh ddooeess pprroovviiddee eennoouugghh ffoorrccee ttoo
mmaaiinnttaaiinn cciirrccuullaarr mmoottiioonn aanndd tthhee ppaasssseennggeerr
tthheenn ttrraavveellss tthhee ssaammee cciirrccuullaarr ppaatthh aass tthhee
ccaarr

LLaaww ooff GGrraavviittaattiioonn
 NNoottee tthhaatt ppllaanneettss mmoovvee iinn nneeaarrllyy cciirrccuullaarr
oobbiittss aarroouunndd tthhee ssuunn
 TThhee ffoorrccee tthhaatt kkeeeeppss tthheessee ppllaanneettss iinn oorrbbiitt iiss
ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee
 TThhee ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee iiss aa ffiieelldd tthhaatt aallwwaayyss
eexxiissttss bbeettwweeeenn ttwwoo mmaasssseess,, rreeggaarrddlleessss ooff
tthhee mmeeddiiuumm tthhaatt sseeppaarraatteess tthhee ttwwoo
 NNoott jjuusstt bbeettwweeeenn llaarrggee mmaasssseess lliikkee tthhee ssuunn,,
mmoooonn aanndd eeaarrtthh
 DDeesskkss iinn aa ccllaassssrroooomm hhaavvee aa mmuuttuuaall aattttrraaccttiioonn
dduuee ttoo ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee

 TThhee ffoorrccee bbeettwweeeenn tthhee ddeesskkss iiss qquuiittee ssmmaallll
ccoommppaarreedd ttoo tthhaatt bbeettwweeeenn tthhee eeaarrtthh aanndd ssuunn
 GGrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee iiss pprrooppoorrttiioonnaall ttoo tthhee
pprroodduucctt ooff tthhee oobbjjeecctt’’ss mmaasssseess
 GGrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee aaccttss ssoo tthhaatt oobbjjeeccttss aarree
aallwwaayyss aattttrraacctteedd ttoo oonnee aannootthheerr..

 TTaakkee tthhee ffoorrccee tthhee EEaarrtthh eexxeerrttss oonn tthhee mmoooonn,,
ffoorr iinnssttaannccee
 WWee kknnooww ffrroomm NNeewwttoonn’’ss tthhiirrdd llaaww tthhaatt ffoorr
eevveerryy ffoorrccee,, tthheerree iiss aann eeqquuaall aanndd ooppppoossiittee
ffoorrccee
 SSoo iitt wwoouulldd oonnllyy ffoollllooww tthhaatt tthhee mmoooonn wwoouulldd
eexxeerrtt aann eeqquuaall aanndd ooppppoossiittee ffoorrccee oonn tthhee
EEaarrtthh
 WWee ssaayy FFEEmm == FFmmEE

 GGrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee iiss pprrooppoorrttiioonnaall ttoo tthhee ddiissttaannccee
bbeettwweeeenn ttwwoo mmaasssseess
 IIff ttwwoo mmaasssseess,, mm11 aanndd mm22 aarree sseeppaarraatteedd bbyy aa
ddiissttaannccee rr,, tthhee ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee iiss ggiivveenn bbyy tthhee
ffoolllloowwiinngg eeqquuaattiioonn::
F = G m m
1 2
g r 2
 WWhheerree GG iiss tthhee uunniivveerrssaall ggrraavviittaattiioonnaall ccoonnssttaanntt
wwhhiicchh iiss uusseedd ttoo ffiinndd tthhee ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee bbeettwweeeenn
ttwwoo mmaasssseess
 GG == 66..667733 1100--1111

 GGrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee iiss llooccaalliizzeedd ttoo tthhee
cceenntteerr ooff aa sspphheerriiccaall mmaassss
 TThhee ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee eexxeerrtteedd bbyy aa sspphheerriiccaall
mmaassss oonn aa ppaarrttiiccllee oouuttssiiddee tthhee sspphheerree iiss tthhee
ssaammee aass iitt wwoouulldd bbee iiff tthhee eennttiirree mmaassss ooff tthhee
sspphheerree wweerree ccoonncceennttrraatteedd aatt iittss cceenntteerr
 FFoorr eexxaammppllee,, tthhee ggrraavviittaattiioonnaall ffoorrccee ooff aa ppllaanneett
oonn aann oobbjjeecctt oonn tthhee ssuurrffaaccee iiss tthhee ssaammee aass iiff wwee
aassssuummee tthhee eennttiirree ffoorrccee ffrroomm ggrraavviittyy ccoommeess ffrroomm
tthhee cceenntteerr ooff tthhee tthhaatt ppllaanneett
 UUssee tthhee rraaddiiuuss ooff tthhee ppllaanneett ffoorr tthhee ddiissttaannccee
bbeettwweeeenn tthhee ttwwoo oobbjjeeccttss

Chapter 7 - Rotational Motion

More Related Content

What's hot (18)

Viewers also liked (14)

Similar to Chapter 7 - Rotational Motion (20)

Chapter 7 - Rotational Motion