Exploring the feature space of large collections of time series

Exploring the feature space of large time series collections 1
Exploring the
feature space of
large collections
of time series
Rob J Hyndman

Exploring the feature space of large time series collections 1
Exploring the
feature space of
large collections
of time series
Rob J Hyndman
with Earo Wang, Nikolay Laptev
Yanfei Kang, Kate Smith-Miles

Outline
1 M3 competition data
2 Yahoo web trafﬁc
3 What next?
Exploring the feature space of large time series collections M3 competition data 2

M3 forecasting competition

“The M3-Competition is a ﬁnal attempt by the authors to
settle the accuracy issue of various time series methods. . .
The extension involves the inclusion of more methods/
researchers (in particular in the areas of neural networks
and expert systems) and more series.”
Makridakis & Hibon, IJF 2000
3003 series
All data from business, demography, ﬁnance and
economics.
Series length between 14 and 126.
Either non-seasonal, monthly or quarterly.
All time series positive.

q

Key idea
Examples for time series
lag correlation
size and direction of trend
strength of seasonality
timing of peak seasonality
spectral entropy
Called “features” or “characteristics” in the
machine learning literature.
John W Tukey
Cognostics
Computer-produced diagnostics
(Tukey and Tukey, 1985).

An STL decomposition
Quarterly visitor nights: Mornington Peninsula
Yt = St + Tt + Rt St is periodic with mean 0
5.06.07.0
data
−0.50.5
seasonal
5.86.16.4
trend
−0.40.0
2000 2005 2010
remainder
timeExploring the feature space of large time series collections M3 competition data 7

Candidate features
STL decomposition
Yt = St + Tt + Rt
Seasonal period
Strength of seasonality: 1 − Var(Rt)
Var(Yt−Tt)
Strength of trend: 1 − Var(Rt)
Var(Yt−St)
Spectral entropy: H = −
π
−π fy(λ) log fy(λ)dλ,
where fy(λ) is spectral density of Yt.
Low values of H suggest a time series that is
easier to forecast (more signal).
Autocorrelations: r1, r2, r3, . . .
Optimal Box-Cox transformation parameter λ

Dimension reduction for time series
q

q
SpecEntr
0.0 0.4 0.8 2 6 10 0.0 0.4 0.8
0.50.9
0.00.6
Trend
Season
0.00.6
28
Freq
ACF
−0.40.6
0.5 0.7 0.9
0.00.6
0.0 0.4 0.8 −0.4 0.2 0.8
Lambda
Feature
calculation

q
SpecEntr
0.0 0.4 0.8 2 6 10 0.0 0.4 0.8
0.50.9
0.00.6
Trend
Season
0.00.6
28
Freq
ACF
−0.40.6
0.5 0.7 0.9
0.00.6
0.0 0.4 0.8 −0.4 0.2 0.8
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−3
−2
−1
0
1
2
3
−2 0 2 4
PC1
PC2
Feature
calculation
Principal
component
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Outline
3 What next?
Exploring the feature space of large time series collections Yahoo web trafﬁc 15

Yahoo web-trafﬁc
Tens of thousands of time series collected at
one-hour intervals over one month.
Consisting of several server metrics (e.g. CPU usage
and paging views) from many server farms globally.
Aim: ﬁnd unusual (anomalous) time series.

Yahoo web-trafﬁc
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Feature space
ACF1: ﬁrst order autocorrelation = Corr(Yt, Yt−1)
Strength of trend and seasonality based on STL
Trend linearity and curvature
Size of seasonal peak and trough
Spectral entropy
Lumpiness: variance of block variances (block size 24).
Spikiness: variances of leave-one-out variances of STL remainders.
Level shift: Maximum difference in trimmed means of consecutive
moving windows of size 24.
Variance change: Max difference in variances of consecutive
moving windows of size 24.
Flat spots: Discretize sample space into 10 equal-sized intervals.
Find max run length in any interval.
Number of crossing points of mean line.
Kullback-Leibler score: Maximum of
DKL(P Q) = P(x) ln P(x)/Q(x)dx where P and Q are estimated by
kernel density estimators applied to consecutive windows of size 48.
Change index: Time of maximum KL score

Principal component analysis
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−2.5 0.0 2.5
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standardizedPC2(17.3%explainedvar.)

What is “anomalous”
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fspots
trend
linearity
curvature
spikiness
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peaktrough
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−4
−2
0
2
−2.5 0.0 2.5
standardized PC1 (28.7% explained var.)
standardizedPC2(17.3%explainedvar.)
We need a measure of the “anomalousness” of a time
series.
1 Rank points based on their local density.
2 Rank points based on whether they are within
α-convex hulls of different radius.

Bivariate kernel density
ˆf(x; H) =
1
n
n
i=1
KH(x − Xi)
Xi ∈ a bivariate random sample {X1, X2, . . . , Xn}
KH(x) is the standard normal kernel function
H estimated by minimizing the sum of AMISE
Rank points based on ˆf values in 2d PCA space.

Bivariate density ranking
−5 0 5
−8−6−4−20246
pc1
pc2
1
2
3
4
5

Bivariate density ranking
0
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20000
30000
40000
0
2000
4000
6000
0
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20000
30000
40000
50000
0
10000
20000
30000
40000
0
1000
2000
3000
4000
5000
S7793S8494S10464S7833S1715
2015−02−28
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2015−03−02
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2015−03−04
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2015−03−24
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2015−03−28
2015−03−29
2015−03−30
2015−03−31
2015−04−01
date
value

α-convex hulls
The space generated by point pairs that can be
touched by an empty disc of radius α.
α → ∞ gives a convex hull.
Points can become isolated when α is small.
We rank points based on the value of α when
they become isolated.

α-convex hull
−5 0 5
−8−6−4−20246
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