Met num 7

5. 5 Metode Dekomposisi LU
Pada metode merupakan hasil dari pengembangan dari metode sebelumnya dengan
beberapa manipulasi matriks aljabar.
5. 5. 1 Metode Dekomposisi LU Naif
Persamaan yang dipecahkan dalam bentuk notasi matriks :
[A] {X} = {C} (5. 5. 2)
yang dapat disusun
[A] {X} – {C} = 0 (5. 5. 3)
Jika persamaan (5. 5. 2) dapat dinyatakan ulang sebagai sistem segitiga atas dengan angka
1 pada diagonal :
 1 u12 u13 u14   x 1  d 1 
0 1
 u 23 u 24   x 2 
  =
d 
 2
    (5. 5. 4)
0 0 1 u 34   x 3  d 3 
 
0 0 0 1  x4 
  d 4 
 
atau dalam bentuk matriks dapat disusun kembali
[U] {X} – {D} = 0 (5. 5. 5)
Misalkan terdapat matriks diagonal bawah :
 l 11 0 0 0
l l 22 0 0
 12  (5. 5. 6)
 l 13 l 23 l 33 0
 
 l 14 l 24 l 34 l 44 

Persamaan (5. 5. 3) jika dikalikan dengan (5. 5. 6) maka,

[L]{[U] {X} – {D}} = [A] {X} – {C} (5. 5. 7)
Jika persamaan ini berlkau maka,
[L] [U] = [A] (5. 5. 8)
dan
[L] {D} = {C} (5. 5. 9)
Persamaan (5. 5. 8) diacu sebagai persamaan LU dekomposisi dari [A]. Dari persamaan ini
dapat diperoleh penyelesaian dengan prosedur subtitusi dua langkah dengan menggunakan
[L] dan [U].

Satu cara untuk membuktikan rumusan ini adalah membuat metode Gauss dalam
bentuk dekomposisi LU, untuk mempermudah pengertian dapat ditunjukan illustrasi dari
metode ini.

56

[A]{X}={C}
(a) Dekomposisi
[U] [L]

[L]{D}={C}
(b) Maju
{D}
Pensubtitusian
[ U ] { X }={ D }
(c) Mundur
{X}

Contoh 5. 5. 10

Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian

Dengan menyatakan dalam bentuk matriks,

 3  0.1  0.2 
[A] = 0.1
 7  0.3 

0.3  0.2 10 
 

setelah eliminasi maju, diperoleh matriks segitiga atas,

3  0.1  0.2 
0 7.00333  0.293333
[U] =  
0
 0 10.0120 

faktor – faktor yang dipakai untuk memperoleh matriks segitiga atas dapat dibuat menjadi
suatu matriks segitiga bawah. Sehingga elemen-elemen a21 dan a31 dihilangkan dengan
menggunakan,

0 .1 0 .3
f21 = = 0. 0333333 f31 = = 0. 100000
3 3

dan akhirnya elemen f32 dihilangkan dengan menggunakan faktor,

 0.2
f32 = = - 0. 0271300
7.00333

57

Jadi matriks segitiga bawah, adalah

 1 0 0
0.0333333
[L] =  1 0

 0.100000  0.0271300 1
 

sehingga dekomposisi LU adalah,

 1 0 0 3  0.1  0.2 
0.0333333
[A] = [L] [U] =  1  0 7.00333  0.293333
0  
 0.100000  0.0271300 1 0
  0 10.0120 

dimana hasilnya dapat diperiksa dengan,

 3  0.1  0.2   3  0.1  0.2 
0.0999999 7
[L] [U] =   0.3   0.1 7  0.3 
  
 0.3
  0.2 9.99996 0.3  0.2 10 
  

5. 5. 2 Metode Dekomposisi Crout
Salah satu cara yang paling efektif diantara metode – metode perbaikan ini disebut
dekomposisi crout yang merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] atas
[L] dan [U], metode ini dikenal juga sebagai metode reduksi (metode reduksi Cholesky
atau metode Dolittle).

Misalkan matriks 3 x 3 berikut :

 a 11 a 12 a 13  1 0 0  u11 u12 u13 
A = a 21
 a 22 a 23  L =

l
 21 1 0 U =

0
 u 22 u 23 

a 31
 a 32 a 33 
  l 31
 l 32 1
 0
 0 u 33 


Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U dapat ditulis,

 u11 u12 u13   a 11 a 12 a 13 
LU =  l 21 u11
 l 21 u12  u22 l 21 u13  u23  =A=

a
 21 a 22 a 23 

 l 31 u13
 l 31 u12  l 32 u22 l 31 u13  l 32 u23  u33 
 a 31
 a 32 a 33 


Sehingga,

u11 = a11, u12 = a12, u13 = a13  baris pertama U

a 21 a
l21u11 = a21  l21 = dan l31u13 = a31  l31 = 31  kolom pertama L
u 11 u 11

58

l21u12 + u22 = a22  u22 = a22 – l21u12  baris pertama U

l21u13 + u23 = a23  u23 = a23 – l21u13  baris pertama U

a 32  l 31 u12
l31u12 + l32u22 = a23  l32 =  kolom kedua L
u 22

l31u13 + l32u23 + u33 = a33  u33 = a33 – (l31u13 + l32u23)  baris Ketiga U

59

Met num 7

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Met num 7 (20)

More from Amri Sandy (20)

Met num 7