簡單線性迴歸模型 Regression(4 1)
- 1. 簡單線性迴歸模型 18.1 前言 18.2 簡單線性迴歸模型 18.3 簡單線性迴歸模型的估計量 18.4 簡單線性迴歸模型的驗証 18.5 迴歸模型的殘差分析
- 2. 1 前言 本章介紹「簡單線性迴歸模型」的理論，主要從「為什麼」的觀點來探討，其包括簡單線性迴歸的模型、模型的估計、模型的驗証等。文中也強調並敘述利用線性迴歸分析技術所應注意的課題。雖然本章是針對簡單線性迴歸模型的理論，但其理念亦可用到「複線性迴歸模型」。「複線性迴歸模型」將另闢章節討論。
- 3. 2 簡單線性迴歸模型 簡單線性迴歸模型是假設『 依變數 Y 之期望值為自變數 X 之線性函數 』，即所有 Y i 之期望值均落在一直線上，此稱之為『迴歸線性假設（ The linearity of regresssion ）或迴歸共線假設』。 《圖 18.2-1 》簡單線性迴歸模型
- 4. 3 簡單線性迴歸模型的估計量 簡單線性迴歸分析的目的，是要瞭解是否能用自變數 X 來解釋依變數 Y ，亦即變數 X 和 Y 的關係是否密切，而足以適當地用一種線性方程式來表示。 換言之，即是要求出一條經過這 n 個點（資料對）的最適線性方程式（稱之為 線性迴歸方程式或迴歸直線 ），即可由變數 X 的值求出 Y 的值。 一般求出此線性迴歸方程式的方法是利用最小平方法：即是利用這 n 個點，求出未知參數 α 和 β 的估計量，分別表示為 α 和 β 。
- 5. 4 簡單線性迴歸模型的驗証 依變數是要被預測的變數，也是迴歸問題的中心，由於依變數的結果無法事先預知，因此必須利用其他變數（因素）來解釋它。 要找出適當的變數，首先必須要確立此變數與依變數是否有因果關係？因果關係愈強愈佳。 除了因果關係的考慮外，下一步即要選擇關係密切者。這可利用圖示法來判斷，若圖形顯示兩個變數成「非水平的狹窄帶狀」關係時，此變數應是一適當的自變數，而且圖形愈狹窄愈佳。 4.1 首先確立依變數，並找出適當的自變數
- 6. 4.2 求出簡單線性迴歸方程式 將所收集到的資料代入 (1) 式中，求出截距 a 和斜率 b ，即可獲得簡單線性迴歸方程式。 ．．．．． (1) 簡單線性迴歸方程式：
- 7. 4.3 檢定參數 ( 理論的截距和斜率 ) 斜率的檢定 虛無假設： β ＝ 0 對立假設： β≠0 1 截距的推論檢定 虛無假設： α ＝ 0 對立假設： α ≠0 2
- 8. 4.4 判定簡單線性迴歸模型的適合性 判定係數 若「迴歸變異」愈趨近於「總變異」，則表示依變數的變化能由迴歸模型來解釋，此時表示此迴歸模型極合適。「迴歸變異」與「總變異」的比值稱為判定係數 ，表為 R 2 ， 0≤R 2 ≤1 。 2 模型適合性的檢定 虛無假設：迴歸模型不適合 （解釋能力極低或斜率為零） 對立假設：迴歸模型適合 （解釋能力高或斜率不為零 ） 1
- 9. 4.5 檢定模型的假設 如果可以獲得合適的線性迴歸方程式，但此迴歸模型是否滿足各項的假設呢？因為迴歸模型的建立是根基於這些假設。顯然，若其偏離假設太遠，則此迴歸模型就有問題，所以有必要去檢視這些假設是否成立。這些假設的檢視稱為殘差分析，請見本章 18.5 節的討論。
- 10. 4.6 利用簡單線性迴歸模型作預測 在某特定值時之期望值的預測 （ 1-r ） % 的信賴區間的估計值為： 1 《圖 18.4-1 》個別反應值的預測圖示 在某特定值時之個別反應值的預測 （ 1-r ） % 的信賴區間的估計值為： 2
- 11. 5 迴歸模型的殘差分析 判定假設的正確性，先假定「迴歸模型的假設是正確，然後再利用現有的資料去驗証其正確性」。此現有的資料就是殘差，因為所有變化的資料均在殘差內，所以利用分析殘差的結果來判斷假設的正確性是合理可行的，此謂之「殘差分析」。 但必須知道「即使所有的假設均通過驗証，也不能完全斷言迴歸模式是正確無誤，而僅能表示以現有的資料，並不能判定其不合理」。 要分析殘差以驗証假設，可用圖示法來分析： A. 繪殘差次數分配圖，判定是否為常態分配。 B. 依收集資料的順序，繪殘差點圖。 C. 繪殘差 e i 與迴歸估計值 y i 的對應圖。 D. 繪殘差 e i 與自變數 X （即 x i ）的對應圖。
- 12. 5.1 殘差相關變數和意義 未標準化的預測量（估計量： PRED ） 估計量為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 估計值為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 1 Leverage 值（ Hat 矩陣對角元素 h i ： LEVER ） 2 預測值的標準差（ SPERED ） 3
- 13. 標準化的預測量（ ZPRED ） 4 未標準化的殘差（ RESID ） 5 標準化殘差（ ZRESID ） 6 Studentized 殘差（ SRESID ） 7
- 14. 調整的預測量（ ADJPRED ） 估計量為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 估計值為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 8 刪除型殘差（ Deleted residual ： DRESID ） 估計量為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 估計值為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 9 Studentized 刪除型殘差（ SDRESID ） 估計量為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 估計值為 ， i=1 、 2 、 ... 、 n 10
- 15. Mahalanobis 距離（ MAHAL ） 11 Cook- 距離（ COOK ） 12 Durbin-Watson 統計量（ DW ： DURBIN ） 13
- 16. 5.2 驗証常態分配 要驗証誤差變數是否具常態分配，可繪殘差次數分配圖，由該圖可概略判斷母群體的誤差變數是否是常態分配？且其平均數（期望值）是否為零。 另一種方法是利用「常態點圖（ normal plot ）」，將每個殘差分別描繪在圖上。若誤差變數是常態分配，則圖上點之連線應近似一直線。
- 17. 5.3 驗証變異數（標準差）相等 《圖 18.5-1 》標準常態分配機率圖 繪標準化殘差次數分配圖 1 繪殘差 e i 與迴歸估計值 y i 的對應圖 2 繪殘差 e i 與自變數 X 的對應圖 3
- 18. 5.4 驗証線性假設 若自變數只有一個，則可繪依變數和自變數的散佈圖，檢視此圖是否近似直線。若否，就不應該以此兩變數作簡單迴歸分析。 繪「殘差 e i 與迴歸估計值 y i 的對應圖」和「殘差 e i 與自變數 X 的對應圖」。若圖型顯示不成一「以零為中心的水平帶狀」時，也表示其關係並非線性。此時也可利用將依變數轉換的方式處理（如取對數或開根號等）。 1 2
- 19. 5.5 驗証獨立性 依收集資料的先後順序，繪殘差點圖。若資料是彼此獨立時，殘差應會隨機散佈在圖上，換言之，殘差應不會成群出現在零線（即原點）的某一方，否則表示非獨立。除了圖示法外，亦可利用 Durbin-Watson 統計量，或其他無母數分析法，如「符號檢定（ sign-test ）」等來檢定獨立性，有興趣的讀者可參考相關書籍。
- 20. 5.6 例外值 (Outliers) 的處理 《圖 18.5-3 》殘差的例外值
- 21. 5.7 資料轉換 適合簡單線性迴歸模型。 1 簡單線性迴歸模型不顯著，可再加入其他自變數於模型內（複迴歸分析）。 2