Matematika 2 - Slide week 10 - Teori Laplace dan Cramer
Download as PPTX, PDF2 likes6,984 views
Dokumen ini membahas tentang determinan, minor, dan kofaktor pada matriks serta penerapannya dalam teorema Laplace dan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Diberikan juga contoh perhitungan untuk menjelaskan konsep tersebut. Akhir dokumen mengajak pembaca untuk berlatih menghitung determinan dan menyelesaikan sistem persamaan menggunakan aturan Cramer.
Matematika 2 - Slide week 10 - Teori Laplace dan Cramer
- 1. Modul ke: Fakultas Program Studi Matematika 2 Determinan Beny Nugraha, MT, M.Sc 10FAKULTAS TEKNIK TEKNIK ELEKTRO
- 2. Ekspansi Kofaktor • Jika sebuah matriks dengan orde n memiliki determinan, maka yang dimaksud dengan Minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. • Contoh: Jika terdapat matriks orde-4 sebagai berikut: • Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan:
- 3. Ekspansi Kofaktor • Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan: • Sedangkan pengertian Kofaktor suatu unsur determinan aij adalah:
- 4. Ekspansi Kofaktor • Contoh: Terdapat matriks berikut: • Maka, Minor a32 adalah: • Nilai dari Minor a32 adalah: 2.7 – 4.5 = -6 • Sedangkan Kofaktor a32 adalah: C32 = (-1)3+2 (-6) = 6
- 5. Teorema Laplace • “Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”. Atau dengan kata lain: • Di mana nilai i sembarang, Persamaan di atas disebut uraian baris ke-i (Ekspansi Baris). • Di mana nilai j sembarang, Persamaan di atas disebut uraian kolom ke-j (Ekspansi Kolom).
- 6. Teorema Laplace • Contoh: Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan Kofaktor: • Jawab: Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. Maka: Minor a11:
- 7. Teorema Laplace • Jawab: Minor a21: Minor a31: Kofaktornya: Maka determinan A adalah:
- 8. Teorema Laplace • Latihan: Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan Kofaktor: 𝐴 = 4 1 −3 2 −5 −2 0 4 6
- 9. Aturan Cramer • Aturan Cramer dapat digunakan untuk menentukan solusi Sistem Persamaan Linear (SPL). Aturan Cramer berbunyi: “Misalkan SPL dengan n persamaan dan n variabel dapat ditulis secara matriks Anxn Xnx1 = Bnx1 dan det(A) ≠ 0. Maka nilai dari variabel xi dapat dihitung dengan rumus: Di mana Ai adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti kolom-i dengan matriks kolom B.”
- 10. Aturan Cramer • Contoh: Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer: 2x1 + 3x2 + x3 = 13 -4x1 + 5x2 + 2x3 = 0 3x1 - 5x2 + 5x3 = 10 Jawab:
- 11. Aturan Cramer • Sehingga: x1 = |A1|/|A| = 387/129 = 3 x2 = |A2|/|A| = 258/129 = 2 x3 = |A3|/|A| = 129/129 = 1
- 12. Aturan Cramer • Latihan: Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer: -x1 + 5x2 - 3x3 = 4 2x1 + 2x2 + 5x3 = 5 3x1 - 3x2 - 2x3 = 10
- 13. Terima Kasih Beny Nugraha, MT, M.Sc