Розв"язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними
1. Конспект уроку №
Тема уроку. Розв’язування систем рівнянь другого степеня із двома змінними.
Мета: сформувати знання учнів про спосіб класифікації систем рівнянь з двома
змінними за степенем рівнянь, що входять до їх складу; сформувати знання учнів про
стандартний спосіб розв'язування систем рівнянь з двома змінними, у яких одне з
рівнянь є лінійним, а інше — нелінійними. Виробити вміння: відтворювати Зміст
вивченого на уроці матеріалу, а також виконувати дії відповідно до алгоритму
розв'язування систем рівнянь способом підстановки при розв'язуванні систем рівнянь
з двома змінними, у яких одне з рівнянь є лінійним, а інше — нелінійним; розвивати
способи і прийоми мислення, індивідуальні здібності учнів, їх пізнавальні інтереси;
виховувати охайність, уміння досягти мети, культуру математичного мовлення,
інтерес до предмета.
Тип уроку. Формування знань, вироблення вмінь.
Обладнання. Підручник, презентація
Хід уроку
I. Організаційний етап
II. Перевірка домашнього завдання
Учитель перевіряє правильність виконання домашнього завдання
III. Актуалізація опорних знань
Усні вправи
1. Виразіть одну змінну через іншу з рівняння:
1) 2x + 4y = 12; 2) 5х + у = 1; 3) ху = -1;
4) у – х2
+ 5 = 0; 5) х + 3у – 2ху = 4.
2. Чи є розв'язком системи
=−
=−
44
,12
xу
ух
пара чисел:
1) (-1; 1); 2) (2; -1); 3) (6; 2,5)?
3. Назвіть два розв'язки рівняння:
1) у = 2х + 5; 2) ху = 0; 3) х – у = 1; 4) 6 + 0 ∙ х = 2у.
4. Розв'яжіть систему рівнянь:
1)
−=−
=
;22
,5
уx
х
2)
=
−=−
;
3
1
,26
у
ух
3)
=−
=
;72
,
уx
ух
4)
=−
=+
.1
,3
уx
ух
5. Розв'яжіть рівняння:
1) х2
– х – 2 = 0; 2) х2
+ 2х + 1 = 0; 3) х2
– 5x + 4 = 0.
IV. Формування мети та задач уроку. Мотивація навчальної діяльності учнів
На початку вивчення теми доцільно розглянути практичну задачу, яка приводить
учнів до усвідомлення того факту, що вивчений спосіб розв'язування систем рівнянь,
з двома змінними із використанням побудов графіків рівнянь системи має один
суттєвий недолік — неточність, а також обмеженість використання (учні мають
знання про досить обмежене коло видів функцій та їхніх графіків). А тому постає
питання про існування та оволодіння учнями іншими, більш точними та
2. універсальними способами розв'язування систем рівнянь з двома змінними. Таким
чином формулюється загальне завдання на наступні три уроки. Мета даного уроку
більш конкретна — вивчення питання про застосування відомих учням із 7 класу
способів (підстановки та додавання), які були використані для розв'язування систем
лінійних рівнянь з двома змінними і систем нелінійних рівнянь з двома змінними
V. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу
Розв'язування систем рівнянь
з двома змінними способом підстановки
Якщо в системі рівнянь з двома змінними одне з рівнянь є рівнянням першого
степеня (лінійним), то таку систему можна розв'язати способом підстановки.
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
=+
=−
.283
,23
22
уx
ух
Розв'язання
1. 3х – у = 2 — рівняння першого степеня, виразимо у через х із цього рівняння: у =
3х – 2.
2. Підставимо замість у у друге рівняння вираз 3х – 2 і розв'яжемо одержане
рівняння зі змінною х:
3x2
+ (3x – 2)2
= 28; 3х2
+ 9x2
– 12х + 4 – 28 = 0; 12x2
– 12х – 24 = 0;
х2
– х – 2 = 0; х1 = -1; х2 = 2.
3. За формулою у = 3х – 2 знайдемо відповідні значення змінної у:
у1 = 3х1 – 2 = 3 ∙ (-1) – 2 = -5; у2 = 3х2 – 2 = 3 ∙ 2 – 2 = 4. Отже, система має
розв'язки: х1 = -1; у1 = -5; х2 = 2; у2 = 4.
Відповідь: (-1; -5); (2; 4).
Розв'язування систем нелінійних рівнянь
з двома змінними способом алгебраїчного додавання
Приклад:
⋅=
=+
23
1022
xу
ух
Коментар
1. х2
+ 2ху + у2
= 16; (х + у)2
= 16;
−=+
=+
.4
,4
уx
ух 1. Помножимо друге рівняння
на 2 і додамо до першого.
2.
=
−=+
=
=+
;3
,4
;3
,4
xу
ух
ху
ух
⇒
=−−
−−=
=−
−=
;3)4(
,4
;3)4(
,4
уу
ух
уу
ух
⇒
−−=
=++
−=
=+−
;4
,034
;4
,034
2
2
ух
уу
ух
уу
.1;3
;3;1
;1;3
;3;1
43
43
21
21
−=−=
−=−=
==
==
хх
уу
хх
уу
2. Розв'яжемо окремо дві
системи, у яких одне з
рівнянь є лінійним.
3. Відповідь: (3; 1); (1; 3); (-3; -1); (-1; -3).
Розв'язування систем нелінійних рівнянь
з двома змінними заміною змінних
Приклад:
=+
=−
.14
2
3
,3
у
х
xу
у
х
ху
Коментар
1.
=
=
.
,
b
у
х
aху
=+
⋅=−
;1423
,23
ba
ba
=+
=−
1423
,622
ba
ba
⇒
⇒
=+
=
;1423
,205
ba
a
а = 4; b = 1.
1. Зробимо заміну ху = а; =
b і розв'яжемо утворену
систему способом додавання.
2.
=
=
;1
,4
у
х
ху
=
=
;
,4
yx
ху
.2;2
;2;2
22
11
−=−=
==
ух
ух
Відповідь: (2; 2); (-2; -2).
2. Виконаємо обернену заміну і
розв'яжемо систему способом
підстановки.
Розв'язування систем рівнянь виду
=
=+
,
,
bxy
aух
де а і b — деякі відомі числа, із застосуванням теореми,
оберненої до теореми Вієта
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
=
=+
.6
,5
xy
ух
За теоремою, оберненою до
теореми Віета, х і у є коренями рівняння t2
– 5t + 6 = 0; t1 = 1; t2 = 3.Отже, х1 = 2; у1
= 3 і х2 = 3; у2 = 2.
Відповідь: (2; 3); (3; 2).
Розв'язування систем нелінійних рівнянь з двома змінними способом
почленного ділення рівнянь системи
Приклад:
=−
=−
560
,35
23
хуxy
хху
Коментар
1.
=−
=−
;560)(
,35
2
хxyу
хху
=
=−
;16
,35
2
у
хху
−==
=−
.4;4
,35
уу
хху 1. Розкладемо на множники
друге рівняння та поділимо
його на перше почленно.
