transformasi_linear.pdf tranformasi linier

Munawar, PhD
Aljabar Linier & Matrik
11. Transformasi Linear

2
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
V
b
a 
, R


 
b
a
T
.
1    
b
T
a
T 
 
a
T 
.
2  
a
T

Transformasi Linear

3
Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana
merupakan tranformasi linear.
Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa



























y
x
y
x
y
x
T
,
2
1









u
u
u
2
2
1
R
v
v
v 









     
v
T
u
T
v
u
T 


Rumus Transformasi
Contoh 1

4
Terbukti bahwa
 
 v
u
T 






















2
1
2
1
v
v
u
u
T
   
 

















2
2
1
1
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
   

















2
2
1
1
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u


























2
1
2
1
2
1
2
1
v
v
v
v
u
u
u
u
     
v
Τ
u
Τ
v
u
T 



5
(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi, T merupakan transformasi linear.
R
R
u 
 
dan
2
  
















2
1
u
u
u
















2
1
2
1
u
u
u
u




 
 
  












2
1
2
1
u
u
u
u
















2
1
2
1
u
u
u
u

 
u
Τ
α


6
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh
T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
Misalkan
maka untuk setiap  R berlaku
det (A) =
2
2
4
3
2
1
x
M
a
a
a
a
A 

















4
3
2
1
det
a
a
a
a




  )
det(
2
4
3
2
1
2
A
a
a
a
a 
 


Contoh 2

7
Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A)
Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan













c
a
b
a
cx
bx
a
T )
( 2
)
1
( 2
x
x
T 

2
1 2 3
p u u x u x
   2
1 2 3
q v v x v x
  
Jawab :
a.(i) Ambil unsur sembarang P2,

8
Sehingga
Perhatikan bahwa
p q
        2
3
3
2
2
1
1 x
v
u
x
v
u
v
u 




       
 
2
1 1 2 2 3 3
T p q T u v u v x u v x
      
   
   














3
3
1
1
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
   
   














3
1
3
1
2
1
2
1
v
v
u
u
v
v
u
u






















3
1
2
1
3
1
2
1
v
v
v
v
u
u
u
u
   
2
3
2
1
2
3
2
1 x
v
x
v
v
T
x
u
x
u
u
T 






9
Ambil unsur sembarang P2,
dan   R, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2
1 2 3
p u u x u x
  
   
2
3
2
1 x
u
x
u
u
T
u
T 

 

 
 










3
1
2
1
u
u
u
u




 
 










3
1
2
1
u
u
u
u













3
1
2
1
u
u
u
u

 
2
3
2
1 x
u
x
u
u
T 

 

10
b.
Suatu transformasi linear T : V  W dapat
direpresentasikan dalam bentuk :
 A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3
didefinisikan oleh :


 )
1
( 2
x
x
T 


















0
0
1
1
1
1
  u
A
u
T 
u
untuk setiap  V.




























y
x
y
x
y
x

11
Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah
Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

















































y
x
y
x
y
x
y
x
1
0
0
1
1
1













1
0
0
1
1
1
A

12
dimana
 
2
1,v
v


3
2
: R
R 

   
i
i u
v 

 
  2
2
2
1
1
1
u
v
v
T
u
v
v
T






    2
3
2
1
2
2
2
1
2
3 x
x
x u
u
v
v 
  
2
1 v
v
   1
2
1
2
1


 v
v
u
u
Misalkan
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
untuk setiap i = 1,2.
Sehingga
Jadi
basis bagi V
maka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :
Tulis :

13













































1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
3
2
1 v
v
v
1
3
: P
R 

  i
i
i p
v
A
v
T 

x
p
p
x
p 2
;
1
;
1 3
2
1 

























2
1
1
dan
Contoh 3 :
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiap i = 1,2,3.
Tentukan :
Matrix transformasi
Jika

14
      































2
0
2
;
0
1
1
;
1
1
1
1 3
2 B
B
B x
p
p
x
p
3
,
2
,
1
, 


 i
i
i p
v























2
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
2
0
1
0
1
1
























Jawab
Karena
Maka
atau
Definisikan :

15











 1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1











 1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
~











1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
~
































2
2
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
0
1
0
1
1








 2
2
1
0
1
0
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah

16



































2
1
1
2
1
1






























1
1
2
1
1
2
2
1
0
1
0
2
1
1
1
x
B

















ingat bahwa
jadi
Sementara itu,
 
x
























 1
2
1
1

17
 
2
2
1
,
,
1 x
x
x
x
x 




 












2
1
0
1 x
T  













0
2
1
2
x
x
T  













0
1
2
1 2
x
x
T
 
2
1 x
x
T 

Contoh 4 :
Jika T : P2  R3 adalah transformasi linear
dimana
Tentukan
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

18
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenis
sehingga diperoleh SPL
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.
1
1
1
3
2
3
2
1
3
1








k
k
k
k
k
k
k
     
2
3
2
2
1
2
1
1
1 x
x
k
x
x
k
x
k
x
x 









Jawab

19
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
       
2
2
2
1
2
1
0
1 x
x
T
x
x
T
x
T
x
x
T 































0
1
2
0
2
1
2











0
5
4
       
 
2
2
2
1
1
2
1
0
1 x
x
x
x
x
T
x
x
T 









     
2
2
2
1
1
2
1
0
1 x
x
x
x
x
x
x 










20
Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear
Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W
dinamakan kernel T
notasi ker ( T ).
atau
Contoh 5 :
Trans. Linear T : P2  R2
Perhatikan bahwa
maka
 
 
0
|
)
( 

 u
T
V
u
T
Ker













c
a
b
a
cx
bx
a
T )
( 2


 )
1
( 2
x
x
T 


















0
0
1
1
1
1
)
(
1 2
T
Ker
x
x 


Kernel dan Jangkauan

21
Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal
transformasi merupakan unsur kernel T.
Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai
vektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :
Jika T : V  W adalah transformasi linear
maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :
Ambil sembarang dan Riil
)
(
, T
Ker
b
a 
)
(
2
1 2
T
Ker
x
x 


0
1
1
)
2
1
( 2











 x
x
T

22
1. Karena setiap
artinya setiap
maka Ker(T)  V
2. Perhatikan bahwa
artinya setiap
oleh karena itu Ker(T) ≠ { }
3. Karena dan Ker(T)  V
Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)
(T
Ker
a 
  0
sehingga 
 a
T
V
a
)
(
0 T
Ker

  0
0
0 
 A
T
)
(
, T
Ker
b
a 
V
b
a 

  0
0
0 




 b
T
a
T
b
a
T
 
T
b
a ker



23
karena V adalah ruang vektor
maka untuk setiap   Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika T : V  W adalah transformasi linear maka
Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
 Basis Ker(T).
V
a
T
Ker
a 
 maka
)
(
Karena
4.
)
(T
Ker
a 

    0
0 

 

 a
T
a
T

24




















c
b
a
T
      0
2
2 2




























x
c
b
a
x
c
a
b
a
c
b
a
T
Contoh 6 :
Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan
Jawab :
Perhatikan bahwa :
=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

25

























0
0
0
2
2
c
b
a
c
b
b
a





















c
b
a
T 














c
b
a
c
b
b
a
2
2











1
1
2
1
2
0
0
1
1










c
b
a
Ini memberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah












1
1
2
1
2
0
0
1
1
A

26
~
0
0
0
1
1
2
1
2
0
0
1
1























0
0
0
1
1
0
1
2
0
0
1
1











0
0
0
2
/
1
0
0
2
/
1
1
0
2
/
1
0
1
~










0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.

27









































1
1
0
,
1
2
1
,
2
0
1
 
2
2
2 2
1
2
1 x
x
,
x
x
,
x 




Perhatikan hasil OBE
maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3

28













































d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
T
2
2
Contoh 7 :
Diketahui transformasi linear T : R4  R3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

29
Jawab :













































d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
T
2
2





























d
c
b
a
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
1















2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
1
A
Jadi

30
    4
,
0 R
d
c
b
a
v
v
A
v
T 











































0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
1
~
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
1
~
A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari

31
0

v
A










































































0
,
,
2
1
1
0
0
0
0
1
1
t
s
t
s
d
c
b
a
d
c
b
a











































2
1
1
0
0
,
0
0
1
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2

32





















c
a
b
a
c
b
a
T
2
  2
4
2 x
x
x
T 


   2
2
2
7
3
1 x
x
x
T 



 
x
T 
3
Latihan
1. Suatu transformasi T : 3  2
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansi T : P1  P2 diberikan oleh :
dan
Tentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi linear

33



























1
1
3
2
1
T

























 
1
2
1
5
3
T














3
1
T
(Untuk no. 3 – 5)
Suatu transformasi linear, T :R2R3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

34
















1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
A





















c
a
b
a
c
b
a
T
2
7. Misalkan T : 3  2 didefinisikan oleh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)
beserta dimensinya !
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

36
2 2
:
T P P

 
2 2
T ax bx c cx bx a
    

Apakah dengan
merupakan transformasi linier?
Apakah dengan
merupakan transformasi linier?
37
2
:
T P   
2
T ax bx c a
  
2 3
:
T P P
  
   
T p x xp x


transformasi_linear.pdf tranformasi linier

More Related Content

Similar to transformasi_linear.pdf tranformasi linier (20)

Recently uploaded (10)

transformasi_linear.pdf tranformasi linier