![ОДЗ: ,3
;2
,
3
1
1
,3
;02
,043
,03
≥⇒
−≥
−≥
≥
⇒
≥+
≥+
≥−
x
x
x
x
x
x
x
Перенесемо 2+x в ліву частину, тоді обидві частини рівняння будуть не
від’ємні і можна підносити до квадрату.
( ) ( )
( )( )
,505
,5232
,4322323
,4323
,4323
22
−≥⇒≥+
+=+−
+=+++−+−
+=++−
+=++−
ххобмеження
xxx
xxxxx
xxx
xxx
Враховуючи ОДЗ і обмеження .3≥х
Підносимо останню рівність до квадрату, маємо:
( )
.
6
14
6
2814
,7
6
42
6
2814
,287845881964
,049143
,025102444
,25106234
2
1
22
2
22
22
ОДЗввходитьнеx
x
acbD
xx
xxxx
xxxxx
−−=
−
=
==
+
=
==+=−=
=−−
=−−−−−
++=−+−
Відповідь: { }.7
Приклад 6. Розв’яжіть рівняння ( ) .126202 2
+=−−+ xxxx Якщо рівняння має
кілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму.
Розв’язання.
ОДЗ: ( )( )
( ] [ ).;43;
,034
,0122
+∞∪−∞−∈
≥+−
≥−−
x
xx
xx
В правій частині рівняння винесемо 6 за дужки, потім все перенесемо в ліву
частину рівняння і розкладемо на множники, маємо:](https://image.slidesharecdn.com/random-150221192803-conversion-gate01/85/-3-320.jpg)
![( )( )
( )( )
[ )
[ ] [ ].21;3
;21;1
,1;3
;02121
,1
;013
,1
+−−∈⇒
+−−∈
−−∈
⇒
≤++−+
−≥
≤−+
−<
x
x
x
xx
x
xx
x
.
Відповідь: [ ].21;3 +−−∈õ .
Приклад 8. Розв’яжіть нерівність .38 ххх >+−+
Розв’язання.
ОДЗ: .0
;0
,3
,8
;0
,03
,08
≥⇒
≥
−≥
−≥
⇒
≥
≥+
≥+
x
x
x
x
x
x
x
Зробимо щоб обидві частини нерівності були не від’ємні, а потім піднесемо
до квадрату, маємо:
( ) ( )
( )
,532
,532
,3328
,38
,38
2
22
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
−<+
−>+−
++++>+
++>+
++>+
останню нерівність розв’яжемо, як показано вище, ОДЗ не накладатимемо, бо
це зроблено на початку. Отже, нерівність рівносильна системі нерівностей:](https://image.slidesharecdn.com/random-150221192803-conversion-gate01/85/-15-320.jpg)
![Розв’язання.
Використаємо метод інтервалів.
ОДЗ: .1
,01
≥
≥−
x
x
Запишемо нерівність у вигляді: ( )( ) .0133 ≥−+− xxx
Розв’яжемо рівняння:
( )( )
.133
,0133
=−==
=−+−
хабохабоx
xxx
Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої
частини нерівності на кожному проміжку.
Отже, { } [ ).;31 +∞∪∈х Кількість цілих розв’язків нерівності ( ) 0192
≥−− xx у
проміжку (-7;7) буде 5.
Відповідь: 5.
Приклад 10. Визначити суму цілих розв’язків нерівності
( ) .0
256
241075
2
22
≥
−
+−−
x
xxx
Розв’язання.
Використаємо метод інтервалів.
ОДЗ:
( )( )
( ) ( ] [ ) ( ).;1616;64;1616;
;16
,064
;0256
,02410
2
2
+∞∪∪−∪−∞−∈⇒
±≠
≥−−
⇒
≠−
≥+−
x
x
xx
x
xx
Розв’яжемо рівняння:
( )
( )
,6475
,0241075
,0241075
,0
256
241075
2
22
2
22
===
=+−=
=+−−
=
−
+−−
хабохабоx
xxабоx
xxx
x
xxx
запишемо початкову нерівність у вигляді множників, помноживши
початкову нерівність на квадрат знаменника, маємо:
( ) ( )( ) 02410161675 22
≥+−+−− xxxxx (1).
Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої
частини нерівності (1) на кожному проміжку.](https://image.slidesharecdn.com/random-150221192803-conversion-gate01/85/-17-320.jpg)
![Отже, ( ] [ ) { }.7516;64;16 ∪∪−∈х Сума цілих розв’язків нерівності
( ) 0
256
241075
2
22
≥
−
+−−
x
xxx
, буде -5+75=70.
Відповідь: 70.
Завдання для розв’язання.
Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності:
1) ;51 −>−x 2) ;2254
−>− x 3) .32 2
−>− xx
Завдання 2. Розв’яжіть нерівності:
1) ;22310 −>+− xx 2) ;665 −>−+ xx 3) ;44 −>+ xx
4) ;312 −≥+ xx 5) ( )( ) ;341 −>+− xx 6) ;11276 2
−>−+− xx
Завдання 3. Визначити найменший цілий розв’язок нерівності
.0
1,5
225302
≥
+
+−
х
хх
Завдання 4. Визначити найменший розв’язок нерівності
.47 хх +>+
Завдання 5. Визначити суму розв’язків нерівності
.24 2
−>− хх
Завдання для розв’язування.
Завдання 1. Розв’яжіть рівняння:
1. ;321 2
−+=− xxx
2. ;341 2
+−=− xxx
Завдання 2. Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має кілька коренів у
відповідь запишіть їх суму.
3. ;2151 =++− xx
4. ;262022 22
=−−+− xxxx
5. ( ) .022534 22
=−−+− xxxx
Завдання 3. Визначити найменший корінь рівняння
.32332
−=−+ ххх
Завдання 4. Визначити найбільший корінь рівняння
1) ;1241 2
−=−+ ххх 2) .284 2
−=−− ххx
Завдання 5. Визначити суму коренів рівняння
(х-3) .62452
−=+− ххх
Завдання для розв’язання.
Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності:](https://image.slidesharecdn.com/random-150221192803-conversion-gate01/85/-18-320.jpg)
Ірраціональні рівняння і нерівності
- 1. Ірраціональні рівняння і нерівності План лекції 1. Розв’язування ірраціональних рівнянь. 2. Рівняння виду ( ) ( )xgxf = . 3. Метод заміни. 4. Рівняння виду ( ) ( ) ( ).333 xkxgxf =± 5. Рівняння виду ( ) ( ) ( ) ( ) .3 233 2 mxgxgxfxf =+⋅ 6. Ірраціональні нерівності та їх розв’язування. Теорія. При розв’язуванні рівнянь з коренями потрібно накласти область визначення (ОДЗ). Якщо це зробити важко, розв’язати рівняння, а потім зробити перевірку. Розглянемо різні методи розв’язування рівнянь. Потрібно запам’ятати: ліву і праву частину рівняння можна підносити до квадрату, якщо вони не від’ємні. Приклад 1. Знайдіть корінь рівняння .62 =−x Розв’язання. ОДЗ: .2 ,02 ≥ ≥− x x Піднесемо до квадрату, маємо: х-2=36, х=38. Відповідь: { }38 . Приклад 2. Розв’язати рівняння .0442 2 =+−+− xxx Розв’язання. ( ) ,022 2 =−+− xx ОДЗ: ,2≥x Ми бачимо, що ліва частина рівняння не від’ємна, а в правій частині стоїть нуль. Рівність буде виконуватись коли кожний доданок буде нулем, тобто: ( ) .2 ;2 ,2 ;02 ,02 2 =⇒ = = ⇒ =− =− x x x x x Відповідь: { }.2 Приклад 3. Розв’язати рівняння ( )( ) .0453 =−+− xxx Якщо рівняння має кілька коренів знайти їх добуток.
- 2. Розв’язання. ОДЗ: .4 ,04 ≥ ≥− x x Добуток дорівнює нулю, коли один із множників буде нулем, мємо: х-3=0 або х+5=0 або 04 =−х х=3- не входить в ОДЗ х=-5-не входить в ОДЗ х=4. Отже рівняння має один корінь х=4. Відповідь: { }.4 Теорія. Розглянемо рівняння виду ( ) ( )xgxf = , в правій частині якого стоїть вираз залежний від х. Перш ніж піднести до квадрату накладемо обмеження на праву частину ( ) 0≥xg , бо підносити до квадрату можна коли обидві частини рівняння не від’ємні. ОДЗ на корінь накладати не потрібно, бо умова ( ) 0≥xg каже про те, що підкореневий вираз теж не від’ємний. Приклад 4. Розв’яжіть рівняння .0131425 2 =+−+− xxx Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму. Розв’язання. ,513142 2 xxx −=+− накладаємо обмеження на праву частину рівняння: .5 ,5 ,05 ≤ −≥− ≥− x x x Підносимо рівняння до квадрату, маємо: ( ) −= = =−− +−=+− −=+− .2 ,6 ,0124 ,102513142 ,513142 2 22 22 х х Вієтатеоремоюзаxx xxxx xxx Як ми бачимо х=6 не буде коренем рівняння, тому що не входить в обмеження. Відповідь: { }.2− Приклад 5. Розв’яжіть рівняння .2433 +−+=− ххх Розв’язання.
- 3. ОДЗ: ,3 ;2 , 3 1 1 ,3 ;02 ,043 ,03 ≥⇒ −≥ −≥ ≥ ⇒ ≥+ ≥+ ≥− x x x x x x x Перенесемо 2+x в ліву частину, тоді обидві частини рівняння будуть не від’ємні і можна підносити до квадрату. ( ) ( ) ( )( ) ,505 ,5232 ,4322323 ,4323 ,4323 22 −≥⇒≥+ +=+− +=+++−+− +=++− +=++− ххобмеження xxx xxxxx xxx xxx Враховуючи ОДЗ і обмеження .3≥х Підносимо останню рівність до квадрату, маємо: ( ) . 6 14 6 2814 ,7 6 42 6 2814 ,287845881964 ,049143 ,025102444 ,25106234 2 1 22 2 22 22 ОДЗввходитьнеx x acbD xx xxxx xxxxx −−= − = == + = ==+=−= =−− =−−−−− ++=−+− Відповідь: { }.7 Приклад 6. Розв’яжіть рівняння ( ) .126202 2 +=−−+ xxxx Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму. Розв’язання. ОДЗ: ( )( ) ( ] [ ).;43; ,034 ,0122 +∞∪−∞−∈ ≥+− ≥−− x xx xx В правій частині рівняння винесемо 6 за дужки, потім все перенесемо в ліву частину рівняння і розкладемо на множники, маємо:
- 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,06202 ,026202 ,26202 2 2 2 =−−−+ =+−−−+ +=−−+ xxx xxxx xxxx добуток дорівнює нулю коли один із множників дорівнює нулю: х+2=0 або х=-2-не входить в ОДЗ .7 ,8 ,056 ,3620 ,620 ,0620 2 1 2 2 2 2 −= = =−− =−− =−− =−−− x x Вієтатеоремоюзаxx xx xx xx Сума коренів дорівнює 1. Відповідь: 1. Теорія. Розглянемо декілька прикладів рівнянь, які розв’язуються методом заміни. Приклад 7. Розв’яжіть рівняння .831432 22 xxхх +=+−+ У відповідь записати середнє арифметичне коренів рівняння. Розв’язання. Розв’яжемо рівняння, а потім зробимо перевірку. Якщо піднести до квадрату то вийде досить складне рівняння, тому виділимо однаковий вираз в різних місцях рівняння. ( ) ( ) ( ) −= = ⇒ =− = =− =− +−=+ ≤⇒≥− −=+ =++ =− =+−+− =+−+− обмеженняввходитьнеt t t t tt tt ttt ttобмеження tt tt tххзаміна xxxx xхxх 4 1 5 ,0 ;0214 ,0 ,0214 ,0214 ,412919 5,1,023 ,2313 ,3132 ,4 ,314342 ,314382 2 2 2 22 22 Вертаємось до заміни ( ) = = =− =− .4 ,0 ,04 ,042 x x xx xx Робимо перевірку і бачимо, що обидва числа є коренями рівняння. Середнє арифметичне коренів рівняння: (0+4):2=2. Відповідь: 2.
- 5. Приклад 8. Визначити найменший корінь рівняння .0134 3 23 =−+ xxx У відповідь записати вісім помножено на найменший корінь рівняння. Розв’язання. Введемо заміну: . , , 3 23 2 3 tx tx tx = = = замінуєзадовільнянеy y D yy ytзаміна ttМаємо −−= −− = = +− = =+= =−+ ≥= =−+ 1 8 53 , 4 1 8 53 ,25169 ,0134 ,0 ,0134 2 1 2 2 24 Вертаємось до заміни: . 2 1 , 4 12 ±= = t t Вертаємось до заміни з літерою х: −= = ⇒ −= = . 8 1 , 8 1 ; 2 1 , 2 1 3 3 x x x x Найменший корінь рівняння помножено на вісім дорівнює -1. Відповідь: -1. Приклад 9. Розв’яжіть рівняння . 3 1 3 2 3 3 2 = − + + + − x x x x Розв’язання.
- 6. ОДЗ: ( )( ) ( ).2;3032 ;2 ,3 ,0 2 3 ,0 3 2 −∈⇒>+−⇒ ≠ −≠ ≥ − + ≥ + − xxx x x x x x x Введемо заміну: :, 1 2 3 ,0 3 2 маємо tx x тодіt x x = − + ≥= + − .3 6 810 , 3 1 6 810 ,6436100 ,03103 ,1033 , 3 101 2 1 2 2 = + = = − = =−= =+− =+ =+ t t D tt tt t t Вертаємось до заміни: −= = ⇒ −= = ⇒ −=+ −=+ ⇒ = + − = + − ⇒ = + − = + − .5,2 ,5,1 ;2510 ,1510 ;2279 ,9183 ;9 3 2 , 9 1 3 2 ;3 3 2 , 3 1 3 2 x x x x xx xx x x x x x x x x Відповідь: { }.5,1;5,2− Приклад 10. Визначити найбільший корінь рівняння ( ) ( ) .73732499 3 23 23 2 −=++− xxx Розв’язання. ОДЗ: .Rx ∈ Ми бачимо однорідне рівняння другого степеня, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,0732737373 ,073249973 3 233 2 3 23 23 2 =+−+−−− =++−+−− xxxx xxx поділимо рівняння на ( )3 2 73 +x переконавшись, що 3 7 −≠x , маємо: ,02 73 73 73 73 33 2 =− + − − + − x x x x вводимо заміну t x x = + −3 73 73 , маємо:
- 7. −= = =−− ;1 ,2 ,022 t t Вієтатеоремоюзаtt Вертаємось до заміни: = −= ⇒ = −= ⇒ −−=− −=+ ⇒ −= + − = + − ⇒ −= + − = + − .0 ,3 ;06 ,6321 ;7373 ,735624 ;1 73 73 ,8 73 73 ;1 73 73 ,2 73 73 3 3 x x x x xx xx x x x x x x x x Найбільший корінь рівняння 0. Відповідь: 0. Теорія. Розглянемо рівняння виду ( ) ( ) ( ),333 xkxgxf =± ( в правій частині рівняння може стояти число). Піднесемо ліву і праву частину рівняння до кубу і використаємо перетворену формулу (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,3 1,33 333 32233 baabbaba babbaaba ±±±=± ±+±=± замість ( )ba ± підставимо ( )3 xk . Маємо, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3 ,3 , 3 333 3 3 3 33 xgxfxkxkxgxf xkxkxgxfxgxf xkxgxf −=⋅⋅⋅± =⋅⋅⋅±± =± Після спрощення в обох частинах рівняння підносимо до кубу і рівняння зводиться до нескладного розв’язування. Приклад 11. Визначити добуток коренів рівняння .143 33 =−−+ xx Розв’язання. ОДЗ: .Rx ∈ Підносимо ліву і праву частину рівняння до кубу користуючись вище записаною формулою (2), маємо: ( ) ( ) ( )( ) ( ) −= = =−− =−− =−− =−−+ −=−+− =⋅−⋅+⋅−−−+ =−−+ .4 ,5 ,020 ,812 ,212 ,21243 ,6433 ,1143343 ,143 2 2 3 3 3 2 3 2 3 33 33 33 х х Вієтатеоремоюзаxx xx xx xxx xx xxxx xx Добуток коренів рівняння: .2054 −=⋅− Відповідь: -20.
- 8. Теорія. Рівняння виду ( ) ( ) ( ) ( ) ,3 233 2 mxgxgxfxf =+⋅ де .Rm ∈ В лівій частині рівняння ми бачимо частину формули суми або різниці кубів, тобто ( )( ).2233 babababa +±=± Тому помножимо рівняння на вираз ( ) ( )33 xgxf ± , маємо: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , 33 33 3 3 3 3 333 233 233 xgxfmxgxf xgxfmxgxf xgxfmxgxgxfxfxgxf ±⋅=± ±⋅=± ±⋅=+⋅⋅± остання рівність є рівнянням попереднього виду. Розглянемо приклад. Приклад 12. Розв’яжіть рівняння .5143144944 3 23 23 2 xxxxxx −−+=++++− Розв’язання. ( ) ( )( ) ( ) ,37722 ,3491414544 3 233 2 3 23 23 2 =+++−+− =+++−+++− xxxx xxxxxx помножимо рівняння на вираз 33 72 +−− xx , маємо: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,372 ,72723 ,72372 ,723772272 33 33 33 3 3 3 3 333 233 233 −=+−− −−−=+−−⋅ +−−⋅=+−− +−−⋅= +++−+−+−− xx xxxx xxxx xxxxxxxx підносимо ліву і праву частину рівняння до кубу, маємо: ( ) ( ) ( )( ) = −= =−+ −=−+ −=−+ −=+−⋅ −=−⋅+⋅−⋅−−−− −=+−− .1 ,6 ,065 ,8145 ,2145 ,18729 ,27372372 ,2772 2 2 3 2 3 33 3 33 х х Вієтатеоремоюзаxx xx кубудопідносимоxx xx xxxx xх Відповідь: { }.1;6− Теорія. Більш складні рівняння, в яких зустрічається два корені, можна розв’язувати методом заміни. Розглянемо цей тип рівнянь на прикладі. Приклад 13. Розв’яжіть рівняння .2463 +−=+ xx Розв’язання. ОДЗ: .2 ,02 −≥ ≥+ x x
- 9. Введемо заміну: −=−− =+ ⇒ =+ =+ ⇒ ≥=+ =+ ;2 ,6 ;2 ,6 ;02 ,6 2 3 2 33 bx ax bx ax bx ax додамо рівняння системи, маємо: 423 =− ba . Тепер ми маємо два рівняння відносно літер а і в, перше з умови, а друге відшукали. Розв’яжемо систему рівнянь відносно а і в: ( ) =−− −= ⇒ =− −= ;44 ,4 ;4 ,4 2323 aa ab ba ba розв’яжемо останнє рівняння з літерою а, маємо: ( ) ,0208 ,4816 23 23 =−+− =+−− aaa aaa отримали кубічне рівняння. Дільники вільного члена: .20;10;5;4;2;1 ±±±±±± Цілий корінь рівняння повинен знаходитись серед дільників вільного члена. Підбором встановлюємо, що а=2, перевірка: 8-4+16-20=0. Це означає, що ліва частина рівняння націло ділиться на двочлен а-2. Виконуємо ділення «кутом», маємо: 20823 −+− aaa а-2 23 2aa − 102 ++ aa - aa 82 + aa 22 − - 2010 2010 − − a a 0 Рівняння розкладаємо на множники: ( )( ) ,0102 2 =++− aaa < = ⇒ =++ =− ;0 ,2 ;010 ,02 2 D a aa a отже а=2, то в=4-2=2,
- 10. Вертаємось до заміни: .2 ;2 ,2 ;42 ,86 ;22 ,263 =⇒ = = ⇒ =+ =+ ⇒ =+ =+ x x x x x x x Відповідь: { }.2 Завдання для розв’язування. Завдання 1. Розв’яжіть рівняння: 1. ;321 2 −+=− xxx 2. ;341 2 +−=− xxx Завдання 2. Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має кілька коренів у відповідь запишіть їх суму. 3. ;2151 =++− xx 4. ;262022 22 =−−+− xxxx 5. ( ) .022534 22 =−−+− xxxx Завдання 3. Визначити найменший корінь рівняння .32332 −=−+ ххх Завдання 4. Визначити найбільший корінь рівняння 1) ;1241 2 −=−+ ххх 2) .284 2 −=−− ххx Завдання 5. Визначити суму коренів рівняння (х-3) .62452 −=+− ххх Ірраціональні нерівності. Теорія. При розв’язуванні ірраціональних нерівностей обов’язково накладають ОДЗ. Підносити ліву і праву частину нерівності до парного степеня можна, коли обидві частини нерівності не від’ємні. Розглянемо приклади. Приклад 1. Розв’яжіть нерівність .312 <−х У відповідь запишіть кількість цілих розв’язків нерівності. Розв’язання. ОДЗ: . 2 1 ,012 ≥ ≥− x x Підносимо до квадрату: ;5 ,912 < <− x x спільні розв’язки між ОДЗ і нерівністю .5; 2 1 ∈x
- 11. Цілих розв’язків 4. Відповідь: 4. Приклад 2. Визначити найбільший розв’язок нерівності .4234 −>− х Розв’язання. Підносити до четвертої степені не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Нерівність буде виконуватися тільки для чисел з ОДЗ, бо ліва частина нерівності при цих значеннях завжди більша за -4. ОДЗ: .5,1 ,32 ,023 ≤ −≥− ≥− x x x найбільший розв’язок нерівності 1,5. Відповідь: 1,5. Приклад 3. Розв’яжіть нерівність .1342 −<+− xx Розв’язання. Підносити до квадрату не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Ліва частина нерівності при будь-яких значеннях ікс не може бути менша за -1, тому нерівність не має розв’язків. Відповідь: .∅∈x Приклад 4. Визначити найбільший розв’язок нерівності .22415 −>+− xх Розв’язання. Підносити до квадрату не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Нерівність буде виконуватися тільки для чисел з ОДЗ, бо ліва частина нерівності при цих значеннях завжди більша за -2. ОДЗ: . 4 3 3;2 ;2 , 4 3 3 ;2 ,154 ;02 ,0415 −∈⇒ −≥ ≤ ⇒ −≥ −≥− ⇒ ≥+ ≥− x x x x x x x
- 12. Найбільший розв’язок нерівності 3,75. Відповідь: 3,75. Приклад 5. Визначити найменший розв’язок нерівності .36 −>+ xx Розв’язання. ОДЗ: [ ).;3 ;3 ,6 ;03 ,06 +∞∈⇒ ≥ −≥ ⇒ ≥− ≥+ x x x x x Підносимо нерівність до квадрату: ( ).; ,90 ,36 +∞∞−∈ −>⋅ −>+ x x xx Спільні розв’язки між ОДЗ і нерівністю: [ ).;3 +∞∈x Найменший розв’язок 3. Відповідь: 3. Теорія. Нерівність виду ( ) ( )xgxf < рівносильна системі нерівностей ( ) ( ) ( ) ( ) < ≥ ≥ ; ,0 ,0 2 xgxf xg xf (Коментарії: на нерівність наклали ОДЗ: ( ) 0≥xf ; обмеження на праву частину ( ) 0≥xg ; потім нерівність піднесли до квадрату ( ) ( )xgxf 2 < ). Приклад 6. Розв’яжіть нерівність .2652 −≤+− ххх Розв’язання. Нерівність рівносильна системі нерівностей:
- 13. () ()() ()() {}[).;32 ;2 ,2 ,032 ;4465 ,2 ,032 ;265 ,02 ,065 2222 2 +∞∪∈⇒ ≥ ≥ ≥−− ⇒ +−≤+− ≥ ≥−− ⇒ −≤+− ≥− ≥+− x x x xx xxxx x xx xxx x xx Відповідь: { } [ ).;32 +∞∪∈x Теорія. Нерівність виду ( ) ( )xgxf > рівносильна сукупності двох систем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > ≥ ≥ < . ,0 ;0 ,0 2 xgxf xg xf xg Приклад 7. Розв’яжіть нерівність .1322 +≥+−− ххх Розв’язання. Нерівність рівносильна сукупності двох систем:
- 14. () ()()()() ≤−+ −≥ ≤−+ −< ⇒ ≤−+ −≥ ≤−+ −< ⇒ ++≥+−− −≥ ≤−+ −< ⇒ +≥+−− ≥+ ≥+−− <+ ;012 ,1 ;013 ,1 ;0242 ,1 ;013 ,1 ;1232 ,1 ;032 ,1 ;132 ,01 ;032 ,01 2222 2 22 2 xx x xx x xx x xx x xxxx x xx x xxx x xx x розв’яжемо рівняння 0122 =−+ xx , щоб потім останню нерівність розкласти на лінійні множники. .21 ,21 2 222 2 82 ,844 ,012 2 1 2 −−= +−= +− = +− = =+= =−+ x x D xx Останню сукупність запишемо у вигляді:
- 15. ( )( ) ( )( ) [ ) [ ] [ ].21;3 ;21;1 ,1;3 ;02121 ,1 ;013 ,1 +−−∈⇒ +−−∈ −−∈ ⇒ ≤++−+ −≥ ≤−+ −< x x x xx x xx x . Відповідь: [ ].21;3 +−−∈õ . Приклад 8. Розв’яжіть нерівність .38 ххх >+−+ Розв’язання. ОДЗ: .0 ;0 ,3 ,8 ;0 ,03 ,08 ≥⇒ ≥ −≥ −≥ ⇒ ≥ ≥+ ≥+ x x x x x x x Зробимо щоб обидві частини нерівності були не від’ємні, а потім піднесемо до квадрату, маємо: ( ) ( ) ( ) ,532 ,532 ,3328 ,38 ,38 2 22 xxx xxx xxxxx xxx xxx −<+ −>+− ++++>+ ++>+ ++>+ останню нерівність розв’яжемо, як показано вище, ОДЗ не накладатимемо, бо це зроблено на початку. Отже, нерівність рівносильна системі нерівностей:
- 16. ( )() <−+ ≤ ⇒ +−<+ −≥− ⇒ −<+ ≥− ;025223 ,5 ;1025124 ,5 ;534 ,05 22222 xx x xxxx x xxx x розв’яжемо рівняння 025223 2 =−+ xx , щоб потім останню нерівність розкласти на лінійні множники. . 3 1 8 3 25 6 2822 ,1 6 2822 ,28784300484 ,025223 2 1 2 2 −= − = −− = = +− = ==+= =−+ x x D xx , Враховуючи ОДЗ, остання система запишеться у вигляді ( ) [ ).1;0 ;0 3 1 813 ,5 ,0 ∈⇒ < +− ≤ ≥ x xx x x Відповідь: [ ).1;0∈x Теорія. Багато ірраціональних нерівностей можна розв’язувати методом інтервалів. Метод інтервалів, для розв’язування нерівностей виду ( ) ,0∨xf (знак нерівності будь-який). 1) Знаходимо ОДЗ виразу ( )xf . 2) Знаходимо корені виразу ( )xf , розв’язуючи рівняння ( ) 0=xf . 3) Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки. 4) Знаходимо знак виразу ( )xf на кожному проміжку. 5) Записуємо відповідь. Приклад 9. Визначити кількість цілих розв’язків нерівності ( ) 0192 ≥−− xx у проміжку (-7;7).
- 17. Розв’язання. Використаємо метод інтервалів. ОДЗ: .1 ,01 ≥ ≥− x x Запишемо нерівність у вигляді: ( )( ) .0133 ≥−+− xxx Розв’яжемо рівняння: ( )( ) .133 ,0133 =−== =−+− хабохабоx xxx Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої частини нерівності на кожному проміжку. Отже, { } [ ).;31 +∞∪∈х Кількість цілих розв’язків нерівності ( ) 0192 ≥−− xx у проміжку (-7;7) буде 5. Відповідь: 5. Приклад 10. Визначити суму цілих розв’язків нерівності ( ) .0 256 241075 2 22 ≥ − +−− x xxx Розв’язання. Використаємо метод інтервалів. ОДЗ: ( )( ) ( ) ( ] [ ) ( ).;1616;64;1616; ;16 ,064 ;0256 ,02410 2 2 +∞∪∪−∪−∞−∈⇒ ±≠ ≥−− ⇒ ≠− ≥+− x x xx x xx Розв’яжемо рівняння: ( ) ( ) ,6475 ,0241075 ,0241075 ,0 256 241075 2 22 2 22 === =+−= =+−− = − +−− хабохабоx xxабоx xxx x xxx запишемо початкову нерівність у вигляді множників, помноживши початкову нерівність на квадрат знаменника, маємо: ( ) ( )( ) 02410161675 22 ≥+−+−− xxxxx (1). Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої частини нерівності (1) на кожному проміжку.
- 18. Отже, ( ] [ ) { }.7516;64;16 ∪∪−∈х Сума цілих розв’язків нерівності ( ) 0 256 241075 2 22 ≥ − +−− x xxx , буде -5+75=70. Відповідь: 70. Завдання для розв’язання. Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності: 1) ;51 −>−x 2) ;2254 −>− x 3) .32 2 −>− xx Завдання 2. Розв’яжіть нерівності: 1) ;22310 −>+− xx 2) ;665 −>−+ xx 3) ;44 −>+ xx 4) ;312 −≥+ xx 5) ( )( ) ;341 −>+− xx 6) ;11276 2 −>−+− xx Завдання 3. Визначити найменший цілий розв’язок нерівності .0 1,5 225302 ≥ + +− х хх Завдання 4. Визначити найменший розв’язок нерівності .47 хх +>+ Завдання 5. Визначити суму розв’язків нерівності .24 2 −>− хх Завдання для розв’язування. Завдання 1. Розв’яжіть рівняння: 1. ;321 2 −+=− xxx 2. ;341 2 +−=− xxx Завдання 2. Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має кілька коренів у відповідь запишіть їх суму. 3. ;2151 =++− xx 4. ;262022 22 =−−+− xxxx 5. ( ) .022534 22 =−−+− xxxx Завдання 3. Визначити найменший корінь рівняння .32332 −=−+ ххх Завдання 4. Визначити найбільший корінь рівняння 1) ;1241 2 −=−+ ххх 2) .284 2 −=−− ххx Завдання 5. Визначити суму коренів рівняння (х-3) .62452 −=+− ххх Завдання для розв’язання. Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності:
- 19. 1) ;51 −>−x 2) ;2254 −>− x 3) .32 2 −>− xx Завдання 2. Розв’яжіть нерівності: 1) ;22310 −>+− xx 2) ;665 −>−+ xx 3) ;44 −>+ xx 4) ;312 −≥+ xx 5) ( )( ) ;341 −>+− xx 6) ;11276 2 −>−+− xx Завдання 3. Визначити найменший цілий розв’язок нерівності .0 1,5 225302 ≥ + +− х хх Завдання 4. Визначити найменший розв’язок нерівності .47 хх +>+ Завдання 5. Визначити суму розв’язків нерівності .24 2 −>− хх