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Matemática
Serie 2 para docentes de Secundaria
Didáctica de la Matemática
Fascículo 4: ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIA
© Ministerio de Educación
Van de Velde 160, San Borja
Primera edición, 2007
Tiraje: 14 000 ejemplares
Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A.
Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,
Chacra Ríos Sur, Lima 01
Hecho el Depósito Legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
Nro. 2007-00264
Coordinación y supervisión general MED
Antonieta Cubas Mejía
Supervisión pedagógica MED
Juan Carlos Peña Sandoval
Verificación de estilo MED
Miguel Luis Bances Gandarillas
Autoría
Ediciones El Nocedal S.A.C.
Coordinador
Rubén Hildebrando Gálvez Paredes
Elaboración pedagógica
Felipe Eduardo Doroteo Petit
Itala Esperanza Navarro Montenegro
Edgar Justo Chacón Nieto
Daniel José Arroyo Guzmán
Colaboración especial
María del Pilar Ramos Garay
Revisión pedagógica
Hno. Marino La Torre Mariño
Revisión académica
Armando Zenteno Ruiz
Diseño y diagramación
Ediciones El Nocedal S.A.C.
Ilustraciones
Patricia Nishimata Oishi
Brenda Román González
Fotografía
Enrique Bachmann
Corrector de estilo
Marlon Aquino Ramírez
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Z_Creditos S2 F1_F6 D.indd 4Z_Creditos S2 F1_F6 D.indd 4 6/14/07 1:09:52 PM6/14/07 1:09:52 PM

PRESENTACIÓN
“El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres
son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es
humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese
lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.
Galileo Galilei
La Geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar
contextos en que la Geometría no aparezca de forma directa o indirecta.Actividades
tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura, por citar algunas, se
sirven de la utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos.
Se admite de forma universal la importancia de la Geometría como formadora
del razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia, tanto en
estudios posteriores de cualquier ciencia, como en el desarrollo de habilidades
cotidianas. No es casual que la Geometría fuese ya en la Antigua Grecia una
rama importante del saber, aunque su origen es anterior.
La Geometría ha sido durante siglos, uno de los pilares de la formación
académica desde edades tempranas. Sin embargo, durante el siglo pasado,
paulatinamente perdió presencia en los planes de estudio. Afortunadamente, los
actuales currículos de Matemática de todos los niveles educativos confieren a la
Geometría la importancia que nunca debió perder.
El objetivo más importante de la enseñanza de la Geometría es que nuestros
estudiantes integren el hecho que las propiedades, teoremas, y fórmulas han
sido creadas para anticipar un resultado, ya sea porque no tenemos un medio
experimental directo de encontrarlo, o bien, porque queremos confirmarlo
dentro del modelo adecuado. Lo mismo ocurre con la Lógica. Los estudiantes
deben integrar relaciones usuales de la Lógica, las cuales han sido creadas para
anticipar, validar, descubrir propiedades, dentro de un universo determinado
de conocimiento. Deben progresivamente ir construyendo la transitividad, la
implicación, la negación, la reciprocación, la conjunción, la disyunción, la
contraposición, y también el carácter necesario y suficiente de las propiedades.
El fascículo debe estar referido a los principios, estrategias y algoritmos que
rigen los procesos del desarrollo de capacidades para comprender las diversas
teorías sobre las representaciones geométricas del mundo y de los objetos
matemáticos, y para operar con sus aplicaciones. Incluirá también, problemas,
juegos y sugerencias de construcción y utilización del material educativo
respectivo.
En función a esta sumilla, desarrollamos los aspectos metodológicos en el
aprendizaje de Geometría, resaltando la importancia del desarrollo de la Lógica
para la formación del pensamiento lógico, la necesidad de profundizar y dominar
propiedades, operaciones y relaciones lógicas que permitan a los estudiantes
descubrir y validar afirmaciones, así como el impacto de los juegos matemáticos
en el aula. Con ello, buscamos que los docentes conozcan estas herramientas
para lograr en el educando el afianzamiento de conceptos, relaciones y procesos
matemáticos.
Complementamos el fascículo con la propuesta de logros de aprendizaje,
recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición,
evaluación, investigaciones, bibliografía y enlaces web.
Z_Serie2-Fasc4-Doc.indd 1Z_Serie2-Fasc4-Doc.indd 1 6/13/07 1:17:05 PM6/13/07 1:17:05 PM

ÍNDICE
Presentación.......................................................................................................................... 1
Índice..................................................................................................................................... 2
Organizador visual de contenidos......................................................................................... 3
Motivación............................................................................................................................ 4
Logros de aprendizaje........................................................................................................... 4
Recuperación de saberes previos .......................................................................................... 4
1. MODELO DE VAN HIELE ................................................................................................. 5
1.1 Niveles de razonamiento ......................................................................................... 6
1.2 Fases de aprendizaje de la Geometría..................................................................... 7
1.3 Propiedades del modelo .......................................................................................... 7
1.4 Aplicación del modelo............................................................................................. 8
Actividad 1...................................................................................................................... 9
2. HERRAMIENTAS PARA EL APRENDIZAJE CON EL MODELO VAN HIELE ................................ 10
2.1 Papiroﬂexia o Geometría del papel ......................................................................... 10
2.2 Mapas conceptuales y mentales .............................................................................. 13
2.3 Software Cabri-géomètre 2...................................................................................... 14
Actividad 2...................................................................................................................... 17
3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ..................................................................................... 18
3.1 Construcciones geométricas con regla y compás .................................................... 18
3.2 Geometría con papel periódico ............................................................................... 25
Actividad 3...................................................................................................................... 28
4. EVALUACIÓN ................................................................................................................... 29
5. METACOGNICIÓN ............................................................................................................. 30
Bibliografía comentada ........................................................................................................ 31
Enlaces web .......................................................................................................................... 32

3
Fascículo 4 / ASPECTOS
METODOLÓGICOS EN EL
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
EN SECUNDARIA
comprendeel
ASPECTOSMETODOLÓGICOSENELAPRENDIZAJE
DELAGEOMETRÍAENSECUNDARIA
NivelesFases
RazonamientoAprendizaje
dede
atravésde
ModelodeVanHiele
AplicaciónHerramientasPropiedades
Ejemplo
del
explicando
medianteun
Aprendizaje
Uso
parael
comoel
PapiroﬂexiaMapas
conceptuales
Software
de
PolígonosCabri
Géomètre
construyendocomoel
Construcciones
geométricas
de
Papel
periódico
CompásRegla
utilizando
Aprender
para
Conceptos
Segmento
Ángulo
Triángulo
los
de
ÁreasPolígonosVolúmenes
trabajando
con
Estudio
paradocentes

4
Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo, es
indispensable que recuerdes algunos conceptos. Lee atentamente
las preguntas y responde en una hoja aparte.
¿Qué es el pensamiento geométrico?
¿Cuál es su importancia dentro de la Matemática?
¿Qué es la papiroflexia?
¿Qué destrezas podemos desarrollar con la elaboración de
mapas conceptuales?
Explica brevemente el funcionamiento de algún software que
pueda ser útil en la didáctica de la Geometría.
LOGROS DE APRENDIZAJE
Investiga sobre el modelo de Van Hiele,
identificando sus indicadores y sus niveles
en situaciones planteadas, manifestando
actitud creativa.
Aplica el modelo de Van Hiele con
diversas herramientas de aprendizaje, en
la resolución de actividades propuestas,
demostrando capacidad de análisis.
Analiza las construcciones geométricas
como herramientas didácticas, valorando
su utilidad.
Motivación
¿Sabías que los dos libros más editados en la historia de la civilización son la Biblia y
los Elementos de Euclides? ¿Sabías que muchas personas aprendieron a leer y escribir
con la Biblia mientras que con los Elementos se enseñaba a razonar?
Los Elementos de Euclides ha sido la primera obra con mayor influencia en toda la
historia de la Matemática y sus ideas han permanecido inalterables hasta el día de hoy,
más de 2300 años después. Han sido la fuente de inspiración de grandes matemáticos
como Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, etc.
Por otro lado, encontramos a los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina van Hiele-Gel-
dof, quienes trabajaban como profesores de Geometría de enseñanza secundaria en
Holanda. Ellos, a partir de su experiencia docente, elaboraron un modelo que trata de
explicar, por un lado, cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de
los estudiantes y, por otro, cómo puede un docente ayudar a sus estudiantes para que
mejoren la calidad de su razonamiento. En este fascículo explicaremos brevemente
en qué consiste este modelo para que así se comprenda la importancia que tiene en la
enseñanza de la Geometría.
ASPECTOS METODOLÓGICOS
en elAPRENDIZAJE
SECUNDARIAGEOMETRÍA
de la
en
RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS
http://www.
encuestaspagadas.
com/postalespce/
postalesgrandes/biblia1.jpg
http://www.divulgamat.
net/Irudiak/matematikoak/
EuclidesPortada.gif

5
EN SECUNDARIA
1. MODELO
El modelo de Van Hiele es un modelo de enseñanza que marca la pauta que se
debeseguirenelaprendizajedelaGeometría.TuvosuorigenenHolanda,donde
los Van Hiele, profesores de Matemática, se encontraron con problemas para
poder enseñar a sus estudiantes las definiciones, los procesos y las situaciones
relacionadas casi exclusivamente con la enseñanza de la Geometría, ya que su
aplicación en otras ramas de la Matemática no ha sido tan eficiente. Pierre M.
Van Hiele y Dina Van Hiele exponen por primera vez, en sus tesis doctorales
leídas en 1957, un modelo que explica al mismo tiempo cómo se produce la
evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es posible
ayudarlos a mejorar la calidad de su razonamiento.
El modelo consta principalmente de dos partes. La primera es descriptiva
y se refiere a lo que Van Hiele define como “niveles de razonamiento”;
la segunda, da las directrices para el desarrollo docente en lo que llama
“fases de aprendizaje”. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco
niveles, y dentro de cada nivel, en una serie de fases que permiten analizar
el aprendizaje de la Geometría. Estos niveles de razonamiento se repasan
sucesivamente en cada ocasión en que el estudiante se encuentra con un
nuevo tema matemático.
Losnivelesderazonamientosondefinidoscomolosestadíosdeldesarrollodelas
capacidades intelectuales del estudiante, los cuales no están directamente ligados
con el crecimiento o la edad. Aunque este hecho hace que Van Hiele y Piaget
difieran, la mayor parte de lo que se refiere a la adquisición del conocimiento
y el desarrollo intelectual del estudiante concuerda entre ambos teóricos. A los
niveles de razonamiento se les denomina de la siguiente manera:
Nivel 0: Básico, reconocimiento o visualización.
Nivel 1: Análisis.
Nivel 2: Deducción informal, orden o clasificación.
Nivel 3: Deducción formal.
Nivel 4: Rigor.
Para guiar al docente en el diseño de las experiencias de aprendizaje,
propusieron cinco fases de enseñanza adecuadas para el progreso del
estudiante en su aprendizaje de la Geometría:
Fase 1: Interrogación o discernimiento.
Fase 2: Orientación dirigida.
Fase 3: Explicitación.
Fase 4: Orientación libre.
Fase 5: Integración.
de VAN HIELE
matemáticas
curiosidades
El papel de la École
Polytechnique, a fin de
cuentas una escuela de
ingeniería, ¿fue el de una
ayuda o el de un obstáculo
para el renacimiento de la
Geometría pura durante
el siglo XIX? Reflexione al
respecto.
(Historia de la Matemática,
Carl B. Boyer, p. 682)

6
MATEMÁTICA
UnUn mate...mate...
1.1 Niveles de razonamiento
Nivel 0: Visualización
• Los estudiantes son conscientes del espacio como algo alrededor de ellos.
• Los conceptos geométricos son vistos como entidades totales más que
los componentes y atributos de los mismos.
• Los estudiantes aprenden vocabulario geométrico, identifican formas;
dada una figura la pueden reproducir.
Nivel 1: Análisis
• Se inicia un análisis de los conceptos geométricos.
• Con observación y experimentación, los estudiantes empiezan a discer-
nir sobre las características de las figuras.
• Las propiedades emergentes son usadas para concebir clases de formas.
• Se reconoce que las figuras tienen partes y son reconocidas por sus partes.
• No se pueden explicar las relaciones entre las propiedades.
• Aún no se ven las interrelaciones entre figuras.
• No se entienden todavía las definiciones.
Nivel 2: Deducción informal
• Se pueden establecer las interrelaciones entre las propiedades de cada
figura y entre las figuras.
• Se pueden deducir propiedades de una figura y reconocer las clases de
figuras.
• Se entienden las clases de inclusión.
• Las definiciones tienen significado.
• Se pueden dar y seguir argumentos informales.
• No se comprende el significado de la deducción como un todo o el rol de
los axiomas.
• Los resultados obtenidos empíricamente se usan junto con técnicas de-
ductivas.
• Las demostraciones formales pueden entenderse, sin embargo, no se sabe
cómo puede alterarse el orden lógico.
• No ven cómo construir una demostración partiendo de premisas diferen-
tes o no familiares.
Nivel 3: Deducción formal
• Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer la
teoría geométrica dentro de un sistema axiomático.
• Se comprenden las interrelaciones y roles de los términos indefinidos, axio-
mas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones.
• Una persona puede construir demostraciones usando más de una manera.
• Se entiende la interrelación entre las condiciones necesarias y suficientes.
• Se distingue entre una proposición y su recíproca.
Nivel 4: Rigor
• El alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y com-
pararlos.
Ley del paralelismo: dos
rectas paralelas se cortan
en un punto siempre y
cuando el punto sea lo
suficientemente gordo.

7
EN SECUNDARIA1.2 Fases de aprendizaje de la Geometría
Fase 1: Interrogación
El docente y los estudiantes conversan sobre los objetos de estudio del nivel.
Se hacen observaciones, se formulan preguntas y se introduce un vocabulario
especíﬁco al nivel.
El docente se informa del conocimiento previo que tienen los estudiantes sobre
el tópico.
Fase 2: Orientación dirigida
Los estudiantes exploran el tópico de estudio con materiales que el docente ha
secuenciado cuidadosamente.
Las actividades deben revelar gradualmente al estudiante las estructuras carac-
terísticas del nivel.
Fase 3: Explicitación
Los estudiantes expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructu-
ras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas.
El rol del docente es mínimo, reduciéndose a asistir a los estudiantes en el uso
cuidadoso y apropiado del lenguaje.
Fase 4: Orientación libre
Los estudiantes enfrentan retos más complejos. Desafíos con muchos pasos que
pueden ser resueltos de varias formas.
Los estudiantes encuentran sus propios caminos para resolver retos.
Orientándose ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones
entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los estudiantes.
Fase 5: Integración
Los estudiantes revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus
relaciones, con el objetivo de tener una vista panorámica.
El docente puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales.
Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo.
1.3 Propiedades del modelo
Secuencialidad
De acuerdo con la mayor parte de teorías del desarrollo, cada estudiante debe
pasar por todos los niveles en orden.
Para funcionar exitosamente a un nivel particular, el estudiante debe haber
adquirido las estrategias de los niveles precedentes.
Avance
El progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de
instrucción que de la edad.
No hay método pedagógico que permita que un estudiante ignore un nivel.
Intrínseco y extrínseco
Los objetos geométricos trabajados en un nivel siguen siendo objetos de estudio
en el siguiente.
Lingüística
Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de
relaciones que conectan los símbolos.
Una relación que es “correcta” a un nivel puede ser modiﬁcada a otro nivel.
Al iniciar un tema
es vital recuperar los
conocimientos previos de
los estudiantes.

8
MATEMÁTICA
matemáticas
curiosidades
Concordancia
Si el estudiante está en un nivel y la instrucción está en otro nivel, puede no
ocurrir el aprendizaje y progreso deseado.
1.4 Aplicación del modelo
A continuación, les ofrecemos un ejemplo sencillo de cómo se aplica el
modelo de Van Hiele.
En forma resumida: al inicio de cada clase, el docente informa el
contenido que se va a estudiar, los problemas por resolver e indaga los
conocimientos previos para tomarlos como guía en el inicio de la clase.
Luego, los estudiantes realizan actividades dirigidas al descubrimiento
y aprendizaje de los conceptos y propiedades fundamentales de dicho
contenido. Al finalizar, cada estudiante reflexiona en voz alta sobre los
procedimientos, las dificultades y las soluciones encontradas, logrando
enriquecer el conocimiento de cada individuo al detectar los métodos y
resultados incorrectos, como una manera de afianzar los correctos.
El docente asigna tareas destinadas a profundizar los conocimientos estudiados,
establece relaciones y presenta algunas propiedades de mayor complejidad.
Para finalizar, se redacta un resumen del contenido con el propósito de que los
estudiantes lo integren en la red de conocimientos que poseían sobre el mismo.
Ahora,analicemosestemodelodeenseñanzaaplicadoalcontenidoespecífico
de congruencia de triángulos:
Nivel 0: Visualización
Objetivo: Reconocer figuras congruentes.
Desarrollo de la actividad: Con la ayuda de láminas, se presentan parejas de
figuras planas (algunas congruentes y otras no) y se pide a los estudiantes que
identifiquen las parejas que son congruentes, explicando sus conclusiones.
Pueden utilizar instrumentos de medición, hojas de papel, además, pueden
doblar las tarjetas para superponer las figuras. Finalmente, el docente refuerza
el contenido respectivo.
Nivel 1: Análisis
Objetivo: Establecer las condiciones necesarias para la congruencia de
triángulos.
Desarrollo de la actividad: La clase se organiza en grupos, a cada uno se
le entrega un determinado número de triángulos numerados. Cada grupo
debe agrupar los triángulos congruentes, indicando las propiedades de
congruencia que cumplen. Pueden utilizar diferentes técnicas y métodos
tales como: superponer, doblar, medir, etc. Al finalizar la experiencia, cada
grupo comparte con el resto de la clase la metodología de trabajo seguida y
las conclusiones obtenidas. El docente cierra la actividad con un resumen de
las condiciones necesarias para la congruencia de triángulos.
Nivel 2: Deducción Informal
Objetivo: Establecer las condiciones suficientes para la congruencia de
triángulos.
No hay ninguna rama de la
Matemática, por abstracta
que sea, que no pueda
aplicarse algún día a los
fenómenos del mundo
real. (Lobachewsky). ¿Qué
piensas al respecto?

9
EN SECUNDARIADesarrollo de la actividad: El docente escribe en el pizarrón las
características de tres triángulos dados (las medidas de lados y de ángulos)
y pide a los estudiantes que los dibujen. Luego, pregunta si es posible
dibujar un triángulo diferente al dado en cada caso pero con la condición
de que mantuviese las características indicadas. En esta actividad el docente
tiene que orientar constantemente a los estudiantes. Cabe resaltar que si el
grupo de estudiantes no logra establecer las condiciones suficientes para la
congruencia de triángulos, se le debe explicar detalladamente cada una de
las mismas y luego asignar determinados ejercicios destinados a afianzar
dicho conocimiento.
Nivel 3: Deducción formal
Objetivo: Demostrar formalmente la congruencia de triángulos.
Desarrollo de la actividad: Se plantea el siguiente ejercicio: “Dados los
triángulos MNO y OPQ, con lados MO = OQ y NO = OP, respectivamente,
tal como se muestra en la figura, explicar por qué dichos triángulos son
congruentes.
Se establece un tiempo determinado para resolverlo.
En esta actividad los estudiantes necesitan constantemente la orientación del
docente. Finalmente, el docente realiza la demostración formal. Se asignan
ejercicios similares, los cuales se revisarán en la siguiente clase.
Observe la constancia del estudiante para el aprendizaje de la Matemática en
general y el de la Geometría en particular, para mejorar significativamente
su rendimiento académico.
N
M P
Q
O
Actividad 1
en grupo...
investiga con tus colegas
Investiga sobre el modelo de Van Hiele e identifica
sus indicadores y sus niveles en situaciones plan-
teadas, manifestando actitud creativa.
1. Investiga sobre el modelo de Van Hiele en las
siguientes páginas y responde:
http://www.geocities.com/teselados/
http://www.usergioarboleda.edu.co/matemati-
cas/memorias/memorias13/Conceptualizaci%
C3%B3n%20del%20KUID.pdf
¿Qué indicadores encuentras para el razona-
miento del tipo visualización o reconocimiento?
miento del tipo análisis o descripción?
miento del tipo abstracto-relacional?
miento del tipo deducción formal?
2. Indica en qué niveles del modelo de Van Hiele
pueden ser desarrollados los siguientes temas:
• Ángulos
• Área de un cuadrado
• Propiedades de los triángulos y cuadriláteros
• Líneas notables de un triángulo
• Volumen de un cilindro
Presenta tus conclusiones a todos tus colegas.
Investiga sobre las implicaciones curriculares del
modelo de Van Hiele.
Visita la siguiente página web:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_
permanentes/mate/orden/mate5f.htm
Comparte con tus colegas tus conclusiones
teniendo siempre presente que:
Debemos respetar los diferentes puntos de vista
demostrando capacidad para escuchar, llegar a
acuerdos y construir consensos.
Hay que reconocer lo valioso de cada uno de los
miembros del equipo.

10
MATEMÁTICA
2. HERRAMIENTAS
APRENDIZAJE
MODELO
para el
VAN HIELE
2.1 Papiroflexia o Geometría del papel
La Papiroflexia se puede definir como la creación de figuras fácilmente
reconocibles a partir de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solamente
haciendo dobleces. Una simple hoja de papel y algo de paciencia son los
requisitos fundamentales para desarrollar esta disciplina.
La Papiroflexia juega un papel importante en el campo de la educación
a cualquier nivel: primaria, secundaria e incluso como apoyo de ciertas
disciplinas a nivel universitario, pues reúne cualidades indispensables desde
el punto de vista pedagógico. La Papiroflexia desarrolla en el estudiante
habilidades tan evidentes como el desarrollo de la habilidad manual, de
la concepción volumétrica, de la coordinación de movimientos y de la
psicomotricidad fina. Además, fomenta el espíritu creativo, enseña al
estudiante a seguir instrucciones y ayuda a desarrollar la sociabilidad y
el trabajo en equipo. También desarrolla diferentes tipos de habilidades
mentales. Dentro del campo de la Matemática, ayuda al uso y comprensión
de conceptos geométricos tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz,
etc., y a la visualización de cuerpos geométricos. El proceso de creación
y ejecución de una figura de Papiroflexia fomenta la agilidad mental y
desarrolla estrategias para enfrentarse y para resolver problemas de Lógica
o Matemática.
En el origami puede hallarse un componente geométrico si se considera el
modo exacto y riguroso en el que se deben doblar las formas. Ya el educador
alemán Friedrich Froebel (1782-1852), fundador del sistema kindergarten,
se dio cuenta en Europa del arma de la Papiroflexia para familiarizarse y
comprender las formas geométricas. Ha pasado a la historia la construcción
del cuadrado de Froebel.
Es importante despertar la curiosidad de nuestros niños y jóvenes, así
como desarrollar su creatividad; y es efectivamente con el cultivo de la
Papiroflexia como se puede ir logrando paulatinamente estos propósitos,
pues es recomendable darles las orientaciones básicas al respecto y dejar
que ellos libremente presenten sus creaciones.
con el
Una simple hoja de papel
puede convertirse en
un excelente material
didáctico si la usamos con
creatividad.
de

11
EN SECUNDARIA
Nombre de la Actividad 1
Construyendo un trapecio
Nivel Fase Consigna Plan de Trabajo Observaciones
0 2 1. Tomen un rectángulo de
papel (puede ser bond A-4)
y elijan un lado al que
llamaremos “base”.
2. En el lado opuesto a la
“base” marquen un punto
(P).
3. Hagan un doblez que pase
por el punto (P) y por
un extremo de la “base”.
Hagan lo mismo para el
otro extremo de la “base”.
4. Hagan un doblez que sea
paralelo a la “base”.
5. En la parte inferior, pegada
a la “base”, se forma una
ﬁgura de cuatro lados a la
que llamaremos trapecio.
El grupo se
organiza en
equipos de 2 ó 3
integrantes.
Los dobleces y las
construcciones se
realizan de manera
individual.
Se comparan los
resultados en los
equipos.
Se pretende que
el estudiante logre
una visualización
general de los
trapecios.
Propiedades de los trapecios
1 2 1. Tomen un trapecio y
dóblenlo por dos esquinas
opuestas. El doblez que
resulta es una diagonal.
2. La otra diagonal se obtiene
de manera semejante,
pero usando el otro par de
esquinas.
3. El punto donde se cruzan
las diagonales, ¿cómo lo
llamarías?
4. El lado que llamamos
inicialmente “base” se le
llama “base mayor”.
5. Al lado opuesto a la “base
mayor” se le llama “base
menor”.
6. Las dos “bases”, ¿son
paralelas entre sí?
Después de
organizar por
equipos al grupo,
los dobleces y la
observación se
llevarán a cabo
individualmente,
para
posteriormente
intercambiar
experiencias en los
equipos.
El estudiante
determinará qué
partes del trapecio
son invariables,
sin considerar
cuestiones de tipo
cuantitativo.
A'
P
B'
BA
D C“BASE”
P
BASE
P
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5

12
MATEMÁTICA
Construcción de un trapecio escaleno
0 2 1. Tomen un rectángulo
de papel y hagan el
mismo procedimiento
que se hizo para
hacer el trapecio
(actividad 1), con la
pequeña diferencia de
que el punto escogido
en el lado opuesto a
la “base” NO sea el
punto medio.
Se organizan a
los estudiantes
por equipos. La
construcción
se lleva
individualmente
y, al ﬁnal, se
comparan
resultados en los
equipos.
El estudiante podrá
visualizar la forma
general de un trapecio
escaleno y, sólo en
caso de conocer los
triángulos escalenos,
podrá comparar su
forma con éstos.
Propiedades del trapecio escaleno
2 4 1. Tomen un trapecio
escaleno y
comprueben que:
a. Las dos bases son
paralelas.
b. Los lados que no son
bases son diferentes.
c. Las diagonales son
diferentes.
d. Los ángulos en los
extremos de la base
mayor son diferentes.
e. Los ángulos en los
extremos de la base
menor son diferentes.
2. Si saben acerca del
triángulo escaleno,
determinen la
relación con éste a
partir del nombre.
Se organizan a
los estudiantes
por equipos. La
construcción
se lleva
individualmente
y, al ﬁnal, se
comparan
resultados en los
equipos.
Se pretende que el
estudiante determine
las características
y propiedades
generales de los
trapecios escalenos,
sin importar criterios
cuantitativos.
A B
D C
A'
P
B'
Trapecio escaleno.

13
EN SECUNDARIA
Construcción de un trapecio isósceles
0 2 1. Tomen un rectángulo
y hagan el mismo
proceso que se siguió
para el trapecio
(actividad 1), pero
ahora el punto
elegido debe ser el
PUNTO MEDIO
del lado opuesto a la
base.
Organizar equipos
y formar el trapecio
individualmente.
Comparar los
dobleces en los
equipos y plantear
la cuestión del
nombre.
Los estudiantes
podrán visualizar la
forma general de los
trapecios isósceles
y, sólo si conoce los
triángulos isósceles,
podrá comparar en
forma y nombre,
aquéllos con éstos.
2.2 Mapas conceptuales y mentales
Ellenguajetieneunpapelcrucialdentrodelprocesodeformacióndeconceptos
y en el aprendizaje signiﬁcativo de los mismos; además, es el código que
permite interpretar o relacionar lo captado. Sin éste, sólo se podrían establecer
relaciones mentales con lo que en determinado momento se estuviese
percibiendo; con él se pueden evocar representaciones mentales e imaginar
otras. Por su capacidad simbólica, la palabra permite que el cerebro procese en
forma integral la información que envía a cada uno de los sentidos, con ella se
clasiﬁcan, ordenan y relacionan las imágenes o sensaciones percibidas.
Propiedades de un trapecio isósceles
2 4 1. Tomen un trapecio isósceles
y comprueben que:
a. Las dos bases son paralelas.
b. Los lados que no son bases
son iguales.
c. Las diagonales son iguales.
d. Los ángulos en los
extremos de la base mayor
son iguales.
e. Los ángulos en los extremos
de la base menor son iguales.
2. Si saben acerca del
triángulo isósceles,
determinen la relación con
éste a partir del nombre.
Organizar el grupo
en equipos de tres
estudiantes.
Realizar las
comprobaciones
y comentar los
resultados en los
equipos.
Posteriormente,
comentar los
resultados y
observaciones a
nivel grupal.
Se pretende que
el estudiante
determine las
características
y propiedades
generales de
los trapecios
isósceles, sin
importar criterios
cuantitativos.
D C
A'
P
B'
BA
Trapecio isósceles.

14
MATEMÁTICA
SegúnAusubel(1989),laadquisicióndellenguajeesloquepermitealoshumanos
el aprendizaje significativo de una vasta cantidad de conceptos y principios que,
por sí solos, no podrían nunca descubrir a lo largo de sus vidas. Es por eso que
se torna relevante dejar explícito el papel que juega el lenguaje dentro de la
construcción de los mapas conceptuales, ya que según Novak & Gowin (1999):
“Es útil para traducir regularidades que reconocemos normalmente, en códigos
que podemos utilizar para describir nuestros pensamientos, sentimientos y
acciones”. En concordancia con el modelo educativo de referencia, el lenguaje
que el estudiante emplee para expresarse es de suma importancia, ya que según
Gutiérrez (1990), “las diferentes capacidades de razonamiento asociados a los
niveles de Van Hiele no sólo se reflejan en la forma de resolver los problemas
propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a
determinado vocabulario”. Debido a esto, el lenguaje, no sólo es esencial en la
creación de las experiencias de aprendizaje, sino también, para que el docente se
haga comprender por sus estudiantes, lo contrario provocará la incomprensión
mutua, tal como lo describe Van Hiele (1957): “Dos personas que razonan en
diferentes niveles no podrán comprenderse”.
Por ello, para lograr una adecuada comprensión, se utilizan métodos de
organización de ideas tales como los mapas conceptuales o mentales. Los
mapas conceptuales nos permiten representar las ideas relacionadas con
símbolos, de este modo, la mente capta con mayor facilidad los conceptos y
las relaciones entre los mismos. Debemos al ingenio de Leonardo da Vinci la
creación de los mapas mentales, los que posteriormente serían desarrollados
por Tony Buzan. Este autor inglés indica que para el diseño de un mapa
mental, se parte de una palabra central alrededor de la cual se dibujan de
cinco a diez ideas principales que guardan relación con la palabra inicial.
Ahora bien, a partir de cada una de las palabras derivadas se obtienen otras
nuevas ideas.El análisis de estos mapas permite estudiar el lenguaje utilizado
por los estudiantes, y a partir de ahí, diseñar las experiencias de aprendizaje
para otros niveles del modelo.
2.3 Software Cabri-géomètre 2
El programa Cabri-géomètre es un programa desarrollado por Ives Baulac,
Franck Bellemain y Jean-Marie Laborde del laboratorio de estructuras
discretas y de didáctica del IMAG (Instituto de Informática y Matemáticas
Aplicadas de Grenoble, Francia). Es un programa netamente didáctico
geométrico; es decir, un programa que ayuda a aprender cómo se hace
Geometría o mejor, a estudiar las propiedades geométricas de las figuras y sus
múltiples componentes, para luego entender mejor la rigurosidad matemática
de las demostraciones. En ningún caso el programa tiende a desplazar la
labor del docente en la clase o del texto guía, simplemente es otra ayuda al
servicio del docente y del estudiante para afianzar sus conocimientos.
Es un programa didáctico construido por personas que no sólo son unos
grandes técnicos en programación y elaboración de programas, sino grandes
investigadores en educación matemática. El centro de investigaciones donde
fue desarrollado tiene gran prestigio internacional y en este proyecto se
vincularon docentes con reconocimiento mundial.
Imagen de la hoja de trabajo del
programa Cabri-géomètre.

15
EN SECUNDARIAFue desarrollado para permitir la exploración y manipulación directa y
dinámica de la Geometría, a través de la interacción didáctica. Es un medio
de trabajo donde el estudiante tiene la posibilidad de experimentar con
una materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones
y de sus relaciones, de tal forma que los estudiantes pueden vivir un tipo
de experimentación matemática que no es posible tener de otra forma.
Por consiguiente, es natural esperar que los estudiantes que trabajen con
Cabri-géomètre podrán avanzar en su comprensión y conocimiento de la
Geometría de una manera distinta a la que ofrecen los medios tradicionales.
Los estudiantes que trabajen con el programa serán capaces de enfrentar
problemas diferentes y más amplios.
“Con Cabri-géomètre, la Geometría se transforma en el estudio de las
propiedadesinvariantesde(unos)dibujoscuandosearrastransuscomponentes
en la pantalla: la afirmación de una propiedad geométrica se convierte en la
descripción del fenómeno geométrico accesible a la observación en estos
nuevos campos de experimentación”.
(Balacheff y Kaput, 1996, p.475-6)
Este programa diseñado con fines educativos tiene dos tipos de objetos
geométricos para definir en sus figuras o dibujos:
1. Objetos básicos: aquellos que pueden definirse directamente sin depender
de otros objetos previos. Son los siguientes: punto, recta, segmento,
triángulo, y círculo (con estas denominaciones aparecen en el programa).
Alguno de ellos, como la recta, aparece de dos formas:
Recta: es una recta definida por un punto y una dirección. Esta recta, al
desplazarse, sólo lo puede hacer de forma paralela, es decir, creamos un
haz de rectas paralelas.
Recta definida por dos puntos: se deben indicar dos puntos por los que
deba pasar la recta, no admitiéndose dos puntos iguales. Esta recta puede
ser modificada tomando la dirección que nos interese.
El otro objeto que se puede definir de dos formas es el círculo:
Círculo: que determina un círculo con el centro y un radio. Esta definición
de círculo define una familia de círculos con la propiedad de tener todos
el mismo radio, lo que podemos cambiar es el centro.
Círculo definido por dos puntos: uno de ellos es el centro del círculo y
el otro es un punto de la circunferencia que lo delimita.
Todos estos objetos están disponibles en la opción CREACIÓN del
menú principal de Cabri. Son lo que matemáticamente se denominan
“arbitrarios”, por ejemplo, si necesitamos considerar un punto cualquiera,
escogeremos Punto como comando de la opción CREACIÓN.
2. Objetos dependientes: que son los que se definen a partir de los objetos
básicosanterioresodeotrosdependientes.Seconstruyenconloscomandos
de la opción CONSTRUCCIÓN o bien a través de macro-construcciones.
Los objetos dependientes de CONSTRUCCIÓN podemos clasificarlos a
su vez en dos categorías:
Determinados: unívocamente definidos, como, por ejemplo, el comando
punto medio, para un segmento (o dos puntos arbitrarios) da su punto
medio.
Ejemplo del software Cabri-géomètre
con el menú desplegado.

16
MATEMÁTICA
Indeterminados: aquellos que por su naturaleza geométrica permiten
distintas posibilidades; por ejemplo, el comando recta paralela depende del
punto por el que queremos que sea paralela, es decir, una recta tiene infinitas
paralelas. Si atendemos a los distintos objetos, éstos se pueden definir de
varias formas.
En la figura 1, se pueden ver las distintas formas de definir una recta en
Cabri.
Figura 1. Mapa conceptual elaborado en la primera fase de aprendizaje del
modelo educativo de Van Hiele.
En este mapa se evidencia cómo el estudiante
define los conceptos propuestos de geometría,
como figuras geométricas, las cuales se gene-
ran a partir de trazos de líneas que pueden
ser rectas paralelas o secantes, y así va for-
mando los conceptos hasta llegar a otros más
generales. A partir del análisis de los mapas,
se construyeron las experiencias de aprendi-
zaje para ayudarles a superar las falencias,
reformular su vocabulario y el significado del
mismo, teniendo como herramienta principal
el mecanismo del haz de secantes y como
técnica de indagación y exploración los ma-
pas conceptuales en cada una de las fases del
modelo educativo de Van Hiele.
Cabri permite definir procedimientos, deno-
minados macro-construcciones por el progra-
ma, muy útiles para la resolución de algunos
problemas y que evitan repetir un conjunto
de comandos. Una macro es una secuencia
de comandos actuando sobre algunos objetos
(objetos iniciales) para producir nuevos obje-
tos (objetos finales). El esquema de una macro
construcción aparece en la figura 2.
El ejemplo propuesto es una macro-
construcción que a partir de un segmento
construye un triángulo equilátero que lo
contiene como lado, este problema tiene dos
soluciones, lo que queda de manifiesto a lo
largo del proceso de definición de la macro.
Una vez definida la macro-construcción, ésta
se convierte en un comando más de los del
menú CONSTRUCCIÓN.
Un aspecto muy importante de los entornos
informáticos como Cabri para el aprendizaje
de la Geometría, es la posibilidad de utilizar-
lo para la formulación, exploración de conje-
turas, como instrumento para pasar de lo particular a lo general (Schwartz,
1993). Los ejemplos que se obtienen con los programas de simulación pue-
den ayudar a realizar generalizaciones de propiedades geométricas (Yerus-
halmy, 1993) y a razonar de manera inductiva, por ejemplo, las tres media-
nas de un triángulo se cortan en un punto interior al triángulo.
Definir una recta
¿Existen los objetos
para definirla?
CONSTRUCCIÓN
Recta Punto y
dirección
Recta
Recta definida
por 2 puntos Dos puntos
No
Sí
Mediatriz Recta paralela Recta perpendicular Bisectriz Rectadefinidapor una
macro-construcción
Ángulo Objetos inicialesPunta y rectaSegmento
Recta
Figura 1. Diversas formas de definir una recta en Cabri.
PROCEDIMIENTO
Círculo def. por 2 puntos
Círculo def. por 2 puntos
Intersección de 2 objetos
Triángulo
OBJETOS
INICIALES
Segmento
OBJETOS
FINALES
Triángulo
equilátero
Figura 2. Esquema de una macro-construcción de
Cabri, construye un triángulo equilátero a partir de
un segmento.
C
R
E
A
C
I
Ó
N

17
EN SECUNDARIAEn Cabri podemos construir figuras que nos lleven a verificar propiedades
que ya conocemos. Tal es el caso del teorema de Pitágoras.
Para lograr esta construcción:
1. Trazamos dos puntos arbitrarios (A y B) y sobre ellos trazar una recta.
2. Trazamos la perpendicular a esta recta.
3. Colocar un punto C sobre esta perpendicular y trazar una recta que pase por A.
4. Trazamos circunferencias (centro en A, B y C, respectivamente),
segmentos paralelos y perpendiculares a los catetos y la hipotenusa,
respectivamente, de tal manera, que se puedan formar los cuadrados
respectivos a cada segmento o lado del triángulo ABC.
5. Medimos las áreas de cada cuadrado, así como, los catetos y la hipotenusa
(opción MEDIDAS).
6. Queda demostrado que el teorema de Pitágoras se cumple al sumar las
áreas de los tres cuadrados formados.
Es importante familiarizar a nuestros estudiantes con el uso de determinados
software para el tratamiento de ciertos contenidos matemáticos, los mismos
que permiten reducir cálculos y dedicarse mejor a la interpretación de los
resultados o simulaciones, con el fin de emitir juicios de valor.
Actividad 2
Al trabajar debes tener en cuenta:
• Que debes poner en práctica un estilo de vida demo-
crático distribuyéndose el trabajo equitativamente.
• Que todos los integrantes del equipo deben responsa-
bilizarse y comprometerse con la actividad, el éxito
de ésta depende del esfuerzo de todos.
• Propiciar un clima de confianza donde cada uno ex-
prese con libertad y respeto sus resultados, si estos
son contrarios, discutan para construir un consenso.
1. Investiga sobre el software Cabri-géomètre en las si-
guientes páginas web:
http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/
http://infomate.mendoza.edu.ar/cabri.htm
http://www.mismates.net/matematicas/actividades.htm
http://www.estalmatcyl.com/estalmat_
castilla%20y%20le%C3%B3n/isometriascabri.htm
Luego construye y comprueba los siguientes teore-
mas utilizando Cabri-géomètre.
• Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
• Teorema de Tales sobre proporcionalidad de seg-
mentos.
• Teorema de Varignon.
• Teorema de Desargües.
2. Investiga qué otras herramientas y técnicas de cons-
trucción de figuras geométricas puedes aplicar en tu
labor pedagógica. Elabora un breve resumen y com-
parte con tus colegas.
en grupo...
Aplica el modelo de Van Hiele con diversas herra-
mientas de aprendizaje, en la resolución de activida-
des propuestas, demostrando capacidad de análisis.
1. Utiliza la papiroflexión para desarrollar los siguien-
tes temas:
• Rectas paralelas, rectas perpendiculares.
• Líneas notables de un triángulo.
• Cuadrado y rectángulo.
• Propiedad de la suma de los ángulos internos de
un triángulo.
• Área de un triángulo.
2. Elabora una guía para tus estudiantes con activida-
des, como por ejemplo:
• Haciendo uso de la técnica de la Papiroflexia
cada grupo de estudiantes mostrará a los demás
una creación propia que esté formada sólo por
triángulos.
• Con un pliego de cartulina, plumones, lápices
de colores, papel lustre y pegamento, cada
grupo de estudiantes mostrará a sus compañeros
una creación propia que esté formada sólo por
cuadriláteros.
3. Investiga sobre los mapas conceptuales e indica la
importancia de su aplicación en Geometría.
4. ¿Qué destreza podemos desarrollar con la elabora-
cion de mapas conceptuales?
5. Elabora mapas conceptuales sobre los siguientes
tópicos e indica los usos que les puedes dar en la
didáctica de la geometría: cuadriláteros, círculos,
poliedros regulares y esfera.
a = 2,20 cm
A1 = 4,82 cm2
A2 = 17,70 cm2
c = 4,75 cm
b = 4,21 cm
A3 = 22,52 cm2
A
n C
Teorema de Pitágoras:
a2
+ b2
= c2
4,82 cm2
+ 17,70 cm2
= 322,52 cm2
Áreas
A1 = 4,82 cm2
A2 = 17,70 cm2
A3 = 22,52 cm2

18
MATEMÁTICA
3. CONSTRUCCIONES
GEOMÉTRICAS
Podemos aprovechar el momento para informar a los estudiantes que la recta
PQ se llama mediatriz del segmento AB. Luego, preguntemos: ¿qué es la
mediatriz de un segmento?
Ellos deben utilizar sus propias palabras para definir esta línea.
Ahora bien, conforme avancemos en las actividades propuestas para reforzar
este procedimiento, podemos encaminar su atención en el reconocimiento de
la propiedad de la mediatriz, comprobándola con mediciones, a saber que:
“Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, está a igual distancia
de los extremos”.
Si se hace reiterativa la verificación de esta propiedad, cuando los estudiantes
seenfrentenaproblemasqueinvolucreneltrazodelamediatriz,tendránlaidea
presente en su resolución, por ejemplo, al construir un triángulo isósceles.
Veamos algunas actividades sugeridas:
3.1 Construcciones geométricas con regla y compás
Las siguientes actividades de construcciones geométricas han sido propuestas
por Fernando Alva Gallegos.
La experiencia nos ha enseñado que un aprendizaje significativo de conceptos
y propiedades de la Geometría debe ir de la mano con la realización de
actividades de comprobación y verificación de éstas. Por ello, es aconsejable
realizar actividades de construcción con regla y compás, simultáneamente
al desarrollo de los contenidos teóricos del curso. Los procedimientos
deben ser presentados de la forma práctica más sencilla posible, sin mayor
profundización en las partes teóricas que los justifiquen, aún cuando no
deben dejar de mencionarse.
A continuación, presentamos algunas actividades que pueden ser realizadas
por los estudiantes, familiarizándose así en el uso de estos instrumentos, tan
importantes en el desarrollo del curso.
1 Ubicar el punto medio de un segmento
BA
P
Q
BA
BA
A
P
Q
M B
Ubicar el punto medio
del segmento AB
1ro: Con centro en A y
radio mayor que la mitad
de AB, se traza un arco.
2do: Con centro en B y el
mismo radio, se traza otro
arco, logrando P y Q.
3ro: Con la regla, trazamos
la recta PQ, intersectando a
AB en su punto medio M.
Ubicando el punto medio de un
segmento
El estudiante debe ser
el autor principal en el
proceso de aprendizaje
y enseñanza. Aprenderá
Geometría sólo si construye
él mismo con regla y
compás.

19
EN SECUNDARIAa. Ubica el punto medio de cada uno de los segmentos
A B
B
A
B
A
B
A
b. Sobre la mediatriz del segmento trazado en cada caso anterior, marca
algunos puntos, tales como C y D. ¿Cómo son las distancias CA y CB?
¿Y las distancias DA y DB?
c. Llama “O”, al punto de intersección de las mediatrices de dos lados
cualesquiera del triángulo ABC, en cada caso siguiente. ¿Cómo son las
distancias OA, OB y OC?
2 Copiar un segmento
Dado un segmento de longitud conocida (a, por ejemplo), copiarlo en
otro lugar.
Como aplicación de este procedimiento, podemos plantear a los
estudiantes las siguientes actividades:
B
A
B
CCA C
B
A
21 3
QP P QP
a
Conociendo las longitudes a y b de
los segmentos mostrados, graﬁca en
tu cuaderno otro, cuyas longitudes se
indican.
a
b
1. a + b 2. 3a 3. b – a 4. 2a + b
Y si les hemos enseñado el procedimiento, con regla y compás, para
ubicar el punto medio de un segmento, podemos plantearles las siguientes
actividades:
El uso de
materiales concretos
como la regla y el compás
facilitan el trazado de
ﬁguras geométricas.
a

20
MATEMÁTICA
βα
Como podemos observar, estas expresiones van a familiarizar al
estudiante con la representación simbólica de cantidades. De modo que,
también podemos pedirles que enuncien cada caso: 1. La suma de dos
números. 2. El triple de un número. 3. La diferencia de dos números. 4.
La suma de el doble de un número más otro. 5. Un número, más la mitad
de otro.
3 Copiar un ángulo
Este procedimiento, también clásico, es muy útil en el manejo de la
motivación por el curso de Geometría, de parte de los estudiantes.
QA
P
OA
H H
SOSO
2do: Con centro en A,
trazamos un arco PQ.
1ro: Trazamos una línea y
ﬁjamos el punto O.
Ángulo dado
3ro: Con centro en O, trazamos
otro arco de igual radio que el
anterior, logrando el punto S.
4to: Con centro en S, y
radio PQ, trazamos un arco,
obteniendo H.
5to: El ángulo HOS mide igual
que el ángulo A
O S
Ahora, como aplicación podemos plantear a los estudiantes, las siguientes
actividades:
Dados los ángulos de medidas , obtener otros, cuyas medidas se
indican:
4 Trazar la bisectriz de un ángulo
Este procedimiento, permite apoyar actividades en varios contenidos del
curso.
3ro: El rayo AM es la
bisectriz del ángulo A.
2do: Con centros en P y
Q, y radios iguales entre
sí, trazamos dos arcos
que se intersecan en el
punto M.
1ro: Con centro en A,
trazamos un arco PQ.
Trazar la bisectriz
del A.
A A
P
QQ
P
A Q
P
A
M M
Las construcciones
geométricas facilitan
la conceptualización y
formalización de ideas
geométricas en los
estudiantes.

21
EN SECUNDARIA
UnUn mate...mate...
Podemos plantear a los estudiantes que tracen las bisectrices de los
siguientes ángulos:
5 Construir triángulos
Según los postulados ALA, LAL y LLL, de la congruencia de triángulos,
tenemos:
• Construir un triángulo, conociendo los tres lados.
Sean a, b y c, las longitudes de los tres lados del triángulo.
CbACbA A Cb
1ro. Trazamos una línea, ﬁjamos
el punto A y copiamos el lado b,
marcando ademas el vértice C.
2do. Con centro en A y radio c,
trazamos un arco.
3ro. Con centro en C y radio a,
trazamos otro arco, obteniendo
el punto B
a b c
B
Finalmente, trazamos
los segmentos AB y BC,
formando el triángulo ABC
pedido.
B
A C
c
a
b
Leyes del triángulo
rectángulo
- Al dibujar un triángulo
rectángulo en la pizarra,
la probabilidad de dibujar
bien el ángulo recto es muy
pequeña.
- Si, además, el triángulo
se dibuja poniendo a la
hipotenusa en la base,
la probabilidad de que
el ángulo encima de la
hipotenusa salga recto es
muchísimo más pequeña.
- Una vez terminado el
triángulo, la probabilidad
de convencer a los
alumnos de que es
realmente rectángulo es
prácticamente nula.
Consecuencia: Cuando
quieras dibujar un
triángulo rectángulo
en la pizarra, dibuja un
triángulo cualquiera y
después continúa diciendo:
“Supongamos que esto sea
un triángulo rectángulo...”.

22
MATEMÁTICA
Procedimiento:
Construir un triángulo, conociendo dos ángulos y el lado adyacente.
Sean α, φ y c, las medidas de dos ángulos y la longitud del lado adyacente a ellos,
respectivamente.
Procedimiento:
1ro. Sobre una línea recta,
ubicamos el punto C y
luego copiamos CA = b
2do. Con vértice C y el lado
CA, copiamos el ángulo α.
3ro. Copiamos el ángulo φ,
con vértice en A.
4to. Prolongamos los lados
y formamos el triángulo
ABC: m∠C = α, AC = b y
m∠A = φ
C Ab C b A
α
AC b
α φ α
bC A
B
φ
α
b
φ
1ro. Sobre una línea
recta, ubicamos el pun-
to C y luego copiamos
CA = b
2do. Con vértice C y un
lado CA, copiamos el
ángulo α.
3ro. Copiamos el lado a,
sobre el segundo lado de
α : CB = a
4to. ABC es el triángulo:
CB = a, AC = b y m∠C =
Ab C b A
α
AC
B
b
a
α
C
B
b
a
α
a
b α
• Construir un triángulo, conociendo dos lados y el ángulo comprendido.
Sean a, b y , las longitudes de los dos lados y la medida del ángulo comprendido
respectivamente.

23
EN SECUNDARIA
A BL
PP
A BL
P
Q
A BL
P
Q
Por un punto P, exterior a
una perpendicular a ella.
1ro. Con centro P, traza-
mos un arco que inteseca
a la recta L en los puntos
A y B.
2do. Con centros en A
y B, y radios iguales al
anterior, trazamos dos
arcos que se intersecan en
el punto Q.
3ro. Trazamos la recta
PQ, dando solución al
problema:
PorunpuntoP,deunarecta
L, trazar la perpendicular a
ella.
1ro. Con centro P, trazamos
un arco que interseca a la
recta L en los puntos A y B.
2do. Con centro en A y B,
y radios iguales entre sí,
trazamos dos arcos que se
intersecan en el punto Q
3ro. Trazamos la recta
PQ, dando solución al
problema:
L P AL P B AL P B AL P B
Q Q
7 Problemas recreativos usando los procedimientos de construcción
con regla y compás
Plantear a los estudiantes, situaciones de desafío en las que deben utilizar
uno o más de los procedimientos de construcción aprendidos, dando a la
vez, libertad para que apliquen su creatividad en la resolución de dichos
problemas. A continuación, veamos algunos.
Problema 1.
En el “cruce” de las
avenidas Arequipa y
Ricardo Palma hay
un monumento. Se
sabe que, equidistante
de ambas avenidas
y a 80 metros del
monumento, hay un
“tesoro” escondido. Realiza el procedimiento para ubicar dicho “tesoro”.
Escala en metros
0 100
Av. R. PalmaMonumento
Av. Arequipa
Perpendicular a una recta, desde un punto de ella.
6 Trazo de perpendiculares
Perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella.

24
MATEMÁTICA
Problema 2.
Una pileta de agua se debe colocar cerca
de tres casas A, B y C, de modo que esté
a igual distancia de las tres. Realiza el
procedimiento para ubicar la pileta.
8 Ideas generales para hacer el curso agradable
Ningún área de la Matemática es más propicia para aprovechar situaciones
de la vida real, juegos, desafíos y tantas otras posibilidades, incluso virtuales,
acorde con los tiempos actuales, para lograr aprendizajes signiﬁcativos
agradables, que difícilmente los estudiantes van a olvidar. Aquí presentamos
algunas formas de presentar algunos temas especíﬁcos de la Geometría.
ENSEÑEMOS A RECONOCER PATRONES
Al mostrar algunas propiedades de los polígonos, podemos aprovechar
algunos patrones que se dan en ellos, de modo que el estudiante pueda
deducir generalidades. Veamos:
• Triangulación por medio de diagonales.
Observemos cómo están relacionados el número de lados (n) de un
polígono, el número de diagonales que se pueden trazar desde un mismo
vértice y el número de regiones triangulares que se obtienen.
• Triangulación, uniendo un punto de un lado, con los vértices.
Observemos ahora cómo están relacionados el número de lados (n) de un
polígono y el número de regiones triangulares que se obtienen al unir un
punto cualquiera de un lado, con los vértices.
A C
B
Número de lados n
Número de triángulos
4
3 4
5 6
5
n
...
Número de lados n
Número de diagonales
Número de triángulos
4
1
2
5
2
3
6
3
4
n
...

25
EN SECUNDARIAINDUZCAMOS A LOS ESTUDIANTES A REALIZAR ALGUNOS
TRAZOS AUXILIARES
Aunqueparezcaéstaunaactitudconductista,debemosinduciralosestudiantes
a realizar algunos trazos auxiliares en la resolución de ciertos problemas.
Ello les dará un panorama cada vez más amplio de las potencialidades de las
propiedades en la resolución de problemas.
La característica común al resolver estos ejercicios, es que deben trazar una
altura, según muestra la línea de color azul.
PLANTEAR PROBLEMAS QUE MUESTRENALGÚNASPECTO REAL
Podemos emplear situaciones de la vida cotidiana al plantear problemas.
PROPONER DESAFÍOS
Los desafíos con figuras geométricas llaman la atención de todo estudiante
y podemos aprovechar su potencial para rescatar aprendizajes alternos. Por
ejemplo:
(2)
300
12
X
450
X
24
300
530
(3)
300 530
X16
(1)
Calcular el valor de “x” en los siguientes casos
A
B
D
P
400
C
Divida la región
sombreada en dos
áreas de igual forma y
tamaño.
Divida la región
mostrada, que es un
semihexágono regular,
en cuatro figuras de igual
forma y tamaño.
Un terreno está formado por
tres regiones cuadradas, como
muestra la figura. Divida dicho
terreno en cuatro partes de igual
forma y tamaño.
Una bola de billar es impulsada desde
el punto P, impacta en la banda BC
(como se muestra en la figura) y rebota,
impactando en la banda AB y rebota,
para finalmente impactar en la banda
AD y rebota tal como se muestra en la
figura.
13
7
X
La figura muestra dos
posiciones de una
escalera de 25m, que
está apoyada en el piso
y la pared. Calcular el
valor de “X”.
3.2 Geometría con papel periódico
Los medios y materiales con que se cuenta en las instituciones educativas
no son muy abundantes y no es frecuente que en ellas se dedique un

26
MATEMÁTICA
presupuesto a la compra de materiales de Matemática, ya que se suele pensar
equivocadamente que para el aprendizaje de esta área lo único necesario para
el alumno es el lápiz y el papel, así como la tiza y la pizarra para los docentes.
Por eso, y teniendo en cuenta que el papel periódico es un material que está
al alcance de todos, vamos a presentar algunas actividades geométricas que
se pueden realizar utilizando como soporte el papel periódico (no como
utilización de la prensa, sino más bien con el uso del soporte en que viene
escrita: el papel periódico).
Construcción de polígonos planos
En papel de prensa podemos obtener polígonos tan grandes como queramos
sin tener que limitarnos a las dimensiones del cuaderno. Para ello se pueden
recortar, utilizando sólo unas tijeras y una regla para marcar los lados, todo
tipo de polígono, y de cualquier tamaño. Por ejemplo, se puede proponer:
a. Recortar tipos distintos de triángulos (o de otros polígonos) por grupos de
alumnos y luego hacer clasificaciones con los que se obtengan, utilizando
los criterios que ya conozcan o aplicando otros nuevos.
b. Asimismo, se pueden utilizar para comprobar que la suma de los ángulos
de un triángulo cualquiera es la misma, y que además es de dos rectos,
cortando los ángulos de varios de los triángulos recortados en papel y
colocándolos ordenadamente y observando que esa suma es siempre la
misma.
c. Se pueden construir tantos triángulos de la misma área como queramos.
Para ello basta con tomar siempre la misma base (por ejemplo, la longitud
de una hoja) y la misma altura (que puede ser la de la hoja también); es
indiferente la longitud e inclinación de los otros lados.
Distribución de espacios en el periódico
Permitirá en nuestros estudiantes conocer posibilidades diferentes de reparto
de una superficie, y las diferentes finalidades que se le atribuye. Esto se
podrá lograr observando la manera como se distribuye la superficie en
diferentes periódicos (por ejemplo, en la primera página: cabecera, sumario,
número de fotos, número de las noticias y tamaño de los titulares respectivos,
colocados según la importancia que se les asigne, noticias de las que sólo se
dan pequeños titulares y que remiten a las páginas interiores).
El estudio se puede completar con otras situaciones que conllevan a la misma
problemática, por ejemplo, la distribución de las habitaciones en una casa,
sobre una superficie dada (en que hay que añadir, en general, la dificultad
de que se hace a escala) o la decoración (con unos elementos decorativos
prefijados o no) de una determinada habitación.
Así también se puede estudiar en cada periódico la superficie dedicada a las
distintas secciones (política, internacional, local, espectáculos o deportes)
y comparar títulos distintos. Además, se observará la relación entre las
páginas de publicidad y el total de las del diario, e incluso dentro de las de
publicidad, y según el tipo de publicación, los artículos que se anuncian
(autos o bebidas en los destinados a hombres; perfumes o electrodomésticos
en los de mujeres, por ejemplo).
Uso de papel periódico para ayudar
al aprendizaje de contenidos de la
Geometría.

27
EN SECUNDARIA
a
2
b
2
b
a
El periódico como unidad de superficie
La medida de una determinada magnitud implica la adopción de una
unidad de medida. Y lo más importante es que sea adecuada al fin que nos
proponemos. Una posibilidad de medida de superficies como las que nos
rodean en el medio escolar (aulas, pasillos, mesas) es adoptar como unidad la
hoja del periódico que tengamos a mano, por su bajo costo y disponibilidad.
Así podemos empapelar toda la superficie que haya que medir.
Luego se pueden hacer ejercicios de conversión de unidades, transformando
los resultados obtenidos midiendo con dos periódicos diferentes o
directamente a unidades decimales por medio de las medidas de la hoja.
Estudio de las dimensiones de periódicos distintos
Para realizar esta actividad seguimos la secuencia:
Elegimos un periódico y medimos su longitud y su anchura. Vamos a estudiar
la relación (el cociente) entre estas dos dimensiones (poniendo siempre en
el numerador el número mayor de forma que el cociente sea siempre mayor
que uno). Ahora plegamos el periódico por la mitad. La relación entre las
dimensiones, ¿sigue siendo la misma? Si continuamos haciendo sucesivos
dobleces por la mitad y calculamos el cociente entre las dos dimensiones,
¿entre qué valores varía? ¿Hay alguno que se repita? Hacemos el mismo
estudio con varios periódicos. ¿Tienen algo que ver los números que
encontramos?
Si dos cuerpos de la misma forma tienen la misma área lateral, ¿su
volumen es el mismo?
Para realizar esta actividad tomamos dos hojas del mismo periódico y
hacemos dos cilindros enrollándolos de las dos formas posibles (es decir, de
manera que la altura de cada uno de los dos cilindros sea las dos dimensiones
de la hoja). Los dos cilindros resultantes, ¿tienen el mismo volumen?
Si hacemos la prueba con nuestros estudiantes y lo sometemos a votación,
saldrá por una mayoría aplastante la respuesta «sí». Y, sin embargo, la
realidad es que los volúmenes son diferentes. En efecto, si las dimensiones
de las hojas son a y b, los volúmenes de los dos cilindros son
V y W=
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ ◊ =
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ ◊p
p
p
p
a
b
b
a
2 2
2 2
. La única posibilidad de igualdad sería
que a = b. Pero, ¿hay algún periódico en el que esto se cumpla?
Esta es una actividad que muestra que hay muchos conceptos matemáticos
que no son en absoluto evidentes; antes, al contrario, la realidad es lo opuesto
de lo que parece resultar clarísimo.
Esta actividad no tendría que ser la primera de este tipo, sino quizás ver antes
otras sobre áreas de rectángulos del mismo perímetro, que se puede realizar
con una cuerda anudada por los extremos y formando rectángulos con los
dedos de las dos manos, o con las dos manos de dos personas distintas, según
la longitud. Lo que lleva directamente a toda la problemática de la forma de
los objetos, y más todavía a los máximos y mínimos, que se pueden tratar sin
apelar al cálculo infinitesimal, al menos en sus inicios.

28
MATEMÁTICA
Cálculo del grosor de una hoja de periódico
Si se nos pide cuánto mide de grosor una hoja de periódico (o si formulamos
esta pregunta a los alumnos), lo primero que pensaríamos es en lo complica-
do que nos resultaría esta actividad, teniendo en cuenta que los instrumentos
de medida que solemos tener no alcanzan ese grado de precisión.
Aquí te proponemos una forma de realizarse con facilidad (y es un
procedimiento utilizable para calcular espesores pequeños) haciendo un
paquete de periódicos, con un peso encima para comprimirlo, medir su
altura, que ya está el alcance de nuestros instrumentos de medida, y después
dividir por el número de hojas.
Cálculo de magnitudes de la tirada de un periódico
¿Teimaginasloscálculosdesuperﬁciesquepuedeshacerconociendo,almenos
aproximadamente, la tirada de un periódico? Podemos realizar actividades
de medida de magnitudes en las que aparecerán números enormes y que nos
permitirán tener otras perspectivas de la prensa. Por ejemplo, las siguientes:
a. Si extendemos todos los ejemplares que ha publicado hoy el periódico,
¿qué superﬁcie cubrirían?
b. Si apilamos todos los ejemplares uno encima de otro, ¿qué altura
alcanzarían? ¿Cuánto pesarán todos los ejemplares tirados hoy? ¿Cuántas
camionetas serán necesarias para transportarlos?
c. ¿Cuántos rollos de papel habrán sido necesarios para realizar la tirada? En
todas ellas es necesario buscar las unidades de medida apropiadas y hay
que realizar aproximaciones y estimaciones.
Actividad 3
Analiza las construcciones geométricas como herramientas didácticas, valorando su utilidad.
■ Establece las diferencias entre las aplicaciones didácticas de las construcciones usando regla y com-
pás y la geometría con el papel.
■ Analiza y comenta con tus colegas sobre las ventajas y desventajas de las aplicaciones didácticas
que se está proponiendo en el fascículo sobre el uso de la regla y el compás para realizar
construcciones geométricas y la geometría del papel.
Para tales actividades revise cuidadosamente la bibliografía y los enlaces web sugeridos.
Recuerden que:
Debemos respetar los diferentes puntos de vista y demostrar capacidad para escuchar, llegar a acuerdos
y construir consensos.
Hay que reconocer lo valioso de cada uno de los miembros del equipo.
Investiga con tus colegas sobre qué otras construcciones geométricas puedes realizar con el uso de la
regla y el compás, así como también qué otras aplicaciones didácticas puedes darle al papel periódico.
Pueden consultar las siguientes páginas:
http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/
http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/Actividades%20Estalmat-ICM2006/Doblar-papel.pdf
en grupo...
El papel periódico
utilizado con creatividad
puede convertirse en un
buen aliado en nuestras
clases de Geometría.
Interesante

29
Responde a las siguientes preguntas aplicando tus conocimientos y buen
criterio:
1. Explica sobre el pensamiento geométrico en el modelo de Van Hiele,
mediante un mapa conceptual.
2. Explica cuál es la importancia de la Papiroflexia en la didáctica de la
Geometría.
3. En la gráfica, determina la medida del
ángulo ABC, siendo A, B, C puntos medios
de las aristas.
4. En la figura se observa dos monedas del Perú que
son idénticas. Una de ellas permanece en reposo
mientras que la otra rueda a su alrededor sin desli-
zarse, partiendo de una posición inicial. ¿Cuántas
vueltas habrá dado dicha moneda?
5. ¿Qué figuras geométricas puedes observar en las
siguientes imágenes? Elabora una tabla clasifi-
cándolas.
4. EVALUACIÓN
6. Elabora un listado de objetos reales donde se observen figuras geométricas. ¿En cuáles de ellas
se puede emplear regla y compás o papel periódico para su construcción?
http://capriciouspeacock.
blogs.com/photos/san_
cipriano/101_1717.JPG
http://centros5.pntic.
mec.es/ies.arzobispo.
valdes.salas/alumnos/
filocien/graficos/
columnas.jpg
A
BC

30
MATEMÁTICA
Responde en una hoja aparte:
1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades
propuestas?
2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?
3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?
4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?
5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad?
6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades?
7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad?
8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades?
9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este
fascículo?
10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este
fascículo?
5. METACOGNICIÓN
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,
sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.
Muy bueno Bueno Regular Deficiente
¿Por qué?
11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?
Explica.
12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?
¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?
N O E S C R I B I R

31
EN SECUNDARIA
BIBLIOGRAFÍA
comentada
1. Balacheff, N. y Kaput, J. Computer-Based Learning Enviroments in Mathematics.
Berlín. Kluwer Academic Publishers, 1996.
Publicación dedicada al uso de la tecnología en el aprendizaje matemático.
2. Castellnuovo, E. La Matemática. Geometría. Barcelona. Editorial Ketres, 1981.
Este libro presenta contenidos de análisis y reﬂexión que permiten al docente abordar
un correcto tratamiento de los contenidos matemáticos y así también conocer el objeto
y los métodos de la didáctica de la Matemática.
3. Corbalán, F. Prensa, matemáticas y enseñanza. Zaragoza. Mira Editores, 1991.
Este libro contiene actividades sobre el uso didáctico del papel periódico.
4. Chamorro, María del Carmen. Didáctica de las Matemáticas. Madrid. Editorial
Pearson, 2005.
En este libro podrás encontrar contenidos que te ayudarán en el desarrollo de los temas
del área de Matemática.
5. De la Cruz, José Huisa. Geometría Plana “Teórico – Práctico”. Lima. Editorial San
Marcos, 1992.
Presenta nociones generales de la Geometría, ejercicios y problemas.
6. Galván, Liliana. Creatividad para el cambio. Lima. UPC y El Comercio, 2001.
Se enseña a crear técnicas creativas, lo que es muy útil para todo docente que desea
mejorar su trabajo pedagógico.
7. Gutiérrez, A. Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la Geome-
tría: El modelo de Van Hiele. Sevilla. Alfar, 1990.
El autor es uno de los mayores especialistas dedicados al análisis y estudio del modelo
de Van Hiele, por ello, esta publicación resulta interesante para entender mejor esta
propuesta.
8. Novak, J. y Gowin, D. Aprendiendo a aprender. Barcelona. Martínez Roca, 1999.
Este es un libro que, por su contenido, es considerado básico en la instrucción teórico-
práctica del diseño y aplicación de mapas conceptuales en el aula.
9. Shwartz, J.L. A personal wiew of suposser, en Schwartz, J. y otros (eds.). The Geo-
metric suposser, What is it a case of? Hillsdale, Lawrence Erlbaum Associates, Pu-
blishers, 1993.
El texto facilita el acercamiento a Cabri, al desarrollar conceptos que se relacionan con
los entornos informáticos.
10. Van Hiele, P.M. El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión
de los escolares en el aprendizaje de la Geometría. Ultrecht. Universidad Real de
Utrecht. Tesis doctoral, 1957.
El modelo de enseñanza de Van Hiele ha desarrollado importantes pautas para la
enseñanza de la Geometría. En esta tesis se encuentran las bases de dicho modelo.
11. Yerushalmy, M. Generalization in Geometry, en Schwartz J. y otros (ed) The Geome-
tric suposser, what is it a case of? Hillsdale, Lawrence Earlbaum Associates, Publis-
hers, 1993. El texto desarrolla aspectos de la relación entre los programas de simulación
y las propiedades geométricas.

32
MATEMÁTICA
1. http://www.gig.etsii.upm.es/pdf/TESIS_ACD_2002.pdf
Esta página es un recurso de apoyo a la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría basada en
un tutor – evaluador y un generador de ejercicios integrados.
2. http://www.ciberdocencia.gob.pe/index.php
Portal educativo que contiene recursos pedagógicos y estrategias educativas que son de gran
utilidad. Además, contiene enlaces a otros temas de interés para el docente.
3. http://macareo.pucp.edu.pe/~jhenost/articulos/conmat.htm
Esta página contiene recomendaciones metodológicas para facilitar el aprendizaje de la
Matemática.
4. http://www.scm.org.co/Articulos/733.pdf
Esta página contiene lecturas matemáticas: el método socrático, la concepción constructivista
del aprendizaje, el modelo de Van Hiele, las fases del aprendizaje y extensiones del modelo
fuera del ámbito de la Geometría.
5. http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/
Aquí podrás encontrar un tutorial de Cabrí Java que es un programa de geometría interactiva.
Se presentan actividades con CABRI que ayudan a descubrir la geometría del entorno.
Están centradas en tres contenidos geométricos: lugares geométricos, los mosaicos y las
transformaciones geométricas.
6. http://www.unizar.es/ttm/2004-05/ConstGeom.pdf
Presenta construcciones geométricas realizadas con regla, compás y transportador.
7. http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2006/junio/nosotros121.htm
Presenta la Papiroﬂexia como una herramienta didáctica que permite desarrollar diferentes
contenidos no sólo conceptuales, sino también procedimentales.
8. http://members.tripod.com/DE_VISU/mapas_conceptuales.html
En esta página podrás encontrar amplia información sobre la utilización de los mapas concep-
tuales como herramienta didáctica.
9. http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/
En esta página encontrarás geometría dinámica – cabri II la cual presenta construcciones
geométricas para educación secundaria. Asimismo, encontrará recursos, matemática recreativa
y enlaces web.
ENLACES
web

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