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- 1. 5TO GRADO DE SECUNDARIA ÁNGULOS I GEOMETRÍA – TEMA 3 DEFINICIÓN Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen. Elementos • Lados : • Vértice : O Notación Ángulo AOB : AOB ; AOB Ángulo O : O ; O Medida del ángulo AOB: m AOBS BISECTRIZDEL ÁNGULO Es el rayo que parte del vértice del ángulo y que forma con sus lados ángulos de igual medida. Ox : bisectriz del ángulo AOB CLASIFICACIÓN I. SEGÚN SU MEDIDA A. Ángulo Agudo.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°. B. Ángulo Recto.- Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90° C. Ángulo obtuso.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 90° y menor de 180°.
- 2. ÁNGULOS I GEOMETRÍA 5TO GRADO DE SECUNDARIA I. SEGÚN LAPOSICIÓN DE LOS LADOS A. Ángulo Adyacente.- Son dos ángulos que tienen un vértice común y están situados a distinto lado de un lado común. B. Ángulos Consecutivos.- Son dos o más ángulos que tienen un vértice común y cada uno de ellos es adyacente con su anterior. C. Ángulos opuestos por el vértice.- Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. III. SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS A. Ángulos complementarios.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90° • Complemento de un ángulo (C) Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 90° • Ca=90°–a • x 2 x C 90 2 • C40°=90°–40° • ( )C 90 ( ) B. Ángulos Suplementarios Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180° • Suplemento de un ángulo (S). Es lo que falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°. POSTULADOS 1. La suma de las medidas de los ángulos que tiene un vértice común y están en un plano es 360°. 2. La suma de las medidas de los ángulos que tienen sus vértices en un punto de una recta y están en un mismo semiplano es igual a 180° Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida. Así los ángulos AOB y MNP son congruentes y se escri- be: AOB MNPS S
- 3. ÁNGULOS I 5TO GRADO DE SECUNDARIA 1. Si el suplemento de un ángulo es el triple de su com- plemento, calcular la medida de dicho ángulo. Rpta: _______________ 2. El suplemento de “x” es al complemento de “y” como “x” es a “y”. Calcular la relación entre “x” e “y” Rpta: _______________ 3. Sea: Sa : suplemento de a y Ca : complemento de a Cal- cular “a” si: S C1 , 0 k S C Sabiendo que “k” toma su máximo valor entero. Rpta: _______________ 4. Según el gráfico OC : bisectriz del AOD y OE : bisec- triz del DOF . Si m EOF 20 Calcular x. Rpta: _______________ 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que m BOD 3m AOB 60 y m COD 3m AOC . Calcular m BOC Rpta: _______________ 6. Las medidas de 5 ángulos consecutivos están en pro- gresión aritmética y suman 105° si la medida del án- gulo mayor es igual al cuadrado de la medida del me- nor ángulo. Calcular el suplemento del complemento de la medida del mayor ángulo. Rpta: _______________ 7. En la figura calcular “y” cuando “x” toma su mínimo valor entero Rpta: __________
- 4. ÁNGULOS I GEOMETRÍA 5TO GRADO DE SECUNDARIA 1. Si a la medida de un ángulo se le suma su comple- mento y el suplemento, resulta 230°. Calcular la medida de dicho ángulo Rpta: _______________ 2. El suplemento de un ángulo, es igual a la suma del doble del complemento del ángulo con la tercera parte del suplemento de dicho ángulo. Calcular la medida del ángulo Rpta: _______________ 3. El suplemento del complemento de un ángulo, es igual al suplemento de la suma entre el complemento y su- plemento de su ángulo doble y el triple respectivo. Cal- cular el ángulo. Rpta: _______________ 4. En la figura calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD Rpta: _______________ 5. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC, si las bisectrices de los ángulos AOB y AOC forman un ángulo de 35°. Calcular m BOC Rpta: _______________ 6. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero del ángulo formado por la bisectriz de un ángulo con un lado de dicho ángulo. Si el ángulo es agudo. Rpta: _______________ 7. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que OC es bisectriz del ángulo BOD y m AOB m AOD 110 .S S Calcular la medida del ángulo BOC. Sabiendo ade- más que OB es perpendicular a la bisectriz del ángu- lo formado por OA y la prolongación en sentido con- trario de OC . Rpta: _______________ 3
- 5. ÁNGULOS I 5TO GRADO DE SECUNDARIA NIVEL I 1. La medida de un ángulo es de 2 3 de su complemen- to hallar dicho ángulo: A) 18° B) 60° C) 54° D) 36° E) 72° 2. ¿En cuánto excede la medida del suplemento de un ángulo agudo, a la medida del complemento del mis- mo ángulo? A) 45° B) 60° C) 75° D) 90° E) 120° 3. En la figura, los ángulos AOB, BOC y COD están en la relación de 5,8 y 7 respectivamente. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectri- ces de los ángulos AOB y COD A) 126° B) 120° C) 116° D) 96° E) 136° 4. Se tienene los ángulos adyacentes PQR y RQS, si la m PQR a . Calcular la medida del ángulo forma- do por las bisectrices de los ángulos RQS y PQS. A) a 2 B) a C) a 3 D) 2a E) 2a 3 5. Dados los ángulos adyacentes AOB y BOC se tra- zan las bisectrices OX, OY y OZ del AOB, BOCS S y XOY respectivamente. Si: m BOC m AOB 80º , hallar m BOZ A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 25° NIVEL II 6. Dado el ángulo AOB, se traza en su interior el rayo OM de manera que: m AOB m AOM 70 Calcular la medida del ángulo formado por bisectriz del ángulo MOB y rayo OA A) 70° B) 35° C) 50° D) 45° E) 17° 7. Se tienen los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC (m AOB m BOC) cuya diferencia de sus medidas es 40°, se trazan OX, OY y OZ bi- sectrices de los ángulos. AOB, BOC y XOY. Calcu- lar la medida del ángulo BOZ A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 45° 8. Se tienen dos ángulos suplementarios; si a ambos se le restan 8°, lo que queda de la medida del ángu- lo menor es 1 4 de lo que queda de la medida del ángulo mayor. Calcular la medida del ángulo mayor. A) 139° 20’ B) 139° 12’ C) 136° 12’ D) 138° 12’ E) 138° 20’ 9. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda • El suplemento de un ángulo agudo es un ángulo obtuso • Los ángulos que miden 20°; 55° y 15° son com- plementarios. • Dos ángulos que tienen el mismo suplemento son congruentes. A) VVV B) VFF C) VFV D) FVV E) FFV 10. En la figura: a – b = 40°. Hallar la m BOC . A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65°
- 6. ÁNGULOS I GEOMETRÍA 5TO GRADO DE SECUNDARIA NIVEL III 11. Si a un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo. A) 135º B) 70º C) 80º D) 60º E) 90º 12.Desde un punto O se trazan los rayos , , y coplanares; tal que: AOBm2AODmBOCm y mÐAOD = 3mÐAOB. Hallar: m AOB A) 60º B) 45º C) 30º D) 36º E) 75º 13.Hallar el ángulo formado por las bisectrices de y . A) 120º B) 135º C) 145º D) 110º E) 150º 14.Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF tal que las medidas de los ángulos AOD y COF, suma 160º. Calcular la medida del ángulo BOE si m AOB=m DOE y m BOC=m EOF. A) 40º B) 80º C) 20º D) 90º E) 30º 15.Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF tal que m AOB=2m BOC,m EOF=2m DOE y m AOF+2m COD=150º. Calcular la medida del ángulo BOE. A) 40º B) 50º C) 75º D) 60º E) 80º 16.Calcular la medida de un ángulo sabiendo que la suma entre el doble de su complemento y el triple de su suplemento, es igual a 420º. A) 70º B) 45º C) 40º D) 50º E) 60º