2021-T6 Conjetura de Collatz
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La conjetura de Collatz establece que aplicando la operación de dividir entre 2 si un número es par o multiplicar por 3 y sumar 1 si es impar, cualquier número natural eventualmente llegará a 1. A pesar de haberse estudiado desde 1937, sigue siendo una conjetura sin demostrar. Se han logrado algunos resultados parciales pero no una demostración general. Existe relación con áreas como teoría de números, ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos.
2021-T6 Conjetura de Collatz
- 2. Índice - Enunciado - Código - Historia - Estado actual. Resultados parciales - Gráficas - Relaciones con otras áreas de la matemática - Fractal de Collatz
- 3. ¿Qué es la conjetura de Collatz? Enunciado La conjetura de Collatz fue enunciada por Lothar Collatz en 1937. Pertenece al área de la Teoría de Números, y dice que, si aplicamos a cualquier número la siguiente operación: -Si es par, se divide entre 2. -Si es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1. Y se repite la misma operación con cada número que obtengamos en cada iteración, siempre llegamos al 1. En particular, se llega a la secuencia 4, 2, 1, y de ahí no se puede salir.
- 4. Código de la conjetura en C Hemos realizado un programa que muestra la secuencia de números obtenidos al aplicar la conjetura de Collatz a un determinado número natural. A continuación se mostrará su funcionamiento. Nota: el programa se encuentra publicado el el blog de Wordpress. https://programacion1z.wordpress.com/2021/01/02/conjetura-de-collatz-secuencia-de-numeros/
- 5. Historia Generalmente se atribuye el problema a Lothar Collatz. Se interesó por la teoría de grafos y la representación de iteración de funciones.
- 6. Historia Fue quien empezó a circular el problema en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1950.
- 7. Historia Algunos de los asistentes del congreso son fuertemente vinculados con este
- 8. Historia Sin embargo, Bryan Thwaites asegura haberlo descubierto en 1952. El ofrece una recompensa de 1000 libras por resolverlo.
- 9. Historia Durante la década de 1960 las publicaciones seguían el paradigma Bourbaki. La conjetura era un problema aislado e incluso estaba mal visto interesarse en ella.
- 10. Historia Se cree que apareció escrito por primera vez en 1971. En 1972 apareció en 6 publicaciones diferentes, incluyendo una columna del Scientific American por Martin Gardner que le dió bastante publicidad.
- 11. Historia Desde entonces, no han parado de surgir cientos de artículos sobre el problema. Matemáticos como Paul Erdös o Jeffrey Lagarias afirman que la matemática actual está fuera del alcance.
- 12. Historia Importantes avances se realizaron a partir del Teorema de Riho Terras en 1976, y en septiembre de 2019 en base a ellos con Terence Tao.
- 13. Historia En 2020 se comprobó por ordenador que todos los números hasta 2^68 (aprox. 2.95x10^20) cumplían la conjetura.
- 14. Estado actual del problema. Resultados parciales A día de hoy, sigue siendo una conjetura ya que no se ha hallado una demostración general del problema, es decir, todavía nadie ha logrado demostrar su veracidad ni encontrar un contraejemplo para demostrar su falsedad.
- 15. ● Números que son suma de potencias de 4 seguidos ○ Generan el 1 en forma casi directa. ○ Ej. 1, 5=1+4, 21=1+4+16 ● Agregar un 3 al final de los números anteriores ○ Se obtiene 5, a partir del cual se obtiene 1 ○ Ej. 13, 53, 213 ● Potencias de dos más 1 ○ Números de la forma 22n +1 generan 3n +1 (n natural) ○ Ej. n=2 17 genera 10, n=3, 65 genera 28, n=4 257 genera 82 ● Números congruentes con 3 (mod 6) ○ Los números de esta clase son generadores de números mayores ○ Ej. 27 o 111.
- 16. Cota superior de valores entre 1 y 1300
- 17. Tiempo de órbita de valores entre 1 y 13000
- 18. Relaciones con otras áreas matemáticas Esta conjetura posee varias ramificaciones con diferentes áreas matemáticas. Terence Tao en sus avances establece conexiones entre la conjetura y el área de ecuaciones diferenciales parciales, ya que se fijó en que la conjetura se parecía en cierta forma a este tipo de ecuaciones. También existen relaciones con otras áreas aparte de la teoría de números, como la teoría de la computación, la combinatoria y la teoría de sistemas dinámicos.
- 19. Fractal de Collatz Esta órbita tan peculiar se consigue refiriéndonos a la convergencia y a la divergencia en nuestra conjetura. En la imagen mostrada, los puntos más centrados son de mayor convergencia y al alejarnos de este, la convergencia va disminuyendo.