Algebra (I Bimestre)

ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : ALGEBRA CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN I BIMESTRE Ing. Julio González ABRIL – AGOSTO 2007

CAPITULOS 1.- CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA. (2) 2.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES. (9) 3.- FUNCIONES Y GRÁFICAS.(15) 4.- FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES.(39) 5.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.(44)

CAPITULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA SISTEMA DE NÚMEROS REALES. NATURALES.- Se designan por N ( N = {0, 1, 2, 3, 4, .....} ENTEROS.- Se designan por Z = { ....  3,  2,  1, ,0, 1, 2, 3, 4,......}. RACIONALES.- Se definen : Q = {a/b: a  Z, b  Z y b  0} . Dentro de este conjunto están los decimales simples y decimales periódicos. Son ejemplo de números racionales: ½, ¾, -4, 0, 1.3333, 0.25.

IRRACIONALES.- Se representan simbólicamente por Q  ´, es porque constituyen el complemento de los números racionales y que incluyen, justamente aquellos decimales o números que no pueden expresarse, de ninguna manera como una fracción o un número racional . REALES.- Este conjunto esta constituido por la unión de los números racionales (que comprenden los números naturales, los números enteros, los números fraccionarios) y los irracionales, es decir R  Q  Q´ VALOR ABSOLUTO NOTACIÓN CIENTÍFICA EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES ENTEROS

EXPONENTES RACIONALES LEYES DE LOS EXPONENTES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ALGEBRA DE POLINOMIOS PRODUCTOS NOTABLES

FORMULAS DE FACTORIZACIÓN Diferencia de cuadrados Diferencia de cubos Suma de cubos

EXPRESIONES RACIONALES. Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. ALGEBRA DE EXPRESIONES RACIONALES. FRACCIONES COMPLEJAS. RACIONALIZACIÓN (DENOMINADORES , NUMERADORES) SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES RACIONALES

CAPITULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES ECUACIONES Ecuación: Enunciado de que dos cantidades o expresiones son iguales. TIPOS DE ECUACIONES Ecuación lineal

Ecuaciones cuadráticas TEOREMA DEL FACTOR 0 Si p y q son expresiones algebraicas, entonces METODOS DE RESOLUCIÓN: - Factorización. - Completar el cuadrado. Fórmula cuadrática:

Discriminante. Sí OTROS TIPOS DE ECUACIONES. Se resuelven utilizando métodos elementales diferentes a los anteriores.

DESIGUALDADES. Desigualdad: Enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Ej. Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades. La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones. La solución d las desigualdades se dan en notación de intervalos. Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos:

Existen desigualdades con valor absoluto. Ej. Se solucionan utilizando el siguiente teorema:

Existen desigualdades lineales y de orden mayor que 2. Las desigualdades no lineales se solucionan utilizando un procedimiento ampliamente explicado en el libro guía.

CAPITULO 3 FUNCIONES Y GRAFICAS SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. Se origina del producto cartesiano R x R. Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas. Cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación. FORMULA DE LA DISTANCIA. Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma:

GRÁFICA DE ECUACIONES. Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. Si representamos estos pares ordenados en el sistema de coordenadas cartesianas, tendríamos bosquejada la gráfica de la ecuación. El grado de exactitud de una gráfica está en función directa del número de puntos escogidos para graficar.

Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. - Intersecciones con los ejes. - Simetrías. CIRCUNFERENCIAS. Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:

Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. RECTAS. Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos.

Es necesario conocer claramente las formas de las ecuaciones de la recta, el concepto de pendiente, rectas paralelas, rectas perpendiculares. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA: FORMA PUNTO-PENDIENTE FORMA PUNTO Y PENDIENTE CON INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

PENDIENTE DE UNA RECTA: La pendiente de una recta se define por: Si se conocen dos puntos Si se conoce la forma general RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES. Dos rectas son paralelas si se cumple qué:

Es decir si sus dos pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si: Es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN. Las relaciones especiales llamadas funciones representan uno de los conceptos más importantes de todas las matemáticas.

Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango Una función  de un conjunto Dominio a un conjunto Rango (codominio) es una correspondencia que asigna a cada elemento x de D un único elemento y de R. Al elemento y de R se llama valor en x y se denota por  (x) (que se lee “f de x”). Dominio Rango x y D R

(También recibe el nombre de imagen de x bajo  ). A menudo una función se define por una fórmula explícita, por ejemplo DOMINIO Y RANGO Son los conceptos más importante en el tratamiento de una función. DOMINIO. El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.

Generalmente el conjunto dominio de la expresa en notación de intervalos. RANGO. El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los "resultados" de la función al aplicar los valores del dominio. Muchas veces es necesario encontrar valores del rango, dados valores del domino de la función. (encontrar imágenes) Esta operación solamente consiste en reemplazar el valor del dominio (que toma las veces de la variable independiente) en la función dada.

Algunas veces se describen funciones en términos de varias expresiones, tales funciones se llaman funciones definidas por trozos o por partes. Veamos el siguiente ejemplo: Se debe tomar en consideración que se trata de una sola función, sino que ésta está definida por intervalos o partes, y dependerá del valor del dominio, el valor del rango.

GRÁFICO DE FUNCIONES. Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales, tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical Es importante resaltar que hay un único  (x) para cada x en el dominio, pues solo un punto de la gráfica tiene abscisa x. Por consiguiente si trazamos una recta vertical (prueba de la recta vertical) por cualquier parte de la gráfica de una función ésta corta a la gráfica de la función a lo

más en un punto. En consecuencia la gráfica de una función no puede ser la figura del tipo de una circunferencia, en la que una recta vertical puede cortar a la gráfica en varios puntos. FUNCIONES PARES E IMPARES. Es muy importante saber si una función dada es par o impar, pues proporciona un auxiliar útil para hacer la gráfica; además, ciertos problemas de cálculo y matemáticas mas avanzados se simplifican cuando se sabe que la función es par o impar. Para saber si una función es par o impar se debe cumplir lo siguiente:

Una función par es simétrica respecto al eje vertical y; una función impar es simétrica con respecto al origen. Para determinar si una función es par se reemplaza en la ecuación original la variable independiente por su negativo y se analiza el resultado comparándolo con la función original. Si el resultado es una ecuación equivalente, entonces concluimos que la función es par. Para determinar si una función es impar se reemplaza en la ecuación original la variable independiente por su negativo y se analiza el

resultado comparándolo con la función original. Si el resultado de reemplazar, resulta la función original cambiada de signo, concluimos que la función es impar. FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES. Una propiedad importante de las funciones, es la continuidad; el estudio de la continuidad se lo hace mas profundamente en el cálculo. Las funciones crecientes, decrecientes y constantes se definen como sigue:

Sea I un intervalo del dominio de una función  , entonces: 1.-  es creciente en I sí  (b)  (a) siempre que b  a en I 2.-  es decreciente en I sí  (b)   (a) siempre que b  a en I 3.-  es constante en I sí  (b)   (a) para todo a y b de I Si la gráfica de una figura no está rota o desunida en un punto, se dice que la función es continua en ese punto. TIPOS DE FUNCIONES. Funciones lineales. Una función  es una función lineal sí:

Se usa la palabra lineal para denominar estas funciones en virtud de que sus gráficas son líneas rectas. Son las funciones más sencillas de graficar pues solo se necesitarán dos puntos de su gráfico. El dominio de estas funciones son los números Reales. Una función lineal importante de anotar es la función identidad denotada por  (x)  x El gráfico de esta función corresponde a una línea que divide al primer y tercer cuadrante en dos partes iguales.

Funciones cuadráticas.- Una función  es una función cuadrática sí: La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola. Las gráficas de todas las funciones cuadráticas son similares a la gráfica de con la diferencia de que sus concavidades (forma) pueden ser hacia arriba o hacia abajo o pueden ser reflejadas sobre el eje x.

Muchas veces es necesario reconocer el vértice de la parábola (especialmente cuando se requiere encontrar el rango de una función cuadrática, y los valores máximo o mínimo). El vértice de la parábola esta dado por el punto de coordenadas: OPERACIONES SOBRE FUNCIONES. Con las funciones es posible realizar las cuatro operaciones fundamentales es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Con las funciones es posible realizar las cuatro operaciones fundamentales es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. Esto se resume así:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. La función composición (que se lee “g o f ”) es la función definida por: para toda x en el Dominio Observemos el siguiente gráfico: Se puede aprovechar las operaciones sobre funciones para trasladar gráficas básicas. x f(x) f(g(x)) f g D E K

FUNCIONES INVERSAS Una función inversa es una función que revierte la correspondencia entre los valores del dominio y el rango. En una función inversa el dominio de la función pasa a ser rango de la función inversa y viceversa. Para definir a la inversa de una función es esencial que distintos números en el dominio, den siempre diferentes valores de  ; tales funciones se denominan biunívocas (o inyectivas o uno a uno) Se dice que una función  es uno a uno o biunívoca si y solo si cada elemento del rango de  está asociado con exactamente un elemento de su dominio x.

Para una función  de referencia, la inversa se representa por Una función con dominio D y rango E se llama función inversa de  sí: Además es importante observar que una función  que es creciente o decreciente totalmente en su dominio tiene una función inversa. Si se quiere comprobar que una función es biunívoca o uno a uno, se hace la prueba de la recta horizontal, que consiste en hacer pasar una línea horizontal por cualquier parte de la gráfica. Sí la línea corta en más de un punto a la gráfica, la función no es biunívoca; si la corta en un solo punto, la función es uno a uno o biunívoca.

Existen guías adicionales para obtener la función inversa.

CAPITULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Una función polinomial tiene la forma: Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio. Se requieren métodos que se estudian en cálculo para hacer un análisis completo sobre gráficas de funciones polinomiales de grado mayor que 2. Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.

Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación: 1. Calcule  (  x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría. 2. Calcule el intersecto  (0) en y. Factorice el polinomio. 3. Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación  (x)  0. 4. Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde  (x)  0 y donde  (x)  0. 5. Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario. En los casos en los que  (x) son positivos (  (x)  0), la gráfica de la función está por encima del eje x.

La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de  (x) son negativos (  (x)  0). FUNCIONES RACIONALES Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí: p(x), q(x) son polinomios; el dominio de R es el conjunto de todos los números reales tales que q(x)  0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador q(x) es cero.

ASINTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLÍCUAS. Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas. Se dice que una recta x  a es una asíntota vertical para la gráfica de una función  sí. Se dice que una recta y  c es una asíntota horizontal para la gráfica de una función  sí:

El siguiente teorema es muy útil al graficar funciones racionales: Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma: 1.- Sí m  n, el eje x (y  0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m  n, la recta es una asíntota horizontal. 3.- Sí m  n, no hay asíntotas.

CAPITULO 5 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES la función exponencial  con base a se define como: En donde x es cualquier número real. sí a  1 entonces la función exponencial  con base a, es creciente para todos los reales. También se puede demostrar que sí 0  a  1, entonces  es decreciente para todos los reales.

Los gráficos de estas funciones son característicos y dependerá entonces del valor de la base para saber si es creciente o decreciente. Una función exponencial es o bien creciente o decreciente y por lo tanto es biunívoca y tiene función inversa. Como una función exponencial es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones: Sí x 1 y x 2, son números reales:

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL NUMERO e Sí n es un entero positivo entonces la función exponencial natural  está definida por para todo número real x La función exponencial natural es una de las funciones más útiles en matemáticas avanzadas y en la práctica.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por log a . puesto que: y  -1 (x) sí y solo sí x  (y) La definición de log a se puede expresar de la siguiente manera: Puesto que el dominio y el rango de la función exponencial de base a son todos los números reales y los números reales positivos respectivamente; el dominio de su inversa log a x son los reales positivos y su rango todos los números reales.

Como una función logarítmica de base a es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones: Sí x 1 y x 2, son números reales positivos se tiene: Este teorema se usa con mucha frecuencia en la solución de ecuaciones logarítmicas. (Se la llama propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas) A continuación tenemos algunas propiedades generales de las funciones exponenciales y logarítmicas:

La propiedad (4) se deduce así

LOGARITMOS COMUNES Los logaritmos de base 10 se los conoce como logaritmos comunes. El símbolo log x se utiliza como abreviatura de log 10 x, así tenemos la siguiente definición: LOGARITMOS NATURALES Anteriormente se definió a la función exponencial natural  por medio de la ecuación  (x)  e x . La función logarítmica en base e se llama función logarítmica natural. Se utiliza el símbolo ln x.

A continuación tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas. LEYES DE LOS LOGARITMOS Las siguientes leyes son fundamentales para todo trabajo con logarítmos.

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. Son ecuaciones en donde aparecen expresiones exponenciales con bases constantes y variables en el o los exponentes. A veces para su solución se toman logarítmos a los dos miembros de la ecuación.

FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE. Sí u > 0 y si a y b son números reales positivos diferentes de 1, entonces

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