![Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por
ejemplo, podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b.
También puede ser que a y b sean incluidos o que uno () ambos sean excluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a
menor que b, para representar los números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga
explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' .
Intervalo continua. Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x
aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden
de sus magnitudes.](https://image.slidesharecdn.com/calculo-capitulo-2-161128003425/85/Calculo-capitulo-2-3-320.jpg)
![funciones. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda. Casi todos los
problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria
ejemplo: el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su
fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede recorrer depende del tiempo.
Variables independientes y dependientes. La segunda variable, a la. cual se pueden asignar
valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable .independiente o el
argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se
llama la variable dependiente o la función.](https://image.slidesharecdn.com/calculo-capitulo-2-161128003425/85/Calculo-capitulo-2-4-320.jpg)
Calculo capitulo-2
- 1. TEMA : calculo diferencial e integral Integrante : Viviana Coloma Andrea Lema
- 2. Variable.- Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto. Ejemplo : las ultimas letras del abecedario ( x,y,z,m,n,o,p,r,s,t,v,w,) constante .-Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo ejemplo : las primeras letras del abecedario ( a,b,c,d,e,f,g,h,j,k,l) Constantes numéricas o absolutas :son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parámetros: son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto.
- 3. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo, podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno () ambos sean excluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' . Intervalo continua. Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes.
- 4. funciones. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda. Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria ejemplo: el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede recorrer depende del tiempo. Variables independientes y dependientes. La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable .independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente o la función.
- 5. Notación de funciones. El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y su variable. Ejemplo La división por cero, excluida. El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = O , Y recordando que cero tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas
- 6. CALC ULO DIFERENCIAL Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un ejemplo . VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES. Gráfica de una función; continuidad. Consideremos la función x2 y hagamos Y = X Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variará continuamente desde y = a2 hasta y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , Ia función X2 es continua para todos los valores de x
- 7. Límite de una variable. La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometría elemental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área del círculo . En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la diferencia a - v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño que éste se haya elegido
- 8. Límite de una función. En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que límite z = a, entonces se expresa esta relación escribiendo Teoremas sobre límites. En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y
- 9. Funciones continuas y discontinuas. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a, es igual al valor de la función para x = a. En símbolos, si entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición. Infinito ( ∞). Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve infinita . Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para los tres casos es
- 10. Teoremas relativos a infinitésimos y límites. En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable independiente, y, además, que tienden a sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un número positivo asignado de antemano, tan pequeño como se quiera, Pero no cero.