Calculo1 aula12
0 recomendaciones283 vistas
Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
![Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 106
y
O ϕ A
x
d
Figura 12.1.
2. A dist^ncia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶til alcan»a, quando disparado
a e c
de um canh~o com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^ngulo
a a
de eleva»~o ' em rela»~o ao ch~o (horizontal), ¶ dada pela f¶rmula
ca ca a e o
v0
d= sen 2'
g
sendo g a acelera»~o da gravidade local. Qual ¶ o ^ngulo ' que proporciona
ca e a
±
alcance m¶ximo? Resposta. 45 .
a
3. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = sec x ¡ 1 (b) y = cosec(x2 + 4)
(c) y = cotg(x3 ¡ 2x) (d) f (x) = cos 3x2
cos 4x
(e) y = (f) g(x) = cos2 3x (cos2 a signi¯ca (cos a)2 )
1 ¡ sen 4x
(g) y = tg2 x sec3 x (h) f (x) = tg3 (3x + 1)
(i) y = x2 sec2 5x (j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj
p
(k) y = e¡3x tg x (l) g(x) = ln(ln sec 2x)
(m) y = xsen x (n) f (x) = ln j sec x + tg xj
p p
sec
x¡1 tg x¡1
Respostas. (a) p
2 x¡1
(b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4)
4
(c)¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x) (d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen 4x (f) ¡3 sen 6x
(g) 3 tg3 x sec3 x + 2 tg x sec5 x (h) 9 tg2 (3x + 1) sec2 (3x + 1)
¡3x 2p p
(i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec x ¡ 3e¡3x tg x (l)
p
x
2 tg 2x ¡ ¢
ln sec 2x (m) xsen x cos x ¢ ln x + sen x
x (n) sec x
4. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3 (c) f (x) = ln arc tg x2
3
(d) y = 3arc sen x (e) g(x) = (tg x)arc tg x
p p p
Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 + arccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2
3 p
(c) (1+x4 )2x tg x2 (d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6
arc
(e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )]
5. Determine y 0 por deriva»~o impl¶
ca ³cita.
(a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex](https://image.slidesharecdn.com/calculo1aula12-121221134247-phpapp02/85/Calculo1-aula12-6-320.jpg)
Calculo1 aula12
- 1. Aula 12 Derivando fun»~es trigonom¶tricas co e Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»~es trigonom¶tricas. Estaremos tam- co e b¶m apresentando as fun»~es trigonom¶tricas inversas e deduzindo suas derivadas. e co e Admitiremos que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶ co e a ³nuas nos pontos onde est~o de¯nidas. a Recordemo-nos de que, pela proposi»~o 11.1, aula 11, temos o primeiro limite ca fundamental, sen h lim =1 h!0 h Como conseqÄ^ncia, deduziremos agora as derivadas das fun»~es seno e cosseno. ue co Teorema 12.1 (sen x)0 = cos x (cos x)0 = ¡ sen x Demonstra»~o. Seja f(x) = sen x. Consideremos ent~o, fazendo ¢x = h, ca a ¢f f (x + h) ¡ f (x) sen(x + h) ¡ sen x = = ¢x h h sen x cos h + sen h cos x ¡ sen x = h cos h ¡ 1 sen h = sen x ¢ + cos x ¢ h h f (x + h) ¡ f (x) f 0 (x) = lim h!0 h cos h ¡ 1 sen h = sen x ¢ lim + cos x ¢ lim h!0 h h!0 h 101
- 2. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 102 sen h Agora, temos lim = 1, e h!0 h cos h ¡ 1 (cos h ¡ 1)(cos h + 1) (cos2 h ¡ 1) lim = lim = lim h!0 h h!0 h(cos h + 1) h!0 h(cos h + 1) 2 ¡ sen h sen h ¡ sen h 0 = lim = lim ¢ lim =1¢ =0 h!0 h(cos h + 1) h!0 h h!0 cos h + 1 2 Portanto, f 0 (x) = (sen x) ¢ 0 + (cos x) ¢ 1 = cos x. Assim (sen x)0 = cos x, para todo x 2 R. ¡ ¢ Agora, cos x = sen ¼ ¡ x . Por deriva»~o em cadeia, 2 ca h ³¼ ´i0 (cos x)0 = sen ¡x ³ ¼2 ´ ³ ¼ ´0 = cos ¡x ¢ ¡ x = (sen x) ¢ (¡1) = ¡ sen x 2 2 Proposi»~o 12.1 ca (tg x)0 = sec2 x (cotg x)0 = ¡ cosec2 x (sec x)0 = sec x tg x (cosec x)0 = ¡ cosec x cotg x Demonstra»~o. Para deduzir estas novas f¶rmulas, basta fazer uso das rela»oes ca o c~ sen x cos x 1 1 tg x = ; cotg x = sec x = ; cosec x = cos x sen x cos x sen x ³ u ´0 u0 v ¡ uv 0 e aplicar a regra de deriva»~o de um quociente, ca = . Deixamos o prazer v v2 da descoberta para o leitor. 12.1 Fun»oes trigonom¶tricas inversas c~ e e suas derivadas A fun»~o arco-seno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um ¶nico arco ca u u orientado ®, ¡¼=2 · ® · ¼=2, tal que sen ® = a. Dizemos que ® ¶ o arco cujo seno ¶ a, ou que ® ¶ o arco-seno de a, e denotamos e e e isto por ® = arc sen a Sumarizando,
- 3. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 103 ( sen ® = a ® = arc sen a se e somente se ¡¼=2 · ® · ¼=2 y α = arc sen a a π /2 α x O A - π /2 Assim, por exemplo (con¯ra), p µ ¶ ¼ 3 ¼ 1 ¼ ¼ arc sen 1 = ; arc sen = ; arc sen ¡ =¡ ; arc sen(¡1) = ¡ 2 2 3 2 6 2 A fun»~o arco-cosseno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um unico arco ca u ¶ orientado ¯, 0 · ¯ · ¼, tal que cos ¯ = a. y β = arc cos a β π x a O Dizemos que ¯ ¶ o arco cujo cosseno ¶ a, ou que ¯ ¶ o arco-cosseno de a, e e e e denotamos isto por ¯ = arccos a Sumarizando, ( cos ¯ = a ¯ = arccos a se e somente se 0·¯·¼
- 4. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 104 p Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos( 2=2) = ¼=4, arccos(¡1=2) = 2¼=3, arccos(¡1) = ¼. A fun»~o arco-tangente. Para cada n¶mero real a, ¡1 < a < +1, existe um unico ca u ¶ arco orientado °, ¡¼=2 < ° < ¼=2, tal que tg ° = a. Dizemos que ° ¶ o arco cuja tangente ¶ a, ou que ° ¶ o arco-tangente de a, e e e e denotamos isto por ° = arc tg a y y' γ = arc tg a π /2 a γ x O - π /2 Sumarizando, ( a = tg ° ° = arc tg a se e somente se ¡¼=2 < ° < ¼=2 Assim, de¯nem-se as fun»~es arc sen x e arccos x, para ¡1 · x · 1, e arc tg x para co todo x 2 R. Algumas calculadoras cient¶ ³¯cas chamam essas fun»oes pelas teclas INV c~ SIN , INV COS , INV TAN , e µs vezes pelas teclas SIN , COS¡1 , TAN¡1 . a ¡1 Proposi»~o 12.2 ca 1 (arc sen x)0 = p ; ¡1 < x < 1 1 ¡ x2 1 (arccos x)0 = ¡ p ; ¡1 < x < 1 1 ¡ x2 1 (arc tg x)0 = ; ¡1 < x < +1 1 + x2 Demonstra»~o. ca Sendo ¡1 < x < 1, y = arc sen x se e somente se sen y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
- 5. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 105 ca ³cita da equa»~o sen y = x, temos Por deriva»~o impl¶ ca (sen y)0 = 1 ) (cos y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 ) y0 = =p =p cos y 1 ¡ sen2 y 1 ¡ x2 1 Portanto (arc sen x)0 = p . 1 ¡ x2 Para ¡1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < ¼. Por deriva»~o impl¶ ca ³cita temos (cos y)0 = 1 ) ¡(sen y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 ) y0 = ¡ =p = ¡p sen y 1 ¡ cos2 y 1 ¡ x2 1 Portanto (arccos x)0 = ¡ p . 1 ¡ x2 Finalmente, para x 2 R, y = arc tg x se e somente se tg y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2 Por deriva»~o impl¶ ca ³cita temos (tg y)0 = 1 ) (sec2 y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 ) y0 = = 2 =¡ sec 2y 1 + tg y 1 + x2 1 Portanto (arc tg x)0 = . 1 + x2 12.2 Problemas 1. Sendo f (x) = sen x, mostre que f 0 (x) = cos x, fazendo uso da f¶rmula o p¡q p+q sen p ¡ sen q = 2 sen cos 2 2 para calcular o limite de ¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) sen(x + ¢x) ¡ sen x = = ¢x ¢x ¢x quando ¢x ! 0.
- 6. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 106 y O ϕ A x d Figura 12.1. 2. A dist^ncia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶til alcan»a, quando disparado a e c de um canh~o com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^ngulo a a de eleva»~o ' em rela»~o ao ch~o (horizontal), ¶ dada pela f¶rmula ca ca a e o v0 d= sen 2' g sendo g a acelera»~o da gravidade local. Qual ¶ o ^ngulo ' que proporciona ca e a ± alcance m¶ximo? Resposta. 45 . a 3. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~ p (a) y = sec x ¡ 1 (b) y = cosec(x2 + 4) (c) y = cotg(x3 ¡ 2x) (d) f (x) = cos 3x2 cos 4x (e) y = (f) g(x) = cos2 3x (cos2 a signi¯ca (cos a)2 ) 1 ¡ sen 4x (g) y = tg2 x sec3 x (h) f (x) = tg3 (3x + 1) (i) y = x2 sec2 5x (j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj p (k) y = e¡3x tg x (l) g(x) = ln(ln sec 2x) (m) y = xsen x (n) f (x) = ln j sec x + tg xj p p sec x¡1 tg x¡1 Respostas. (a) p 2 x¡1 (b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4) 4 (c)¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x) (d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen 4x (f) ¡3 sen 6x (g) 3 tg3 x sec3 x + 2 tg x sec5 x (h) 9 tg2 (3x + 1) sec2 (3x + 1) ¡3x 2p p (i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec x ¡ 3e¡3x tg x (l) p x 2 tg 2x ¡ ¢ ln sec 2x (m) xsen x cos x ¢ ln x + sen x x (n) sec x 4. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~ p (a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3 (c) f (x) = ln arc tg x2 3 (d) y = 3arc sen x (e) g(x) = (tg x)arc tg x p p p Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 + arccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2 3 p (c) (1+x4 )2x tg x2 (d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6 arc (e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )] 5. Determine y 0 por deriva»~o impl¶ ca ³cita. (a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex
- 7. Derivando funcoes trigonom¶tricas »~ e 107 x y Respostas. (a) y 0 = 1¡x cos y (b) y 0 = ee sen y+xey sen y x cos y¡e p 1 ¡ y 2 (yex ¡ arc sen y ¡ 2x) (c) y 0 = p x ¡ ex 1 ¡ y 2 6. Esboce os gr¶¯cos das fun»~es, analisando-as previamente atrav¶s de derivadas e a co e limites apropriados. (a) y = x + sen x (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.) a co (a) y 0 = 1 + cos x, y 00 = ¡ sen x. Ao pesquisar retas ass¶ ³ntotas do gr¶¯co, voc^ vai se a e deparar com os limites lim sen x . Use o seguinte racioc¶ x ³nio. Como ¡1 · sen x · 1 x!§1 para todo x 2 R, temos ¡1 · sen x · x , para todo x > 0. Da¶ usando um teorema de x x 1 ³, ³che), temos lim x = 0. Calcule tamb¶m lim sen x . confronto (sandu¶ sen x e x x!+1 x!¡1 1 ¡2x 1 ¡2x (b) y 0 = 1+x2 , y 00 = (1+x2 )2 (c) y 0 = 1 + 1+x2 , y 00 = (1+x2 )2 (a) (b) y y 3π π /2 2π π /4 x 0 1 π x - π /2 π 2π 3π (c) y π π /2 - π /2 x π /2 π - π /2