Angulos compuestos ok
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Este documento describe funciones trigonométricas para ángulos compuestos, ángulos dobles y ángulos mitad. Explica cómo calcular sen, cos y tan para la suma y diferencia de ángulos, y cómo estas funciones se pueden expresar en términos de los ángulos originales. También muestra fórmulas para sen, cos y tan de ángulos dobles y cómo calcular estas funciones para ángulos mitad. Incluye ejemplos resueltos.
Angulos compuestos ok
- 1. Funciones Trigonométricas de ángulos compuestos, ángulo doble y ángulo mitad. 11/09/2012 1
- 2. Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o diferencia de dos o mas ángulos simples ( , , ..) Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma: + y - En términos de las F.T. de y . Para ello usaremos el círculo trigonométrico y la resolución de triángulos rectángulos vista anteriormente. 11/09/2012 2
- 3. En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen( + ) sen( + ) = BE + EC … (1) B En el OBD: OD = cos BD = sen 1 En el BED: A BE = BD cos BE = sen cos … (2) E D En el OFD: DF = OD sen = EC O C F EC = sen cos …(3) (2) y (3) en (1): sen( + ) = sen cos + cos sen 11/09/2012 3
- 4. Ejercicio Resuelto 1: Calcular Cos 75º Cos75º Cos(30º 45º ) Cos75º Cos30º.Cos 45º Sen30º.Sen45º 3 2 1 2 Cos75º . . 2 2 2 2 6 2 Cos75º 4 4 6 2 Cos75º 4 11/09/2012 4
- 5. Tarea: Determine el valor exacto de las expresiones: a) sen 75º b) sen (7π/12) 11/09/2012 5
- 6. Análogamente se obtiene: cos( + ) = cos cos - sen sen Se puede demostrar: tan α tanβ tan(α β) 1 tanα tanβ Para la diferencia se tiene: sen( - ) = sen cos - cos sen cos( - ) = cos cos + sen sen y: tan α tanβ tan(α β) 1 tanα tanβ 11/09/2012 6
- 7. Ejercicio Resuelto 2: Simplificar: Sen(60º x) Sen(60º x) L Cosx Sen(60º x) Sen(60º x) L Cosx Sen60º.Cosx Senx.Cos60º Sen60º.Cosx Senx.Cos60º L Cosx 2( Sen60º.Cosx ) L Cosx 2 3 L 2 L 3 11/09/2012 7
- 8. Tarea: Calcule el valor exacto de: sen 20º cos 40º + cos 20º sen 40º 11/09/2012 8
- 9. Tarea: Del gráfico mostrado calcular Tan(x) Rpta: 9/23 11/09/2012 9
- 10. Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble Si en las diapositivas anteriores reemplazamos por se obtendrá: sen 2α 2sen α cos α ........ (1) cos 2α cos 2α sen2α ...... (2a) 1 2sen2α ............ (2b) 2cos 2α 1............ (2c) 2tan α tan 2α 2 .............. (3) 1 tan α 11/09/2012 10
- 11. Ejercicio Resuelto 3: Si , Sen 4 calculemos Sen2 , Cos 2 , Tg 2 5 Sen2 2 Sen .Cos 4 3 24 Sen2 2. . 5 5 25 Cos 2 Cos 2 Sen 2 9 16 7 Cos 2 25 25 25 24 25 24 Tg 2 7 7 25 11/09/2012 11
- 12. Tarea: Si cos x = -2/3 y x está en el cuadrante II, determine sen 2x y cos 2x. 11/09/2012 12
- 13. Funciones Trigonométricas del Ángulo Mitad Si en las expresiones (2b) y (2c) del ángulo doble, reemplazamos 2α por x, entonces α = x , por lo que 2 obtendremos: cos x 1 2sen2 ( x ) 2 1 cos x Despejando queda: sen( x ) 2 2 1 cos x También: cos( x ) 2 2 dividiendo: 1 cos x tan( x ) 2 1 cos x 1 cos x sen x racionalizando: tan( x ) 2 sen x 1 cos x 11/09/2012 13
- 14. Ejercicio Resuelto 3: Si: 5 180º 270º ; Sen , 3 5 calcular Cos , Sec , Tg , Ctg 2 2 2 2 1 cos 1 cos sen 32 2 a2 cos( ) tan( ) 5 2 2 2 sen 1 cos 9 5 a2 sen 2 tan( ) 4 a2 1 2 1 cos 2 a cos( ) 3 5 2 2 - tan( ) 3 5 2 2 1 cos( ) 3 3 2 2 5 - 1 tan( ) 3 2 1 cos( ) 5 3 2 6 tan( ) 5 1 2 Sec( ) 2 5 1 Ctg ( ) 6 2 5 11/09/2012 14
- 15. Tarea: Determine tan(u/2) si sen u = 2/5 y u está en el cuadrante II. RPTA : tan(u) 5 21 2 2 11/09/2012 15
- 16. 11/09/2012 16