Congruencias
- 1. CONGRUENCIAS Definición Consideramos + ∈∈ ZmyZb,a . Decimos que a es congruente con b módulo m si y solo si su diferencia es múltiplo de m. (Anotamos )( mba ≡ ) • =−⇔≡ mba)m(ba Teoremas I) La relación de congruencia es de equivalencia II) Dos números son congruentes módulo m cuando el resto de dividirlos entre m es igual Nota Este último teorema justifica que a restos distintos corresponden clases distintas y por lo tanto existirán tantas clases como restos. Si consideramos módulo m se tendrán m clases ya que los restos posibles al dividir entre m son los naturales desde 0 a m-1. Es por esto que a las clases de equivalencia que esta relación determina se las denomina clases residuales. Por ejemplo en la relación de congruencia modulo 2 , se tienen 2 clases la del 0 y la del 1 , existen varias maneras de notarlas usaremos la mas simple las llamaremos 0y 1.A este conjunto se lo denomina usualmente 2Z Si definimos las operaciones de suma y producto entre clases del modo siguiente baba CCC +=⊕ y baba CCC =⊗ Pueden construirse las tablas operatorias de suma y producto en 2Z , que corresponden a la suma y el producto en el conocido sistema binario. Ejercicios • Realizar las tablas operatorias de suma y producto para 3Z y 4Z • Observe si se cumple la propiedad cancelativa • Justifique en que casos se cumple esta propiedad • ¿Qué puede decirse de las estructuras ( )⊗⊕,,3Z y de ( )⊗⊕,,4Z • Sean los polinomios p( x) = 12 23 ++ xx y q ( x ) = 12 −x definidos en 3Z , O sea con coeficientes en 3Z y los valores que toma la variable también en 3Z I) Realizar la división entra de p(x) entre q(x) II) Hallar las raíces de ambos polinomios
- 2. III) Hallar el valor numérico de p(x ) para x = 19054 Propiedades Sean + ∈∈ ZmyZ'b,'a,b,a )mh(bhah Zh )m(ba)1 ≡⇒ ∈ ≡ + ⇒ ≡ sientreprimosmya )m(ba)2 b y m primos entre si )m('b'aba )m('bb )m('aa)3 +≡+⇒ ≡ ≡ )m(hbha Zh )m(ba)4 +≡+⇒ ∈ ≡ )m('b'aab )m('bb )m('aa)5 ≡⇒ ≡ ≡ )m(bhah Zh )m(ba)6 ≡⇒ ∈ ≡ 7) Si Nn)m(ba)m(ba nn ∈∀≡⇒≡ 8) Sea 01 1n 1n n n cxc........xcxc)x(f;ZZ:f +++=→ − − Si )m()b(f)a(f)m(ba ≡⇒≡ )m(ba sientreprimosmyh )m(bhah)9 ≡⇒ ≡ )m('bh'ah D'mm'Dhh myhde.D.C.MD )m(bhah)10 ≡⇒ == ≡
- 3. Ecuaciones en congruencias – Resolución en (Z,+,·,≤≤≤≤) de ax ≡≡≡≡ b (m) Dados 0,, >∈ mZmba , pretendemos hallar { })m(bax;ZxS ≡∈= . 1) Si el M.C.D. de a y m no divide al número b ⇒ S=∅ 2) Si a y m son primos entre sí, alcanza con encontrar una solución particular x0, es decir un número entero que verifique la ecuación y a partir de éste el conjunto solución es S = {x∈Z; x = x0 + mt, con t ∈Z} 3) Si a y m no son primos entre sí pero el M.C.D. de a y m divide a b, utilizamos la propiedad 1 y trabajamos como en el caso anterior Si D = M.C.D.(a, m) '''' myasiendoDmmDaa ==⇒ primos entre sí. Por otra parte como D/b 'Dbb =⇒ Ahora )'('')'('')( mbxaDmDbxDambax ≡⇔≡⇔≡ con a’ y m’ primos entre sí. Por lo tanto se trabaja como en el caso anterior Ejemplo 1 Resolver en (Z,+,·) )182(14x35 ≡ Observemos que D(35,182)=7 y 7/14 por lo tanto la ecuación tiene solución no vacía. Primero que nada comenzamos por simplificar entre 7 quedándonos )26(2x5 ≡ Posible resolución )26(1025 ≡x y considerando que por definición )26(026 ≡x Ahora usando la propiedad 3 obtengo txx 2610)26(10 +−=⇒−≡ { }Zt;t2610x;ZxS ∈+−=∈=⇒
- 4. Ejercicio I) La cedula de identidad uruguaya tiene un número de siete cifras seguido de un dígito de una cifra , este es un dígito de control que se calcula tomando como base el número 2.987.634 al que llamaremos módulo verificador e indicaremos con la letra m . Ejemplo : consideremos el número de cedula 1514533 , se toma la cifra de las unidades , se la multiplica por 4 y se conserva solo las unidades resulta entonces 3x4 = 12 conservamos el 2 se reitera el procedimiento con las cifras restantes , planteemos los resultados en un cuadro c m productos unidades 1 2 2 2 5 9 45 5 1 8 8 8 4 7 28 8 5 6 30 0 3 3 9 9 3 4 12 2 1) Hallar los dígitos de control de los siguiente números de cédula : 1.074.512 , 1.073.512 y 1.074.012 que conclusión te permite sacar lo realizado 2) ¿Si encontramos un cedula con un digito ilegibles podremos hallarlo? considera los siguientes : 2.512.1__ 3-2 y 2.5 __5.555-3 3) Escribe una ecuación de congruencia cuya solución sea el digito de control de la cédula ¿Será necesario plantear alguna restricción ? 4) Mostrar que el dígito de control de la cédula permite detectar cualquier trabucazo o sea trasposición de dígitos consecutivos. 5) ¿ Podría suceder que si se intercambiaran dos cifras no consecutivas no se detectara el error ? II) El documento de identidad (DNI) español consta de ocho cifras , para formar el NIF correspondiente se le añade una letra al final .Para elegir esa letra se procede del modo siguiente : Sea n el número de ocho cifras se determina r tal que n ≡ r ( 23 ) con r ∈ N , 220 ≤≤ r con el valor de r se asigna una letra utilizando la tabla siguiente . Para completar el cálculo se suman las cifras en la columna de unidades y nuevamente se conservan solo las unidades : 2 +5+8+8+0+9+2 = 34 conservo el 4 por último le restamos a 10 la cifra obtenida y conservamos solo la unidad del resultado : 10 –4 = 6 este es el dígito de control.
- 5. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E La letra así obtenida se añade al final del DNI para formar el NIF . 1) Hallar la letra final del NIF para el DNI 11809375 2) Determinar que errores pueden detectarse con este carácter de control Ecuaciones diofánticas Consideramos Zc,b,a ∈ ; queremos resolver en Z la ecuación ax + by = c, es decir, hallar los pares de números enteros que verifican esta ecuación. La ecuación ax + by = c puede expresarse del modo siguiente ax –c = -by O sea )(bcax ≡ por lo tanto la resolvemos como ecuación de congruencia para hallar x y luego se deduce y . Ejemplo I) Resolver en Z, 126 x + 105y = 63 MCD (126, 105) = 21, simplificamos entre 21 35663105126 =+⇔=+ yxyx )5(36536536 ≡⇔=−⇔−=−⇔ • xxyx txx xcomo x 53)5(3 )5(05 )5(36 +=⇒≡⇒ ≡ ≡ Sustituyendo en la ecuación original nos queda: ⇒=++ 35)53(6 yt tytyyt 6330155353018 −−=⇒−−=⇒=++ II )Resolver el siguiente sistema: ≡ ≡ )3(12 )5(23 x x (1) txx x x x 54)5(4 )5(05 )5(46 )5(23 +=⇒≡⇒ ≡ ≡ ⇒≡
- 6. (2) kxx x x 31)3(1 )3(03 )3(12 +−=⇒−≡⇒ ≡ ≡ tktkkt 5535533154 =−⇔=−⇔+−=+ )5(5k355k3 ≡⇔=−⇔ • ⇔ ≡ ≡ ⇔ )5(105 )5(106 k k ⇔≡⇔ )5(0k hk 5= como hxkx 15131 +−=⇒+−= { }ZhconhxZxS ∈+−=∈= 151; Probar • si D = M.C.D. (a , b) y D no divide a c ⇒ S=∅ • Si a y b son primos entre si ⇒ S≠ ∅ • Dada una solución particular (x0, y0) ⇒ ⇒ { }atyybtxxZyxS −=∧+=∈= 00 2 ;),( En caso de que a y b no sean primos entre sí pero D/c (D es M.C.D. de a y MCD (126, 105) = 21, simplificamos entre 21 Ejercicios I) Resolver : i) 6x ≡ 12 <15 ii) 6x ≡ 4 <15 iii) 81x ≡ 18 <24 iv) 240x ≡ 35 <847 II) Resolver : i) 16x +21y = 8 ii) 348x + 132 y = 72 iii) 4x + 25y = 88 iv) 46x –22 y = 6 III) Jorge llega hoy temprano al trabajo y descubre que debido a un corto circuito se le quemaron todas las luces del negocio. Decidido a reponer todas las lamparillas quemadas Jorge se dirige a la ferretería y solicita lamparillas comunes que tienen un valor de 15 pesos y lamparillas de bajo consumo que tienen un valor de 18 pesos. i) Jorge manifiesta además que desea gastar exactamente 1235 pesos y el ferretero le dice que es imposible. ¿Es cierto esto?
- 7. ii) Finalmente Jorge acepta gastar 1233 pesos y llevarse dos pesos de vuelto. ¿Cuántas lamparillas comunes y cuántas de bajo consumo compra si desea adquirir a lo sumo 40 lamparillas de cada clase? III) Resolver : i) 〈≡ ≡ 〈 218116 11624 23 x x ii) 4x 7 2 36〈≡ iii) ≡ =+ 〈218116 18949 x yx iv) 4x 6 2 3x5 〈≡− IV) Sea A = ( ){ }yxZyx 5163/, 2 =−∈ i) Determinar B = ( ) =−∈ • 61x7/Ay,x ii) Determinar ( 00 y,x ) ∈ B tal que Ny,Nx 00 ∈∈ de cuatro cifras menores que 5000 0y 7 y 0y 11 2 q 3 q´ iii) Hallar n y h naturales tal que x 0 5n n 2 -3 h