Derivada direccional
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La proposición establece que la derivada direccional de una función diferenciable depende linealmente del vector direccional. Esto significa que la derivada direccional de una función escalar de un vector escalar es igual a ese escalar multiplicado por la derivada direccional de la función, y que la derivada direccional de la suma de dos vectores es igual a la suma de las derivadas direccionales de cada vector por separado. La demostración muestra esto aplicando la definición de derivada direccional y las propiedades de derivadas parciales.
Derivada direccional
- 1. Newton Huaman´ castro ı Proposici´n 0.0.1 Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´n diferenciable en o o U . Entonces la derivada direccional, ∂f , en cualquier punto de U depende ∂v linealmente de v ∈ Rn , esto significa que: ∂f ∂f = λ , ∂λv ∂v ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w Demostraci´n/. Sea a ∈ U por hip´tesis en particular f es diferenciable o o ∂f n ∂f en a, luego se tiene que ∂λv = i=1 ∂xi (a)αi para todo tal que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn . Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y λ ∈ R. Luego n n ∂f ∂f ∂f (a) = (a)αi = λ (a)αi ∂λv i=1 ∂xi i=1 ∂xi ∂f = λ (a) ∂v como a es cualquier punto de U , impl´ ıcitamente podemos escribir ∂f ∂f = λ (a). ∂λv ∂v Sea v = (α1 , · · · , αn ) y w = (β1 , · · · , βn ) ∈ Rn . n n n ∂f ∂f ∂f ∂f (a) = (a)(αi + βi ) = (a)αi + (a)βi ∂(w + v) i=1 ∂xi i=1 ∂xi i=1 ∂xi ∂f ∂f = (a) + (a). ∂w ∂v 3
- 2. Newton Huaman´ castro ı As´ pues ı ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w 4