Directrices para la realización del informe de las prácticas de laboratorio

Directrices para la realización del informe de
las prácticas de laboratorio
1. Secciones del informe de prácticas
Para cada práctica realizada en el laboratorio ha de realizarse un informe que habr´ıa de constar la
siguiente información:
T´ıtulo de la práctica.
Autor o autores del informe.
Introducción teórica, donde se describan los fundamentos de la práctica.
Descripción del equipo que se va a utilizar en la práctica y cómo se va a realizar la misma.
Resultados obtenidos as´ı como el cálculo de sus errores.
Conclusiones.
Bibliograf´ıa
2. Errores de las magnitudes directas
Una magnitud está correctamente expresada cuando se da el número, su error y las unidades:
(número ± error) unidades. De todos estos apartados, aquel que habr´ıa de resultar más novedoso es
el cálculo de los errores.
Siendo este, presumiblemente, el primer contacto que se tiene con la teor´ıa de errores, se va a
centrar el estudio en hallar una estimación de los errores que, si bien no es exactamente el método
más habitualmente seguido en la comunidad cient´ıfica, es una buena aproximación.
Para empezar, hay que hablar de lo que se podr´ıa llamar error de escala. Este error tiene su origen
en el hecho de que los aparatos de medida tienen un precisión limitada, de modo que no dan un número
infinito de decimales.
Para ilustrar lo que se intenta explicar, se va a tomar el ejemplo de medir la altura de una mesa.
Supóngase que se realiza la medida con una cinta métrica, que tiene como división más pequeña el
mil´ımetro. Al medir la altura de la mesa, resulta que mide exactamente un metro. A la hora de expresar
el resultado habr´ıa que escribirlo como:
Altura de la mesa = 1.000 m ± 0.001 m = (1.000 ± 0.001) m (1)
Por supuesto, también podr´ıa haberse expresado en mil´ımetros como: (1000 ± 1) mm, como en
cualquier otro múltiplo o submúltiplo de la longitud. As´ımismo, también podr´ıa haberse expresado
como 1.000 m ± 1 mm, de modo que las unidades del número y del error sean diferentes.
Adviértase, que en la altura de la mesa expresada en metros se han escrito tres ceros tras el punto
decimal. Se han escrito expresamente para indicar que el valor de los dec´ımetros, de los cent´ımetros y
de los mil´ımetros es conocido y, en este caso, valen cero.
El valor del error de la cinta métrica, as´ı como de cualquier otro aparato de medida es el corres-
pondiente a la división más pequeña que se puede apreciar. Es su error de escala. Oficialmente lo
vamos a denominar error tipo B.
1

Tabla 1: Medidas de los tiempos de ca´ıda
medida tiempo / s
número ± 0.01 s
1 0.45
2 0.47
3 0.45
4 0.43
5 0.45
Se va a considerar ahora que desde esa altura se deja caer un objeto y se mide el tiempo que tarda
en caer. Se utiliza un cronómetro, que mide hasta las centésimas de segundo. Cuando se realiza la
medida se obtiene un valor de: 0.45 ± 0.01 s
Si se repite la medida de la altura de la mesa, seguramente se obtendr´ıa el mismo valor. Sin
embargo, si se repite la medida del tiempo de ca´ıda del objeto, no es tan seguro que se obtenga
exactamente el mismo valor. Puede que se reaccione un poco más lenta o rápidamente y por tanto el
tiempo sea diferente. Supóngase que se realizan un total de 5 medidas, obteniéndose los resultados de
la tabla 1.
Cuando se realizan este tipo de medidas, se observa que exite un tipo de error diferente al error
de escala. Se lo conoce con el nombre de error accidental, y su nombre oficial será error tipo A. El
valor del tiempo de ca´ıda que se va a considerar es la media de los tiempos medidos.
tmedia =
n
i=1
ti
n
=
t1 + t2 + t3 + t4 + t5
5
= 0.45 s (2)
El error que se va a asignar a esta magnitud va a ser suma de dos términos. Por un lado el error
tipo B (que es 0.01 s). Por el otro se va a sumar el error tipo A. Para obtenerlo primero se necesita
hallar una propiedad estad´ıstica de nuestro conjunto de medida que se conoce como error estándar, y
que se define por la siguiente expresión:
ES(t) =
n
i=1
(ti − tmedia)2
n(n − 1)
(3)
En concreto, para el ejemplo que se está utilizando con un total de 5 medidas (n = 5) habr´ıa que
aplicar la fórmula siguiente:
s(t) =
(t1 − tmedia)2 + (t2 − tmedia)2 + (t3 − tmedia)2 + (t4 − tmedia)2 + (t5 − tmedia)2
5(5 − 1)
(4)
Si la distribución de los datos siguiese una distribución normal, la desviación estándar nos permi-
tir´ıa saber el intervalo dentro del cual se encuentra el 68.2 % de las medidas. Sin embargo, nuestros
datos no seguirán una distribución normal y además querremos un intervalo de confianza mayor. Pa-
ra poder hacerlo se va a multiplicar el error estándar ya obtenido por el valor 1.96, de modo que
comprenda el 95 % de los valores de la distribución. 1
En el caso que se está utilizando como ejemplo, se tendr´ıa que el error tipo A es: εA = 1.96ES(t) =
1.96 × 0.0063 = 0.0012 s
De modo que el valor del error del tiempo será la suma de los dos tipos de errores ya hallados:
ε(t) = εA + εB = 0.012 s + 0.01 s 0.02 s
1
Véase el último valor de la columna del 95 % en la tabla 4
2

Aquellos estudiantes que hayan le´ıdo el manual de sus calculadoras o que sepan utilizar hojas de
cálculo encontrarán una serie de funciones útiles para la realización de estos cálculos, tales como la
desviación estándar o la desviación poblacional.
Tras estos cálculos, el valor del tiempo ser´ıa el siguiente:
Tiempo de ca´ıda = 0.45 s ± 0.02 s (5)
3. Errores de las magnitudes indirectas
Hasta ahora se ha visto como obtener el error de magnitudes cuyo valor se mide directamente. Sin
embargo, esos valores se suelen utilizar para hallar otras magnitudes. Estas últimas magnitudes no
se miden directamente, sino que se hallan a través de una ecuación que las relaciona con otras. Son
halladas de forma indirecta, de modo que se las denomina magnitudes indirectas.
Los errores tipo A se van a propagar de modo diferente hacia las magnitudes indirectas que los
errores tipo B.
Considérese que se poseen las magnitudes x, y, z, . . ., cuyos valores sean conocidos.
Para calcular el error tipo B de una magnitud f(x, y, z, . . .) que se halla utilizando las magnitudes
medidas x, y, z, . . ., se debe aplicar la siguiente fórmula:
εB(f) =
∂f
∂x
εB(x) +
∂f
∂y
εB(y) +
∂f
∂z
εB(z) + . . . (6)
Es la suma, para cada una de las magnitudes, del producto de: su error por el valor absoluto de
la derivada de la función con respecto de esa magnitud. Es importante darse cuenta de que el valor
absoluto es esencial, pues los errores siempre se suman. El tipo de derivada que se utiliza es una
derivada parcial. Para aquellos que no conozcan todav´ıa este tipo de derivada, pueden considerar que
es constante todo lo que no sea la variable con respecto a la cual se deriva, de modo que casi siempre
son derivadas muy sencillas.
Siguiendo con el ejemplo del objeto que cae desde cierta altura, se puede intentar aplicar la fórmula:
h = 1
2gt2, y hallar el valor de g = 2h/t2. De modo que el error tipo B de g ha de hallarse como sigue:
εB(g) =
∂g
∂h
εB(h) +
∂g
∂t
εB(t) =
2
t2
∂h
∂h
εB(h) + 2h
∂t−2
∂t
εB(t) =
=
2
t2
εB(h) + 2h(−2t−3
) εB(t) = 9.87 s−2
0.001 m + 2 m(−21.95 s−3
) 0.01 s =
= 9.87 s−2
0.001 m + −43.9 m s−3
0.01 s =
= 0.00987 m s−2
+ 0.439 m s−2
= 0.44887 m s−2
(7)
He aqu´ı un ejemplo donde los valores absolutos aseguran que se sumen adecuacamente las contri-
buciones de cada variable al error total de la magnitud correspondiente.
Ahora habr´ıa que encargarse de hallar el error tipo A. Para ello, la ecuación general que debe
aplicarse es:
εA(f) =
∂f
∂x
2
ε2
A(x) +
∂f
∂y
2
ε2
A(y) +
∂f
∂z
2
ε2
A(z) + . . . (8)
Para el caso del ejemplo que se está viendo, la ecuación resultante es:
εA(g) =
∂g
∂t
2
ε2
A(t) = |2h(−2t−3|2
ε2
A(t) = |2m(−21.95s−3|2
0.0122 s2 = 0.5412 m s−2
(9)
3

Hay un último paso necesario, que es calcular el valor de la gravedad a partir de los datos anterio-
mente obtenidos: g = 2h/t2 = 9.876 m s−2. De modo que la magnitud de la aceleración de la gravedad
que se obtiene con las medidas halladas es finalmente:
Aceleración de la gravedad = g = 9.876 m s−2
± (0.44887 + 0.5421) m s−2
= (9.876 ± 0.9909) m s−2
= (9.9 ± 1.0) m s−2
(10)
4. Redondeo
Hay que aprender a redondear las magnitudes de modo que no se den decimales que no tengan
sentido o importancia. Para ello lo primero que hay que hacer es hallar tanto el valor del número como
el de su error. Si, para una magnitud de longitud, el valor del número es 1.23456 cm, y el del error
es 0.0321 cm, lo primero que debe hacerse es tomar el error y dejarlo únicamente con la primera cifra
significativa, la primera cifra que no sea un cero. En el ejemplo que se sigue habr´ıa que redondear el
número del error en las centésimas: 0.03 cm. Ahora lo que hay que hacer es redondear el número de
la magnitud en el decimal en el cual se ha redondeado el error, suponiendo que ambos números están
expresados en las mismas unidades. En el ejemplo significa redondearlo también en las centésimas:
1.12 cm. De modo que el valor de esta longitud se expresa como = 1.12 cm ± 0.03 cm
Para redondear una cifra hay que fijarse en la siguiente. Si la siguiente cifra está entre 0 y 4,
entonces no se modifica la anterior al redondearla. Si la siguiente cifra está entre 5 y 9, cuando al
redondear se elimina esa cifra se le añade una unidad a la anterior. Por ejemplo, si se quiere redondear
el número 765 en las decenas, quedar´ıa como: 770 ya que la cifra que sigue, la de unidades, es un 5,
de modo que se le suma una unidad a las decenas.
Existe una excepción a estas reglas cuando en el error la cifra significativa que habr´ıa que dejar al
redondear fuese un 1, en cuyo caso también se conservará la siguiente cifra, y en el número también
habr´ıa que dejarlo hasta esa sengunda cifra. Por ejemplo, si hubiese que redondear: 6.1524 cm ± 0.0123
cm, el error habr´ıa que redondear el error como 0.012 cm, y el número también habr´ıa que redondearlo
en las milésimas: 6.152 cm, de modo que se expresará como: 6.152 cm ± 0.012 cm
Compruebe ahora como redondear realizando los siguientes ejemplos:
(1.026 ± 0.035) u (1.03 ± 0.04) u
(98765 ± 432) u (98800 ± 400) u
(7.650003 ± 0.00679) u (7.650 ± 0.007) u
(4312 ± 163) u (4310 ± 160) u
5. Regresión lineal
En el laboratorio se va a hallar la medida de diferentes magnituedes. Es habitual encontrar que
algunas de estas magnitudes están relacionadas mediante una ecuación lineal. Considérese por ejemplo
el caso en el cual se miden la magnitud x as´ı como la magnitud y. Ambas relacionadas mediante una
ecuación del tipo: y = a + bx. Supóngase también que se realizan diferentes medidas en las cuales se
obtiene un valor de x, y para cada uno de estos valores se halla el valor de y correspondiente. Por
ejemplo, considérense los valores dados en la tabla 2.
Para obtener los valores de las magnitudes a y b lo que se va a realizar es aplicar el método de
la regresión lineal. Este método permitirá obtener los valores estad´ısticos de a y b. La aplicación del
4

Tabla 2: Datos de dos variables relacoinadas linealmente.
x / u1 y / u2
± 0.2 u1 ± 2 u2
10 17
20 26
30 34
40 43
50 52
60 62
método que aqu´ı se describe supone que el error de la magnitud x es menor que el de la magnitud y.
Si fuera del revés simplemente se intercambiar´ıan las magnitudes de lugar.
Este método mide las distancias entre los datos medidos y los datos obtenidos de la ecuación en
el eje vertical. Los valores de a y b son tales que hacen que esas distancias sean m´ınimas.
El método en s´ı mismo puede encontrarse descrito paso a paso en multitud de trabajos. En este
documento tan sólo se indicarán los resultados finales. Las ecuaciones que permiten hallar los valores
de las magnitudes que se buscan son las siguientes:
a =
( n
i=1 yi) n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi) ( n
i=1 xiyi)
n n
i=1 x2
i − n
i=1 x2
i
2 (11)
b =
n ( n
i=1 xiyi) n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi) ( n
i=1 yi)
n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2 (12)
Por supuesto, para verdaderamente hallar el valor de estas magnitudes hay que hallar también
sus errores. Sin embargo, estas magnitudes sólo van a tener error tipo A. Para hallarlo, las siguientes
ecuaciones permiten hallar el error estándar de cada una de las magnitudes:
ES(a) =
n
i=1 x2
i
n
i=1 (yi − a − bxi)2
(n − 2) n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2
(13)
ES(b) =
n n
i=1 (yi − a − bxi)2
(n − 2) n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2
(14)
Tras estos cálculos, es preciso ir a la tabla 4 y encontrar el coeficiente adecuado para que el intervalo
de confianza sea del 95 %, que es lo que se considera en este documento. Sin embargo, en esta ocasión
es necesario tener en cuenta algo más. Se deben calcular los grados de libertad que se tienen, que se
calculará a partir del número de puntos medidos (n), y en concreto el número de grados de libertad
será: n − 2, debido a los dos coeficientes que se calculan en la regresión lineal.
Para el caso de los datos de la tabla 2, los valores de las variables que se obtienen son: b = 0.891
u2 u−1
1 y a = 7.80 u2, mientras que los correspondientes errores estándares son: ES(b) = 0.014 u2 u−1
1
y ES(a) = 0.5 u2. Como se han medido 6 puntos, eso significa que el coeficiente que debe utilizarse
para el error tipo A es: 2.7765
De modo que: εA(a) = (0.5 u2) 2.7765 = 1.4 u2, y análogamente se calcular´ıa: εA(b) = (0.014 u2
u−1
1 ) 2.7765 = 0.04 u2 u−1
1 .
Por fin, se pueden as´ı calcular los valores de los parámetros buscados como:
5

Tabla 3: Posiciones en función del tiempo para el móvil estudiado.
Tiempo / s Posición / cm
± 0.1 s ± 1.0 cm
10.5 44.1
11.0 46.1
11.5 47.9
12.0 50.0
12.5 51.9
13.0 54.0
a =(7.8 ± 1.4)u2
b =(0.89 ± 0.04)u2u−1
1
(15)
Como suele ser habitual, conocer las posibilidades de cálculo de las calculadoras o de algunos
programas de computador permite realizar estos cálculos de manera muy sencilla.
6. Presentación de los datos en tablas
Utilizar tablas para presentar los datos obtenidos es una excelente forma de hacerlo. No obstante,
hay que seguir ciertas pautas para permitir que la información sea fácil de interpretar. Para empezar,
las tablas deben llevar una etiqueta identificativa que permita hacer referencia a la misma de forma
breve. En lo relativo a estas prácticas se seguirá el criterio de nombrarlas como: Tabla 1, Tabla 2, . . . ,
es decir, con la palabra tabla y un número, donde la numeración sigue el orden de aparición de las
tablas en el documento. Tras esta referencia hay que escribir una leyenda o t´ıtulo, donde se explique
muy brevemente el contenido de la tabla. La tabla habrá de contener una serie de columnas donde
se muestran los datos y que en la primera fila indique las magnitudes se estan expresando. Como
magnitudes, hay que poner el número, sus unidades y su error, sin embargo, si todos los número de
esa columna tienen las mismas unidades y el mismo error, se pueden indicar simplemente en la primera
fila. Véanse como ejemplo las tablas de este documento.
7. Presentación de los datos en figuras
Ésta es también otra magn´ıfica forma de presentar los datos. Pero también hay que seguir ciertas
pautas para aprovechar al máximo sus posibilidades. Al igual que con las tablas, en las figuras se
tendrá una etiqueta identificativa, que consistirá en la palabra figura, seguida de un número: Figura 1,
Figura 2, . . . . Tras ello también habrá una breve descripción del contenido de la figura, de los valores
que en ella se representan. Para tener una idea de dónde estan los valores es necesario que las figuras
tengan un par de ejes perpendiculares que se corten. Hay que aprovechar el espacio disponible, de
modo que no necesariamente los ejes han de cortarse en el origen de coordenadas.
Supóngase que se dispone de los valores de la tabla 3. Como puede observarse, todos los valores del
tiempo están entre 10 y 14 segundos, y todos los valores de la posición están entre 40 y 60 cent´ımetros.
Por tanto, a la hora de representar estas parejas de valores en una figura no se va a hacer como en
la figura 1, sino que ha de hacerse como en la figura 2. En esta figura no sólo están representados
los datos de la tabla, sino que además se representan también los errores de cada punto mediante
unas barras, denominadas barras de error. El tamaño de las barras hacia cada lado del punto es el
del error correspondiente. En este caso, el tamaño en horizontal es de ± 0.1 s, puesto que el tiempo
6

Figura 1: Representación de los valores de la posición en función del tiempo. Figura incorrecta.
Figura 2: Representación de los valores de la posición en función del tiempo. Figura correcta.
7

es la magnitud representada en el eje de abcisas. Análogamente para el eje de ordenadas donde se
representa la posición, en el cual la barra vertical representa el error en la medida de la misma.
No siempre ocurrirá que las barras de error sean suficientemente grandes como para que sean
apreciables en la representación gráfica. Puede ocurrir que el error en una de las magnitudes sea tan
pequeño, que cada punto tan sólo muestre una de las dos barras de error. Incluso, podr´ıa ocurrir que
el error en ambas magnitudes fuese tan pequeño que ninguna barra de error fuese apreciable, de modo
que en la figura tan sólo se vieran los puntos.
Obsérvese también que en los ejes se indica expresamente cuál es la magnitud que se representa
en el mismo, as´ı como las unidades en las cuales se expresa.
Falta un último detalle para representar las figuras: las divisiones de los ejes. Para saber el valor
de los puntos que se representan, en los ejes se ponen los valores cada ciertas divisiones. No se ponen
exactamente los valores correspondientes a los puntos representados, sino que se indican tan sólo unos
pocos y el lector podrá extrapolar el valor de los puntos que desee conocer. Para permitir que esta
extrapolación sea sencilla y agradable, las divisiones de los ejes que se numeran van de 1 en 1, o bien
de 2 en 2, o bien de 5 en 5, as´ı como alguno de sus múltiplos o submúltiplos. Es decir, que para el
intervalo de 0 a 30, no se colocan las divisiones en 0, 6, 12, 18, . . . de modo que van de 6 en 6. O bien
se elige hacerlo cada 5: 0, 5, 10, 15, . . . o bien se elige hacerlo cada 10: 0, 10, 20, . . . . Al decir que se
pueden utilizar los múltiplos o submúltiplos, lo que se intenta señalar es que también se pueden hacer
las divisiones en intervalos de 10 o de 20 o de 50, as´ı como en intervalos de 0.01 o de 0.02 o de 0.05.
La elección del intervalo dependerá de el tamaño que tenga el eje correspondiente.
Existen multitud de programas informáticos que permite realizar representaciones gráficas de los
datos de forma casi inmediata. Tales programas son muy útiles, especialmente cuando se ha de repre-
sentar una gran cantidad de datos.
8. Conclusiones
Siempre es importante recapacitar sobre el trabajo que se acaba de realizar. Por ejemplo, pueden
buscarse cuales son las aplicaciones de la vida cotidiana donde aparecen los mismos principios. Tam-
bién, como es el caso del ejemplo que en estas hojas se ha realizado, pueden buscarse las magnitudes
reales para comparar el resultado obtenido con el verdadero valor. En el ejemplo estudiado se ha
hallado un valor de la aceleración de la gravedad parecido al que se considera como real ( 9.8 m s−2).
Por supuesto, una reflexión sobre la evaluación de los errores es siempre un buen ejercicio. En el
ejemplo seguido, cabe mencionar que el error es relativamente grande. Se podr´ıa hacer un análisis
sobre como se podr´ıa realizar una medida con mayor precisión, ¿habr´ıa de tener una regla mejor o
un cronómetro mejor? Para responder a esta pregunta hay que ver cuales son las contribuciones al
error de cada una de estas magnitudes. En la ecuación 7 se puede ver que la contribución al error
total es principalmente debida al error en el tiempo. De modo que para conseguir una medida más
precisa de la aceleración de la gravedad habr´ıa que empezar por reducir el error en la determinación
del tiempo de ca´ıda. Y según la ecuación 4, el error de haber realizado varias medidas (el error tipo A)
as´ı como el error de la m´ınima precisión del cronómetro son muy similares. Por tanto, no sólo habr´ıa
que conseguir un cronómetro mejor, sino también que las medidas del tiempo, cuando se realiza la
medida varias veces, fuese más similar.
8

Tabla 4: Two tailed t-Student distribution. Conﬁdence vs degrees of freedom (df).
df 0.50 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998
1 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3137 12.706 15.895 31.821 63.656 127.32 318.29
2 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 4.8687 6.9645 9.9250 14.089 22.329
3 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 3.4819 4.5407 5.8608 7.4532 10.214
4 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7765 2.9985 3.7469 4.6041 5.5975 7.1729
5 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 2.7565 3.3649 4.0321 4.7733 5.8935
6 0.7176 0.9057 1.1342 1.4395 1.9432 2.4469 2.6122 3.1427 3.7074 4.3168 5.2075
7 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.5168 2.9979 3.4995 4.0294 4.7853
8 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.4490 2.8965 3.3554 3.8325 4.5008
9 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.3984 2.8214 3.2498 3.6896 4.2969
10 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.3593 2.7638 3.1693 3.5814 4.1437
11 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.3281 2.7181 3.1058 3.4966 4.0248
12 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.3027 2.6810 3.0545 3.4284 3.9296
13 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.2816 2.6503 3.0123 3.3725 3.8520
14 0.6924 0.8681 1.0763 1.3450 1.7613 2.1448 2.2638 2.6245 2.9768 3.3257 3.7874
15 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1315 2.2485 2.6025 2.9467 3.2860 3.7329
16 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.2354 2.5835 2.9208 3.2520 3.6861
17 0.6892 0.8633 1.0690 1.3334 1.7396 2.1098 2.2238 2.5669 2.8982 3.2224 3.6458
18 0.6884 0.8620 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.2137 2.5524 2.8784 3.1966 3.6105
19 0.6876 0.8610 1.0655 1.3277 1.7291 2.0930 2.2047 2.5395 2.8609 3.1737 3.5793
20 0.6870 0.8600 1.0640 1.3253 1.7247 2.0860 2.1967 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518
21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.1894 2.5176 2.8314 3.1352 3.5271
22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.1829 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050
23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3192 1.7139 2.0687 2.1770 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850
24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.1715 2.4922 2.7970 3.0905 3.4668
25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.1666 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502
26 0.6840 0.8557 1.0575 1.3150 1.7056 2.0555 2.1620 2.4786 2.7787 3.0669 3.4350
27 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.1578 2.4727 2.7707 3.0565 3.4210
28 0.6834 0.8546 1.0560 1.3125 1.7011 2.0484 2.1590 2.4671 2.7633 3.0470 3.4082
29 0.6830 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.1503 2.4620 2.7564 3.0380 3.3963
30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.1470 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852
31 0.6825 0.8534 1.0541 1.3095 1.6955 2.0395 2.1438 2.4528 2.7440 3.0221 3.3749
32 0.6822 0.8530 1.0535 1.3086 1.6939 2.0369 2.1409 2.4487 2.7385 3.0149 3.3653
33 0.6820 0.8526 1.0530 1.3077 1.6924 2.0345 2.1382 2.4448 2.7333 3.0082 3.3563
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39 0.6808 0.8509 1.0504 1.3036 1.6849 2.0227 2.1247 2.4258 2.7079 2.9756 3.3127
40 0.6807 0.8507 1.0500 1.3031 1.6839 2.0211 2.1229 2.4233 2.7045 2.9712 3.3069
50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.1087 2.4033 2.6778 2.9370 3.2614
60 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.0994 2.3901 2.6603 2.9146 3.2317
75 0.6778 0.8464 1.0436 1.2929 1.6654 1.9921 2.0901 2.3771 2.6430 2.8924 3.2024
100 0.6770 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.9840 2.0809 2.3642 2.6259 2.8707 3.1738
∞ 0.6745 0.8416 1.0364 1.2816 1.6449 1.9600 2.0537 2.3263 2.5758 2.8070 3.0902
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