Exposicion algoritmo de karatsuba
- 1. Algoritmo de karatsuba EDWIN OSUNA MAHECHA MARIA FERNANDA YISEL TRIGOS
- 2. Historia del Algoritmo karatsuba El procedimiento estándar para multiplicar dos números de n dígitos requiere un número de operaciones elementales proporcional a n2, o Θ(n2) en la Notación O grande. En 1952, Andrey Kolmogorov intentó probar que el algoritmo clásico era óptimo asintóticamente, queriendo demostrar así que cualquier algoritmo para esta tarea requeriría Ω(n2) operaciones elementales. En otoño de 1960, Kolmogorov organizó un seminario acerca de problemas matemáticos de cibernética en la Universidad Estatal de Moscú, donde planteó su suposición de Ω(n2) y otros problemas de complejidad computacional.
- 3. Historia del Algoritmo Karatsuba En una semana, Karatsuba, un estudiante de 25 años, encontró un algoritmo divide y vencerás que multiplicaba dos números de n dígitos en operaciones elementales, refutando así la suposición inicial de Kolmogorov. Kolmogorov se sintió muy desilusionado por tal descubrimiento, y lo hizo público en el que sería su siguiente y último encuentro del seminario. El método fue publicado en 1962, en la revista científica soviética Proceedings of the USSR Academy of Sciences. El artículo había sido escrito por Kolmogorov, posiblemente en colaboración con Yuri Ofman, pero nombraba a "A. Karatsuba y Yu. Ofman" como los autores. Karatsuba sólo se dio cuenta de la publicación cuando recibió una copia del artículo por parte de la editorial de la revista.
- 4. Algoritmo karatsuba El algoritmo de Karatsuba es un procedimiento para multiplicar números grandes eficientemente, que fue descubierto por Anatolii Alexeevitch Karatsuba en 1960 y publicado en 1962.El algoritmo consigue reducir la multiplicación de dos números de n dígitos a como máximo multiplicaciones de un dígito. Es, por lo tanto, más rápido que el algoritmo clásico, que requiere n2 productos de un dígito. Si n = 210 = 1024, en particular, el cómputo final exacto es 310 = 59.049 y (210)2 = 1.048.576, respectivamente.
- 5. Algoritmo karatsuba El paso básico El paso básico del algoritmo de Karatsuba es una fórmula que nos permite calcular el producto de dos números grandes x e y usando tres multiplicaciones de números más pequeños, cada uno con más o menos la mitad de los dígitos de x e y, más algunas sumas y desplazamientos de dígitos. Supongamos que x e y están representados como cadenas de n dígitos en alguna base B. Para cualquier entero positivo m menor que n, uno puede dividir los dos números dados de la manera siguiente: x = x1Bm + x0 y = y1Bm + y0 donde x0 e y0 son menores que Bm. El producto es, entonces: xy = (x1Bm + x0)(y1Bm + y0) = z2 B2m + z1 Bm + z0 donde z2 = x1y1z1 = x1y0 + x0y1z0 = x0y0
- 6. Algoritmo Karatsuba Estas fórmulas requieren cuatro multiplicaciones. Karatsuba observó que podemos calcular xy en sólo tres multiplicaciones, por el coste de unas sumas adicionales: Supongamos z2 = x1y1 Supongamos z0 = x0y0 Supongamos z1 = (x1 + x0)(y1 + y0) − z2 − z0 ya que z1 = (x1y1 + x1y0 + x0y1 + x0y0) - x1y1 - x0y0 = x1y0 + x0y1 Si y1 = 0, sólo hay que realizar dos multiplicaciones puesto que: z2 = 0 z0 = x0y0 z1 = x1y0
- 7. Ejemplo Digamos que queremos calcular el producto de 1234 con 5678. Elegimos la base 10 (B = 10) y m = 2. Entonces tenemos: 12 34 = 12 × 102 + 34 56 78 = 56 × 102 + 78 z2 = 12 × 56 = 672 z0 = 34 × 78 = 2652 z1 = (12 + 34)(56 + 78) − z2 − z0 = 46 × 134 − 672 − 2652 = 2840 resultado = z2 × 102×2 + z1 × 102 + z0 = 672 × 10000 + 2840 × 100 + 2652 = 7006652