Funciones 1
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1) El documento presenta información sobre funciones y las diferentes formas de expresar relaciones entre variables: tablas, gráficas y fórmulas. 2) Se define función como una relación donde a cada valor de una variable independiente le corresponde un único valor de una variable dependiente. 3) Se explican conceptos como variable independiente, variable dependiente, y se dan ejemplos de funciones lineales, afines, cuadráticas e inversamente proporcionales.
Funciones 1
- 1. Funtzioak 1 D.B.H MATEMATIKAK Taulek emandako erlazioak Iturri batek ur tantak botatzen ari den denbora eta edalontziaren ur nibelaren arteko erlazioa Erlazio hau ondorengo taulak adierazten du: Denbora aldagaiari aldagai independientea deritzaio , eta uraren nibelaren aldagaiari aldagai dependientea Bi aldagairen arteko erlazioa taula baten bidez adierazi daiteke. IMAGEN FINAL
- 2. Tema: 9 Funciones 2 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Relaciones dadas por gráficas En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le corresponde una determinada altitud. Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica: A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente , y a la variable altura en metros, variable dependiente . La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica. IMAGEN FINA Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud.
- 3. Tema: 9 Funciones 3 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Relaciones dadas por fórmulas Si se conoce el lado de un cuadrado se puede obtener su área. IMAGEN FINAL S = l 2 1 2 3 l Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente fórmula: S = l 2 . 1 4 9 A la variable lado l se le llama variable independiente , y a la variable área, variable dependiente . La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una fórmula. Si dos magnitudes son dependientes podemos expresar esta dependencia mediante: a) una tabla; b) una gráfica; c) una fórmula.
- 4. Tema: 9 Funciones 4 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Concepto de función IMAGEN FINAL Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformado . Variable independiente : la que se fija previamente. Variable dependiente : la que se deduce de la variable independiente. Todas las relaciones vistas anteriormente tienen una característica común: A cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. A cada minuto le corresponde un único nivel de agua del recipiente. A cada kilómetro le corresponde una única altitud. A cada lado del cuadrado le corresponde una única área. A las relaciones de este tipo las llamamos funciones.
- 5. Tema: 9 Funciones 5 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Concepto de función. Ejemplo IMAGEN FINAL Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformado . Variable independiente : la que se fija previamente. Variable dependiente : la que se deduce de la variable independiente. La fórmula f(x) = 3x 2 + 1 define una función. f(x) = 3x 2 + 1 Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5 , el valor que toma la variable dependiente es f(5) = 3 · 5 2 + 1 = 76 . (La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 5 2 + 1 es única.) Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13. x es la variable independiente f(x) es la variable dependiente
- 6. Tema: 9 Funciones 6 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Representación gráfica de funciones (I) La planta de María ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla: Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica. IMAGEN FINAL (2, 11) (6, 26) Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.
- 7. Tema: 9 Funciones 7 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Representación gráfica de funciones (II) Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1. Para representarla gráficamente: IMAGEN FINAL En este caso no se pueden unir los puntos ya que la función está definida únicamente para los números enteros. Es decir, f(x) = 2x + 1. 1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas (2, 5) O (–3, –5)
- 8. Tema: 9 Funciones 8 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Función lineal o de proporcionalidad directa Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos: IMAGEN FINAL 0,820 5,12 4,20 Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales. Si x es el peso en kg, e y el precio, la expresión que da el precio en euros es y = 5,12x . Calculamos valores, representamos y unimos los puntos. Las funciones se la forma y = mx se llaman funciones lineales . Son rectas que pasan por el origen. · m es la pendiente o inclinación de la recta. y = 5,12x Peso (kg) Euros Peso en kg Precio por kg en € Total en € 0,5 1 1,5 7 6 5 4 3 2 1
- 9. Tema: 9 Funciones 9 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Función lineal. Ejercicio Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x IMAGEN FINAL 5 – 1 y = –5x – 5 1 – 1 1 y = –x 2 – 2 1 1 y = x 3 3 0 0 y = 2x 4 2 x y x y x y x y
- 10. Tema: 9 Funciones 10 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Funciones afines Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: IMAGEN FINAL Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente la función: t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m) Temperatura (ºC) Profundidad (m) t = 0,01d + 15 Las funciones de la forma y = mx + n (n 0) se llaman funciones afines . Son rectas que no pasan por el origen. · m es la pendiente o inclinación de la recta. · n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen. 400 800 1200 18 12 6 O 24
- 11. Tema: 9 Funciones 11 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Funciones afines. Ejercicio Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4 IMAGEN FINAL – 3 0 y = x – 3 1 4 – 4 0 y = 2x – 4 2 3 1 0 y = x + 1 4 3 3 0 y = 2x + 3 – 3 – 3 x y x y x y x y
- 12. Tema: 9 Funciones 12 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Función de proporcionalidad inversa (I) Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números? Representamos los pares obtenidos y unimos los puntos: IMAGEN FINAL Formamos la tabla de valores: x · y = 24
- 13. Tema: 9 Funciones 13 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Función de proporcionalidad inversa (II) Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales. La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. IMAGEN FINAL x · y = k o bien Las funciones de la forma se llaman funciones de proporcionalidad inversa.
- 14. Tema: 9 Funciones 14 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Funciones cuadráticas (I) Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto valdrá su área? Representamos los pares obtenidos: Formamos la tabla de valores: (al área le llamamos y) 2x + 2h = 40 x h x + h = 20 A = xh = x(20 – x) A = 20x – x 2 Perímetro: Área: h = 20 – x IMAGEN FINAL Unimos los puntos y se obtiene la gráfica. 0 5 10 15 20
- 15. Tema: 9 Funciones 15 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Funciones cuadráticas (II) La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola. IMAGEN FINAL Las funciones y = 20x – x 2 , vista anteriormente, se llama función cuadrática . Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax 2 + bx + c con a 0. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba. Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo. y = x 2 y = x 2 – 4x y = –x 2 + 2 y = –x 2 y = –x 2 – 3 a > 0 a < 0
- 16. Tema: 9 Funciones 16 Números 2001 - Matemáticas 2º ESO Resolución de problemas IMAGEN FINAL PROBLEMA A(1, 2) es de la recta: si x = 1, y = 2 Resolviendo el sistema: Una función afín pasa por los puntos A(1, 2) y B(–2, 3). a) Halla la ecuación de la función. b) ¿Qué valor toma la función cuando x = 4? c) Representa la función. Buscar un modelo a) Es la función afín, y = mx + n , cuya gráfica es una recta. Como los puntos dados son de la recta, deben cumplir su ecuación, luego: Trabajar a partir del modelo b) Sustituimos en la función x = 4: c) Representado los puntos dados se obtiene la recta adjunta. 2 = m + n B(–2, 3) es de la recta: si x = –2, y = 3 3 = –2m + n (–2, 3) (1, 2) (4, 1) O