Grafos 8.8.1
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Este documento trata sobre el problema matemático del coloreado de grafos y su aplicación al coloreado de mapas. Explica que todo mapa puede representarse como un grafo dual, y que colorear el mapa es equivalente a colorear los vértices del grafo dual usando la menor cantidad de colores posible sin que vértices adyacentes tengan el mismo color. Además, introduce el Teorema de los Cuatro Colores, el cual establece que cualquier grafo plano puede colorearse con un máximo de cuatro colores. Finalmente, menciona que
Grafos 8.8.1
- 1. Coloreado de Grafos Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones Esteban Andrés Díaz Mina
- 2. Introducción Los problemas relacionados con colorear mapas de regiones, como los mapamundis, han generado muchos resultados de la teoría de grafos. Al colorear un mapa, se suele asignar colores distintos a las regiones que tienen una frontera común. Una forma de garantizar que dos regiones adyacentes no tengan nunca el mismo color es emplear un color distinto para cada región del mapa. Esto sin embargo, no es eficiente y en mapas con muchas regiones seria muy difícil distinguir colores parecidos.
- 3. Introducción Por el contrario, debería utilizarse un número pequeño de colores siempre que sea posible. Nos planteamos el problema de determinar el menor número de colores que se deben utilizar para colorear un mapa de modo que dos regiones adyacentes no tengan nunca el mismo color.
- 4. Introducción Todo mapa en el plano se puede representar por medio de un grafo. Para establecer esta correspondencia, cada región del mapa se representa mediante un vértice. Una arista conecta dos vértices si las regiones representadas por dichos vértices tienen frontera en común. Dos regiones que se tocan en un solo punto no se consideran adyacentes. Al grafo resultante se le llama grafo dual del mapa. Por la forma en que se construyen los grafos duales, está claro que todo mapa en el plano tiene un grafo dual plano.
- 5. Coloreado de Regiones El problema de colorear las regiones de un mapa es equivalente al de colorear los vértices del grafo dual, de tal manera que ningún par de vértices adyacentes en el grafo tenga el mismo color. Definición 1. El coloreado de un grafo simple consiste en asignarle un color a cada vértice del grafo de manera que a cada par de vértices adyacentes se le asigna colores distintos.
- 6. Número Cromático Un grafo se puede colorear asignándole un color distinto a cada vértice. Sin embargo, para la mayor parte de los grafos, se puede encontrar un coloreado que utiliza menos colores que el número de vértices del grafo. ¿Cuál es el número mínimo de colores que se requiere? Definición 2. El número cromático de un grafo es el número mínimo de colores que se requieren para el coloreado del grafo.
- 7. El Teorema de los cuatro Colores El número cromático de un grafo plano es menor o igual a cuatro.
- 8. Ejemplo Teorema de los Cuatro Colores
- 9. Kn requiere n Colores
- 10. K3,3 Requiere 2 Colores
- 11. Número de Colores requeridos por Cn
- 12. Aplicaciones del coloreo de grafos El coloreado de grafos tiene una gran variedad de aplicaciones en problemas relacionados con planificación y asignación. Programación de exámenes finales ¿Cómo se pueden programar los exámenes finales de una Universidad de modo que ningún estudiante tenga dos exámenes el mismo tiempo?
- 13. Aplicaciones del coloreado de grafos Este problema de planificación se puede resolver utilizando un modelo con grafos en el que los vértices representan las asignaturas y existe una arista entre dos vértices si hay un estudiante matriculado en las asignaturas representadas por dichos vértices. Cada segmento horario reservado para un examen final se representa mediante un color diferente. Una programación de los exámenes corresponde a un coloreo del grafo asociado.
- 14. Aplicaciones del coloreo de grafos Por ejemplo supongamos que se quieren programar siete exámenes finales. Supongamos que las asignaturas se enumeran del 1 al 7 y que las siguientes parejas de asignaturas tienen alumnos en común: 1-2 1-3 1-4 1-7 2-3 2-4 2-5 2-7 3-4 3-6 3-7 4-5 4-6 5-6 5-7 6-7
- 15. Aplicaciones del coloreo de grafos Una programación consiste de un coloreado del grafo.
- 16. Aplicaciones del coloreo de grafos Como el número cromático de este grafo es cuatro, se necesitan cuatro segmentos horarios para la programación de los exámenes finales. Segmento Horario Asignatura I 1, 5 II 3 III 2, 6 IV 4, 7
- 17. Finalizamos Coloreado de Grafos Hasta pronto