Impedancias Analisis de circuitos

Impedancias
configuración en Serie
Clase 7
17-Marzo-2015

Impedancia y Admitancia
 De una manera mas amplia, desde las cantidades complejas, tenemos
que la oposición que presenta un elemento al paso de la corriente debido
a una función de excitación senoidal, se le conoce con el nombre de
impedancia y se simboliza. Por la letra 𝒁.
 Dicho de otra forma, cuando se tienen funciones de excitación y
respuestas forzadas complejas, a la constante de proporcionalidad entre
el voltaje y la corriente complejos en un elemento de circuito se le conoce
como impedancia del elemento, y es una función de la frecuencia de la
señal en consideración.

 La impedancia, entonces se expresa de la siguiente manera:
 La componente real de la expresión anterior corresponde a una
resistencia, y la parte imaginaria esta dada por una reactancia. Ambas se
expresan en ohms Ω , por lo tanto la impedancia también se expresa en
ohms. Así, entonces, 𝑅 = 𝑅 𝑒 𝒁 ; 𝑋 = 𝐼𝑚 𝒁
 De lo anterior resulta que existe una impedancia en un resistor, así como un
inductor o un capacitor, cuando son alimentados por una función de
excitación compleja; ya que de alguna manera estos elementos se
oponen al paso de la corriente eléctrica a través de ellos.
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 Ω

 La impedancia que posee una resistencia es 𝑍 𝑅 = 𝑅 + 𝑗0 𝑜ℎ𝑚𝑠. Esto indica
que en una resistencia su impedancia tiene solo una parte real
𝑅 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 Ω) y no cuenta con una reactancia, que seria su parte
imaginaria.
 En una inductancia la impedancia inductiva es 𝑍 𝐿 = 0 + 𝑗𝑋 𝐿; en la que se
ve que la parte real o resistencia es cero, y su parte imaginaria,
denominada reactancia inductiva, medida en ohms esta dada por:
𝑿 𝑳 = 𝜔𝐿 Ω

 Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y L es la
inductancia del inductor (en henrys). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 𝑍 𝐿 = 0 + 𝑗𝜔𝐿 ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y 𝜔𝐿 para la parte imaginaria.
 La impedancia capacitiva esta dada por 𝑍 𝐶 = 0 − 𝑗𝑋 𝐶. Al igual que en la
impedancia inductiva, esta no tiene parte real, y su parte imaginaria,
llamada reactancia capacitiva, también medida en ohms, se expresa
como
𝑿 𝑪 =
1
𝜔𝐶
Ω

 Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y 𝐶 es la
capacitancia del capacitor (en farads). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 𝑍 𝐿 = 0 +
1
𝑗𝜔𝐶
ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y
1
𝜔𝐶
para la parte imaginaria.
 Dado que la impedancia es una cantidad compleja, se puede definir
como una relación de voltaje fasorial a la corriente fasorial en un
elemento, o sea que:
𝑍(Ω) =
𝑉(𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)
𝐼(𝐴𝑚𝑝)

 Pero esto no significa que la impedancia sea un fasor, aun cuando se
pueda representar como tal. De lo anterior se deriva que un inductor se
representa en el dominio del tiempo por su inductancia 𝐿, o bien en el
dominio de la frecuencia por su impedancia
𝑍 𝐿 = 𝑗𝜔𝐿

 De la misma manera que un capacitor puede representarse en el dominio
del tiempo por su capacitancia 𝐶 o en el dominio de la frecuencia por su
impedancia
 En resumen, la impedancia es un concepto que forma parte del dominio
de la frecuencia y no del dominio del tiempo.
𝑍 𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶

 Así entonces, cuando una señal en estado senoidal permanente actúa
sobre algún inductor (o un capacitor), la oposición que este presente al
paso de la corriente será dependiente tanto de su inductancia ( o
capacitancia) como de la frecuencia de la señal en consideración.
 Que en el caso de la resistencia, la oposición al paso de la corriente es
independiente de la frecuencia y solo depende del valor óhmico (𝑅) del
elemento mismo.

Diagrama de Impedancia
 Ahora que un ángulo se encuentra asociado con la Resistencia, la
reactancia inductiva y la reactancia capacitiva, cada uno podrá
colocarse en el diagrama en el plano complejo, como se muestra en la
siguiente figura 0

Diagrama de Impedancia
 El resultado será un diagrama de impedancia que puede reflejar los niveles
de impedancia individuales y totales de una red de ca.
 Si la impedancia total tiene un ángulo de 0 𝑜
, se dice que es de naturaleza
resistiva. Si se encuentra más cercana a 900
, será de naturaleza inductiva y
si esta cercana a −90 𝑜
, tendrá una naturaleza capacitiva.

Configuración en Serie
 Las propiedades generales de los circuitos de ca en
serie (figura 1) son las mismas que para los circuitos de
cd. Por ejemplo, la impedancia total de un sistema es la
suma de las impedancias individuales:
𝑍 𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 + ⋯ + 𝑍 𝑁

𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒

 Para la configuración un circuito de ca en serie
representativa, que aparece en la figura anterior, tiene
dos impedancias, la corriente es la misma a través de
cada elemento (como lo fue en el caso de los circuitos
de cd en serie) y esta determinada por la ley de Ohm:
𝑍 𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2
𝐼 =
𝐸
𝑍 𝑇

 El voltaje en cada elemento se puede encontrar mediante otra aplicación
de la ley de ohm:
 La ley de voltaje de Kirchhoff puede aplicarse entonces en la misma forma
que se utilizo para circuitos de cd. Sin embargo, tenga presente que ahora
estamos tratando con la manipulación algebraica de cantidades que
tienen tanto magnitud como dirección.
𝑉1 = 𝐼𝑍1 𝑉2 = 𝐼𝑍2

 O bien
 La potencia al circuito se puede determinar mediante:
 Donde 𝜃 𝑇 es el ángulo de fase entre E e I
𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0
𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2
𝑃 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇

Ejemplo 1
 Trace el diagrama de impedancia para el circuito de la
figura 2 y encuentre la impedancia total.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2

Solución
 Como se indica la figura 3, la impedancia de entrada
puede encontrarse de forma grafica a partir del
diagrama de impedancia mediante la escala
adecuada de los ejes real e imaginario y encontrado la
longitud del vector resultante 𝑍 𝑇 y el ángulo 𝜃 𝑇 . O
mediante el algebra de vectores, se obtiene:
1 2
0
0 90
4 8
8.944 63.43
T
o
L
L
o
T
Z Z Z
R X
R jX j
Z
 
   
     
 

Ejemplo 2
 Determine la impedancia de entrada para la red en
serie de la figura 4. Trace el diagrama de impedancia.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4

Solución
   
1 2 3
0
0 90 90
6 10 12 6 2
6.325 18.43
T
o o
L C
L C
L C
o
T
Z Z Z Z
R X X
R jX jX
R j X X j j
Z
  
      
  
            
  

Solución
El diagrama de impedancia aparece en la figura 5. Observe que en este
ejemplo, las reactancias inductivas y capacitivas en serie están en oposición
directa. Para el circuito de la figura 6 si la reactancia inductiva fuera igual a la
reactancia capacitiva, la impedancia de entrada seria puramente resistiva.

Circuitos de CA en SERIE
Ahora que se ha presentado el método general, se analizará con todo detalle
la más simple de las configuraciones para enfatizar las similitudes con el
análisis de circuitos de cd. En muchos de los circuitos que serán considerados,
a menudo utilizaran 3 + 𝑗4 = 5∠53.13 𝑜 𝑦 4 + 𝑗3 = 5∠36.87 𝑜 para asegurar que el
enfoque es lo mas claro posible y que no se pierda en complejidades
matemáticas.

R-L
Notación fasorial
𝑒 = 141.4𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ⟹ 𝐸 = 100𝑉∠0 𝑜
Como se denota en el siguiente circuito equivalente

R-L
𝑍 𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 3Ω∠0 𝑜 + 4Ω∠90 𝑜 = 3Ω + 𝑗4Ω
𝑍 𝑇 = 5Ω∠53.13 𝑜
Diagrama de impedancia: Véase la siguiente figura

R-L
𝐼 =
𝐸
𝑍 𝑇
=
100𝑉∠0 𝑜
5Ω∠53.13 𝑜 = 20𝐴∠ − 53.13 𝑜
𝑉𝑅 𝑦 𝑉𝐿
Ley de Ohm:
𝑉𝑅 = 𝐼𝑍 𝑅 = 20𝐴∠ − 53.13 𝑜 3Ω∠0 𝑜
= 60𝑉∠ − 53.13 𝑜
𝑉𝐿 = 𝐼𝑍 𝐿 = 20𝐴∠ − 53.13 𝑜
4Ω∠90 𝑜
= 60𝑉∠36.87 𝑜

R-L
Ley de voltaje de Kirchhoff:
↷
𝑉 = 𝐸 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐿 = 0
O bien
𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿
En forma rectangular
𝑉𝑅 = 60𝑉∠ − 53.13 𝑜
= 36𝑉 − 𝑗48𝑉
𝑉𝐿 = 80𝑉∠ + 36.87 𝑜
= 64𝑉 − 𝑗48𝑉

R-L
Y
𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 = 36𝑉 − 𝑗48𝑉 + 64𝑉 + 𝑗48𝑉 = 100𝑉 + 𝑗0
= 100𝑉∠0 𝑜
Diagrama fasorial: Observe que para el diagrama fasorial de la figura
siguiente 𝐼 está en fase con el voltaje del resistor y se encuentra
atrasada con respecto al voltaje en el inductor por 𝟗𝟎 𝒐

R-L
Potencia: La potencia total en watts entregada por el circuito es:
𝑃 𝑇 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇 = 100𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠53.13 𝑜
= 2000𝑊 0.6
= 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑾
Donde 𝐸 e I son valores efectivos y 𝜃 𝑇 es el ángulo de fase entre 𝐸 𝑒 𝐼, 𝑜:
𝑃 𝑇 = 𝐼2 𝑅 = 20𝐴 2 3Ω = 400 3 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾
Donde 𝐼 es el valor efectivo, o por ultimo
𝑃 𝑇 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝐿 = 𝑉𝑅 𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅 + 𝑉𝐿 𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿
= 60𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠0 𝑜
+ 80𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠90 𝑜
= 1200𝑊 + 0
= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾

R-L
Donde 𝜽 𝑹 es el ángulo de fase entre 𝑽 𝑹 𝒆 𝑰, 𝒚 𝜽 𝑳 es el ángulo de fase entre
𝑽 𝑳 𝒆 𝑰.
Factor de Potencia. El factor de potencia 𝑭 𝒑 del circuito es 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟑. 𝟏𝟑 𝒐 =
𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐, donde 𝟓𝟑. 𝟏𝟑 𝒐
es el ángulo de fase entre 𝑬 e 𝑰
Si escribimos la ecuación de potencia básica 𝑷 = 𝑬𝑰𝒄𝒐𝒔𝜽 de la siguiente
forma:
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑷
𝑬𝑰
Donde 𝑬 𝒆 𝑰 son las cantidades de entrada y 𝑷 es la potencia entregada a la
red, y luego realizamos las siguientes situaciones a partir del circuito básico de
ca en serie:

R-L
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑷
𝑬𝑰
=
𝑰 𝟐 𝑹
𝑬𝑰
=
𝑰𝑹
𝑬
=
𝑹
𝑬/𝑰
=
𝑹
𝒁 𝑻
Encontramos que
𝑭 𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑻 =
𝑹
𝒁 𝑻
Para el presente caso tenemos que:
𝑭 𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑻 =
𝑹
𝒁 𝑻
=
𝟑𝛀
𝟓𝛀
= 𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐
Como se encontró antes

Regla del Divisor de Voltaje
 En circuitos de CA, el formato básico para la regla de divisor de
voltaje es exactamente el mismo que para circuitos de cd
 𝑉𝑋 =
𝑍 𝑋 𝐸
𝑍 𝑇
 Donde 𝑉𝑋 es el voltaje en uno o mas elementos en serie que tienen
impedancia total de 𝑍 𝑋, 𝐸 es el voltaje total que se presenta en el
circuito en serie, y 𝑍 𝑇 es la impedancia total del circuito en serie.

Problema
 Utilizando la regla del divisor de voltaje, encuentre el voltaje en
cada elemento del circuito mostrado en la siguiente figura

Solución
𝑉𝐶 =
𝑍 𝐶 𝐸
𝑍 𝐶 + 𝑍 𝑅
=
4Ω∠ − 90 𝑜 100𝑉∠00
4Ω∠ − 90 𝑜 + 3Ω∠00 =
400∠ −90 𝑜
3 − 4𝑗
𝑉𝐶 =
400∠ −90 𝑜
5∠ − 53.13 𝑜
= 80𝑉∠ − 36.87 𝑜
𝑉𝐶 =
𝑍 𝑅 𝐸
𝑍 𝐶 + 𝑍 𝑅
=
3Ω∠0 𝑜 100𝑉∠00
5Ω∠ − 53.130 =
300∠0 𝑜
5Ω∠ − 53.130
𝑉𝐶 =
300∠0 𝑜
5Ω∠ − 53.130
= 60𝑉∠ + 53.13 𝑜

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