INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 01
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Este video tutorial muestra cómo resolver una integral doble en una región determinada cambiando las variables a coordenadas polares. Se calcula la integral de la función f(x,y)=cos(x2+y2) sobre la bola unitaria mediante el cambio a coordenadas polares, obteniendo como resultado final πsen(1).
INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Calcular una integral doble en un recinto determinado. - Realizar un cambio de variable a coordenadas polares.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables ENUNCIADO: Se considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = cos(𝑥2 + 𝑦2) y el conjunto 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1} Calcular 𝐴 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦)
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables En primer lugar observamos que el conjunto en el cual tenemos que realizar la integral es la bola de centro el origen de coordenadas y radio 1. Para realizar esta integral realizaremos un cambio de coordenadas, vamos a utilizar las coordenadas polares. Recordamos el teorema que nos permite cambiar de coordenadas: Teorema: Sea A un conjunto de ℝ 𝑛 . Una función 𝜑: B → ℝ 𝑛 se llama un cambio de coordenadas en A si verifica: • 𝜑 tiene derivadas parciales continuas en el interior de B • 𝜑 es inyectiva en B • 𝜑 𝐵 = 𝐴 • La matriz Jacobiana de 𝜑, tiene determinante no nulo en cualquier punto de B. ( 𝐽 𝜑(𝑥) ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐵) La matriz Jacobiana es la que se obtiene de las derivadas parciales de 𝜑. Es decir si 𝜑 = 𝜑(𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦(𝑢, 𝑣)), entonces 𝐽 𝜑(𝑢, 𝑣) = 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables En este caso se tiene 𝐴 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝐵 𝑓 ⃘ 𝜑 𝑢, 𝑣 𝐽 𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑(𝑢, 𝑣) El cambio a coordenadas polares, es el cambio que asocia a cada punto P(x,y) del plano, el valor 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 Donde 𝜌 representa la distancia del punto P al origen de coordenadas, por tanto 𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 > 0, y 𝜃 es el ángulo medido en radianes, que forma la semirrecta OP con el semieje positivo de la X, es decir 𝜃 ∈ 0,2𝜋 . Por tanto el jacobiano de este cambio viene dado por: 𝐽 𝜑 𝜌, 𝜃 = 𝜕𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables Su determinante viene dado por: 𝐽 𝜑 𝜌, 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜌𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝜌 > 0 Por lo tanto tenemos que el determinante del jacobiano es positivo. A continuación vamos a realizar la integral del enunciado. El conjunto de definición es: 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1} Si hacemos el cambio a coordenadas polares 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 , tenemos que 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝜌2 ≤ 1 0 < 𝜌 ≤ 1
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables Como no tenemos ninguna condición sobre el ángulo 𝜃, entonces 𝜃 ∈ [∈ 0,2𝜋) Por tanto la integral nos queda: 𝐴 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 2𝜋 0 1 cos 𝜌2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝐽 𝜑(𝜌, 𝜃) 𝑑𝜌𝑑𝜃 = 0 2𝜋 0 1 cos 𝜌2 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 A continuación realizamos la integral. 0 2𝜋 0 1 cos 𝜌2 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 = 0 2𝜋 1 2 𝑠𝑒𝑛(𝜌2 ) 1 0 𝑑𝜃 = 0 2𝜋 1 2 𝑠𝑒𝑛 1 − 1 2 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑑𝜃 = 0 2𝜋 1 2 𝑠𝑒𝑛 1 𝑑𝜃 = 1 2 𝑠𝑒𝑛(1)𝜃 2𝜋 0 = 2𝜋 1 2 𝑠𝑒𝑛 1 = 𝜋𝑠𝑒𝑛(1) Así 𝐴 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝜋𝑠𝑒𝑛(1)