NEWTON RAPHSON 01
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Este video tutorial enseña cómo encontrar puntos críticos de una función usando el método de Newton-Raphson. Explica cómo aplicar el método para encontrar una aproximación de cuatro cifras decimales de la raíz de la ecuación cosx - xsenx = 0, partiendo del valor inicial x0 = 1 y realizando tres iteraciones. El resultado obtenido es una aproximación de 0.86033377 para el punto crítico de la función f(x) = xcosx.
NEWTON RAPHSON 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton-Raphson ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Hallar los puntos críticos de una función. • Aplicar el método de Newton-Raphson para resolver una ecuación.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson ENUNCIADO Hallar un punto crítico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 aplicando el método de Newton Raphson partiendo del valor inicial 𝑥0 = 1 y obteniendo cuatro cifras decimales exactas.
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson En primer lugar calculamos la derivada de la función 𝑓´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 A continuación para hallar los puntos críticos debemos igualar a cero la expresión anterior. Es decir debemos hallar una solución de la ecuación: 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 Antes de aplicar ningún método numérico debemos asegurarnos que la ecuación tiene solución, para ello hacemos uso del Teorema de Bolzano Buscaremos dos valores a y b de tal forma que 𝑓´(𝑥) tenga distinto signo en ellos. Para no equivocarnos con la notación, denotaremos por 𝑔 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson 𝑔 0 = 1 > 0 𝑔 1 = 𝑐𝑜𝑠1 − 𝑠𝑒𝑛1 < 0 − 0.3 < 0 ∃𝑐 ∈ 0,1 ; 𝑔 𝑐 = 0 En consecuencia tenemos que hay una solución a la ecuación g 𝑥 = 0 en el intervalo (0,1) Aplicamos por lo tanto el método de Newton Raphson a la función g 𝑥 partiendo del valor inicial 𝑥0 = 1. Si no recuerdas el método de Newton Raphson puedes recordarlo pulsando en el enlace de la derecha Recordamos que el método nos da la sucesión de aproximaciones a la raíz definida como sigue: 𝑥0 (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛−1 − 𝑔 𝑥 𝑛−1 𝑔´ 𝑥 𝑛−1 ∀𝑛 ≥ 1 Tª Bolzano
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson Antes de calcular las iteraciones del método, necesitamos saber la expresión de 𝑔´(𝑥) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑔´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 A continuación realizamos las iteraciones del método. 𝑥0 = 1 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑔 𝑥0 𝑔´ 𝑥0 = 1 − −0.301168678 −2.223244275 = 0.864536397 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑔 𝑥1 𝑔´ 𝑥1 = 0.864536397 − −0.008741618 −2.067521873 = 0.86030833 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑔 𝑥2 𝑔´ 𝑥2 = 0.860308315 − 0.0000524680 −2.0623988 =0.86033377
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson Observemos que en las dos últimas aproximaciones coinciden 4 decimales, por lo que la última aproximación nos da el resultado con 4 dígitos exactos. Por lo tanto una aproximación con 4 decimales exactos del punto crítico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 es 0.86033377 Si resolvemos la ecuación con un programa informático nos da la aproximación: 0.860333589019380 … Lo que nos indica que la aproximación que hemos obtenido aplicando el método de Newton Raphson con 3 iteraciones nos da 6 decimales exactos. FIN