OPTIMIZACIÓN 06
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El vídeo tutorial explica cómo resolver un problema de optimización para construir una caja con volumen de 16 metros cúbicos, minimizando el coste de materiales. Se determina la función de coste y se analizan sus extremos relativos, encontrando que la caja óptima tiene una base cuadrada de 3/4 metros y una altura de 4/3 metros. El coste total de la caja es de aproximadamente 45,55 euros.
OPTIMIZACIÓN 06
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Obtener la ecuación que liga las incógnitas en un problema de optimización. - Calcular la función que debemos de optimizar. - Estudiar los extremos relativos de la función. - A partir de los extremos relativos de la función, determinar el valor óptimo que resuelve el problema.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización ENUNCIADO: Se desea construir una caja con base cuadrada y cuyo volumen 16 sea metros cúbicos. El fondo de la caja y la tapadera de la misma cuestan a 4 euros el metro cuadrado y las restantes caras cuestan a 1 euro el metro cuadrado. Determina las dimensiones de la caja si queremos tener un coste mínimo
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Vamos en primer lugar a realizar una gráfica que nos aclare un poco la situación del problema: x x y Denotaremos por x, a la longitud de los lados de la base ya que en el enunciado se nos indica que tiene la base cuadrada. Denotaremos por y, a la altura de la caja. De esta forma tenemos que el volumen de la caja vendrá dado por: 𝑉 = 𝑥2 𝑦 = 16
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización A continuación nos indican que el coste de la caja debe ser mínimo, por lo tanto debemos buscar la función que nos da el coste de la caja. La base y la tapadera cuestan 4 euros el metro cuadrado. El área de cada uno de los cuadrados que forman la base y la tapadera es 𝑥2, por tanto su coste será 2(4𝑥2) = 8𝑥2. Por otro lado los demás laterales cuestan a 1 euro metro cuadrado. Como se forman 4 rectángulos de lados x e y su coste será 4(𝑥𝑦) Por tanto el coste de la caja viene determinado por: 8𝑥2 + 4𝑥𝑦 Esta es la expresión que debemos minimizar. Recordemos que las variables x e y están sujetas a la condición 𝑥2 𝑦 = 16.
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Si despejamos la variable y de ésta expresión tenemos: 𝑦 = 16 𝑥2 Sustituimos este valor en la expresión a minimizar y la denotamos por f(x). 𝑓 𝑥 = 8𝑥2 + 4𝑥 16 𝑥2 = 8𝑥2 + 64 𝑥 El dominio de esta función es ℝ − {0}, pero observamos que realmente las soluciones del problema deben ser números positivos, ya que representan las medidas de los lados de una caja, por tanto nos centraremos en los números reales positivos. Derivamos la expresión anterior 𝑓´ 𝑥 = 16𝑥 − 64 𝑥2
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización A continuación igualamos a cero para obtener los puntos críticos. 16𝑥 − 64 𝑥2 = 0 16𝑥3 − 64 = 0 De donde resolviendo obtenemos: 𝑥3 = 64 16 𝑥 = 3 4 Por tanto tenemos un punto crítico. A continuación estudiamos si se trata de un máximo o un mínimo relativo, para ello estudio los signos de la función derivada. 0 3 4 Signo f´(x) 𝑓´ 4 = 28 > 0𝑓´ 1 = −56 < 0 - +
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Por lo tanto tenemos que: • 𝑓 es monótona decreciente en 0, 3 4 • 𝑓 es monótona creciente en 3 4, +∞ • 𝑓 tiene un mínimo relativo en x= 3 4, y vale 3 4, 𝑓( 3 4) = 3 4, 16 3 2 + 16 3 4 ≈ 3 4, 45´55 Por lo tanto la caja de base cuadrada que tiene un coste mínimo con un volumen de 16 metros cúbicos tiene la base cuadrada de 3 4 metros de lado y de altura 𝑦 = 16 3 4 2 = 16 2 3 2 = 16 3 4 4 = 4 3 4 metros. El coste de esta caja será de 45´55 euros. 3 4 m3 4 m 4 3 4 m El coste será 45´55 euros