MATRICES 06
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Este video tutorial resuelve dos problemas relacionados con matrices. En el primer problema, se determinan las matrices M y N que satisfacen dos ecuaciones matriciales dadas. En el segundo problema, se calcula el determinante de una matriz M cuyas columnas están relacionadas con las de otra matriz G dada.
MATRICES 06
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Resolver un sistema de ecuaciones matricial. • Calcular un determinante utilizando las propiedades de los determinantes.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices ENUNCIADO Considera las matrices siguientes: 𝐴 = 1 −4 −2 −1 𝐵 = 1 2 −1 0 𝐷 = 4 2 −2 −3 Se pide: a) Determina las matrices M y N tales que 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐷 𝐴𝑀 = 𝑁 b) Se considera una matriz G de orden 3 cuyas columnas se representan por 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 y su determinante vale 2. Considere ahora la matriz M cuyas columnas son 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 Calcula el determinante de M.
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices a) Determina las matrices M y N tales que 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐷 𝐴𝑀 = 𝑁 Si sustituimos el valor de AM en la primera ecuación tenemos: 𝑁 + 𝐵𝑁 = 𝐷 De donde sacando factor común por la derecha N, se llega a: 𝐼 + 𝐵 𝑁 = 𝐷 Si existe la inversa de la matriz 𝐼 + 𝐵 se tiene que 𝑁 = 𝐼 + 𝐵 −1 𝐷 Ten cuidado en la forma en que sacas factor común, ya que el producto de matrices no es conmutativo. Ten cuidado al despejar la matriz N, si (B-I) multiplica a N por la izquierda la inversa también debe estar multiplicando por la izquierda
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices Calculamos 𝐵 − 𝐼 −1 𝐼 + 𝐵 = 1 0 0 1 + 1 2 −1 0 = 2 2 −1 1 Calculamos a continuación su inversa, para ello recordamos que una matriz tiene inversa si su determinante es no nulo, y en tal caso su inversa viene determinada por: (𝐼 + 𝐵)−1 = 1 𝐼 + 𝐵 𝐴𝑑𝑗(𝐼 + 𝐵) 𝑡 𝐼 + 𝐵 = 2 2 −1 1 = 4 ≠ 0 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐼 + 𝐵
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices Calculamos la matriz adjunta: 𝐴𝑑𝑗 𝐼 + 𝐵 = 1 1 −2 2 Y en consecuencia: (𝐼 + 𝐵)−1= 1 𝐼 + 𝐵 𝐴𝑑𝑗(𝐼 + 𝐵) 𝑡 = 1 4 1 1 −2 2 𝑡 = 1 4 1 −2 1 2 Por lo tanto tenemos que: 𝑁 = 𝐼 + 𝐵 −1 𝐷 = 1 4 1 −2 1 2 4 2 −2 −3 = 1 4 8 8 0 −4 = 2 2 0 −1
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices En consecuencia podemos calcular la matriz M, para ello basta con considerar: 𝐴𝑀 = 𝑁 Por lo tanto 𝑀 = 𝐴−1 𝑁 Calculamos el determinante de A para estudiar si tiene inversa: 𝐴 = 1 −4 −2 −1 = −9 ≠ 0 Por tanto existe la inversa de A y viene dada por: 𝐴−1 = 1 𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 = 1 −9 −1 2 4 1 𝑡 = 1 9 1 −4 −2 −1
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices Por lo tanto tenemos que: 𝑀 = 𝐴−1 𝑁 = 1 9 1 −4 −2 −1 2 2 0 −1 = 1 9 2 6 −4 −3 Así tenemos que la solución viene dada por: 𝑀 = 1 9 2 6 −4 −3 𝑁 = 2 2 0 −1
- 8. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices b) Se considera una matriz G de orden 3 cuyas columnas se representan por 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 y su determinante vale 2. Considere ahora la matriz M cuyas columnas son 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 Calcula el determinante de M. Para resolver este apartado vamos a utilizar las propiedades de los determinantes. La matriz G viene representada por 𝐺 = 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 , donde 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 representan las columnas de G. Según lo indicado en el enunciado el determinante de G vale 2, por lo tanto: 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 = 2 Construimos la matriz M, definida como se indica en el enunciado, esto es: 𝑀 = 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1
- 9. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices Calculamos a continuación el determinante de M. 𝑀 = 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 = 𝐶3, 𝐶3, 3𝐶1 + 𝐶3, 𝐶2, 3𝐶1 = = 𝐶3, 𝐶2, 3𝐶1 = 3 𝐶3, 𝐶2, 𝐶1 = −3 𝐶2, 𝐶3, 𝐶1 = 3 𝐶2, 𝐶1, 𝐶3 = −3 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 = −3 𝐺 = −3 2 = −6 Donde hemos utilizado que al permutar dos columnas se cambia el signo del determinante. De esta forma tenemos que: 𝐺 = −6 FIN Este determinante es cero porque tiene dos columnas iguales 0