DESCOMPOSICIÓN LU 01
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Este video tutorial explica el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo cómo realizar la descomposición LU de una matriz, utilizarla para resolver sistemas, y las variantes de Doolittle y Crout. Luego, resuelve un problema paso a paso aplicando la descomposición LU de Doolittle a una matriz dada y usando la descomposición para encontrar la solución de un sistema relacionado.
DESCOMPOSICIÓN LU 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - La utilidad de la descomposición LU para resolver un sistema de ecuaciones. - Las distintas modalidades que existen del método de descomposición LU - Realizar la descomposición LU de una matriz. - Utilizar la descomposición LU para resolver un sistema de ecuaciones.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU ENUNCIADO: a) Realiza la descomposición LU en su variante Doolittle de la matriz 𝐴 = 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 b) Utiliza la descomposición LU del apartado anterior para resolver el sistema de ecuaciones: 𝐴𝑥 = 𝑏 Siendo 𝑏 = 1 18 35
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU En primer lugar vamos a dar un pequeño resumen sobre el método de descomposición LU. Dado el sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏, donde A es una matriz cuadrada, x, una matriz de incógnitas, y b una matriz columna. Si expresamos 𝐴 = 𝐿𝑈 donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior, el sistema se resolvería de forma muy fácil porque bastaría con hacer: 𝐿𝑈𝑥 = 𝑏 𝐿𝑦 = 𝑏 𝑈𝑥 = 𝑦 Tenemos por tanto que buscar una matriz L triangular inferior y una matriz U triangular superior, es decir de la forma: 𝐿 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 𝑦 𝑈 = 𝑢11 𝑢12 𝑢13 0 𝑢22 𝑢23 0 0 𝑢33
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU Existen dos variantes del método de descomposición LU. • Variante Doolittle: L tiene la diagonal de 1. • Variante Crout: U tiene la diagonal de 1. Resolvemos a continuación el ejercicio: En nuestro caso, nos piden que realicemos la descomposición LU de la matriz A en su variante Doolittle, por tanto la diagonal de L está compuesta por 1. Tenemos que buscar L y U de forma que A=LU 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 1 0 0 𝑙21 1 0 𝑙31 𝑙32 1 𝑢11 𝑢12 𝑢13 0 𝑢22 𝑢23 0 0 𝑢33
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU Multiplicamos las matrices de la derecha y obtenemos: 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 𝑢11 𝑢12 𝑢13 𝑙21 𝑢11 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23 𝑙31 𝑢11 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33 Así igualando término a término de las matrices obtenemos: Igualando la primera fila tenemos: 𝑢11 = 4 𝑢12 = −2 𝑢13 = 1
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 𝑢11 𝑢12 𝑢13 𝑙21 𝑢11 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23 𝑙31 𝑢11 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33 𝑢11 = 4 𝑢12 = −2 𝑢13 = 1 Igualando la segunda fila tenemos: 𝑙21 𝑢11 = 20 4𝑙21 = 20 𝑙21 = 5 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22 5 −2 + 𝑢22 = −7 𝑢22 = 3 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23 = 12 5 1 + 𝑢23 = 12 𝑢23 = 7 A continuación igualamos la tercera fila
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 𝑢11 𝑢12 𝑢13 𝑙21 𝑢11 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23 𝑙31 𝑢11 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33 𝑢11 = 4 𝑢12 = −2 𝑢13 = 1 𝑙21 = 5 𝑢22 = 3 𝑢23 = 7 A continuación igualamos la tercera fila 𝑙31 𝑢11 = −8 4𝑙31 = −8 𝑙31 = −2 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22 = 13 −2 −2 + 3𝑙32 = 13 𝑙32 = 3 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33 = 17 −2 1 + 3 7 + 𝑢33 = 17 𝑢33 = −2
- 8. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU De esta forma tenemos que: 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 1 0 0 5 1 0 −2 3 1 4 −2 1 0 3 7 0 0 −2 Si queremos realizar la descomposición LU de forma matricial también podemos realizarla, para ello tenemos que transformar A mediante transformaciones elementales en una matriz triangular superior. 1. En el primer paso tenemos que hacer cero el elemento (2,1), para ello: La segunda fila la sustituimos por la suma de la segunda fila con -5 veces la primera 𝐹2 → 𝐹2 − 5𝑓1 . Esto es equivalente a multiplicar A (por la izquierda) con la matriz 𝐸1 = 1 0 0 −5 1 0 0 0 1 𝐸1 𝐴 = 1 0 0 −5 1 0 0 0 1 4 −2 1 20 −7 12 −8 13 17 = 4 −2 1 0 3 7 −8 13 17
- 9. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU 2. Hacemos cero el elemento (3,1), para ello sustituimos la tercera fila por la que resulta de sumar la tercera con dos veces la primera, 𝐹3 → 𝐹3 + 3𝐹1 . Esto equivale a multiplicar la matriz anterior por 𝐸2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 4 −2 1 0 3 7 −8 13 17 = 4 −2 1 0 3 7 0 9 19 3. Hacemos cero el elemento (3,2), para ello sustituimos la tercera fila por la que resulta de sumar la tercera con -3 veces la segunda 𝐹3 → 𝐹3 − 3𝐹2 . Esto equivale a multiplicar la matriz anterior por 𝐸3 = 1 0 0 0 1 0 0 −3 1 1 0 0 0 1 0 0 −3 1 4 −2 1 0 3 7 0 9 19 = 4 −2 1 0 3 7 0 0 −2
- 10. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU Por lo tanto tenemos que 𝑈 = 4 −2 1 0 3 7 0 0 −2 Ahora falta obtener L, para ello observamos que: 𝐸3 𝐸2 𝐸1 𝐴 = 𝑈 𝐴 = 𝐸3 −1 𝐸2 −1 𝐸1 −1 𝑈 De donde la matriz L viene determinada por: 𝐿 = 𝐸3 −1 𝐸2 −1 𝐸1 −1 Ahora bien: 𝐸1 = 1 0 0 −5 1 0 0 0 1 𝐸1 −1 = 1 0 0 5 1 0 0 0 1
- 11. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU 𝐸2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1 𝐸2 −1 = 1 0 0 0 1 0 −2 0 1 𝐸3 = 1 0 0 0 1 0 0 −3 1 𝐸3 −1 = 1 0 0 0 1 0 0 3 1 Por lo tanto tenemos que: 𝐿 = 1 0 0 5 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 −2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 3 1 = 1 0 0 5 1 0 −2 3 1
- 12. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU b) Resolvemos a continuación el sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏 donde 𝑏 = 1 18 35 𝑡 Tenemos la descomposición LU de la matriz A, que hemos calculado anteriormente, por lo tanto, tenemos que: 𝐴𝑥 = 𝑏 𝐿𝑈𝑥 = 𝑏 𝐿𝑦 = 𝑏 𝑈𝑥 = 𝑦 Por lo tanto en primer lugar resolvemos el sistema 𝐿𝑦 = 𝑏 1 0 0 5 1 0 −2 3 1 𝑦1 𝑦2 𝑦3 = 1 18 35 De donde 𝑦1 = 1 5𝑦1 + 𝑦2 = 18 −2𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3 = 35
- 13. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU El sistema es triangular, y se resuelve de arriba hacia abajo despejando las incógnitas. Nos queda: 𝑦1 = 1 𝑦2 = 13 𝑦3 = −2 Por tanto 𝑦 = 1 13 −2 A continuación resolvemos el sistema 𝑈𝑥 = 𝑦 4 −2 1 0 3 7 0 0 −2 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 1 13 −2 De donde
- 14. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método LU 4𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 1 3𝑥2 + 7𝑥3 = 13 −2𝑥3 = −2 De donde obtenemos: 𝑥1 = 1 𝑥2 = 2 𝑥3 = 1 Por tanto la solución al sistema de ecuaciones viene dada por: 𝑥 = 1 2 1