CHOLESKY 01
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El vídeo tutorial detalla el método de descomposición de Cholesky para resolver un sistema de ecuaciones utilizando una matriz simétrica y definida positiva. Se presenta el proceso de descomposición de una matriz específica, incluyendo igualaciones y la resolución de un sistema de ecuaciones. Al final, se obtiene la descomposición cholesky de la matriz propuesta.
CHOLESKY 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - La utilidad de la descomposición de Cholesky para resolver un sistema de ecuaciones. - Realizar la descomposición de Cholesky de una matriz.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky ENUNCIADO: Realiza la descomposición de Cholesky de la matriz: 𝐴 = 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky En primer lugar vamos a dar un pequeño resumen sobre el método de descomposición de Cholesky. El método de descomposición Cholesky es un método de descomposición LU en el caso en que A sea una matriz simétrica y definida positiva. Bastará con tomar 𝑈 = 𝐿𝑡 Vamos a continuación a realizar la descomposición Cholesky de la matriz del enunciado. 𝐴 = 𝐿𝑈 = 𝐿𝐿𝑡 Por lo tanto tenemos que: 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙23 0 0 𝑙33
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky A continuación realizamos el producto de matrices de la derecha, y tenemos 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4 = 𝑙11 2 𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31 𝑙21 𝑙11 𝑙21 2 + 𝑙22 2 𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32 𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 A continuación igualamos elemento a elemento las dos matrices, y tenemos un sistema de ecuaciones que debemos resolver. Vamos a ir igualando de forma ordenada y resolviendo: Si igualamos la primera fila tenemos: 𝑙11 2 = 4 𝑙11 = 2 𝑙11 𝑙21 = −1 2𝑙21 = −1 𝑙21 = −1 2 𝑙11 𝑙31 = 0 2𝑙31 = 0 𝑙31 = 0
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4 = 𝑙11 2 𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31 𝑙21 𝑙11 𝑙21 2 + 𝑙22 2 𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32 𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 𝑙11 = 2 𝑙21 = − 1 2 𝑙31 = 0 A continuación igualamos la segunda fila: 𝑙21 𝑙11 = −1 2 − 1 2 = −1 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙21 2 + 𝑙22 2 = 4 − 1 2 2 + 𝑙22 2 = 4 𝑙22 = 15 2 𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32 = −1 − 1 2 0 + 15 2 𝑙32 = −1 𝑙32 = − 2 15 = − 2 15 15
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4 = 𝑙11 2 𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31 𝑙21 𝑙11 𝑙21 2 + 𝑙22 2 𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32 𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 𝑙11 = 2 𝑙21 = − 1 2 𝑙31 = 0 𝑙22 = 15 2 𝑙32 = − 2 15 15 A continuación igualamos la tercera fila: 𝑙31 𝑙11 = 0 0 2 = 0 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 = −1 0 − 1 2 + − 2 15 15 15 2 = −1 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 = 4 02 + − 2 15 15 2 + 𝑙33 2 = 4 𝑙33 = 56 15
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones y por lo tanto tenemos la descomposición Cholesky de la matriz A. Nos quedaría: 4 −1 0 −1 4 −1 0 −1 4 = 2 0 0 −1 2 15 2 0 0 −2 15 15 56 15 2 −1 2 0 0 15 2 −2 15 15 0 0 56 15