PROBLEMA CON PARÁMETROS 01
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El vídeo tutorial aborda la resolución de un problema matemático que implica una función definida a trozos y la continuidad en los números reales positivos. Se calculan los parámetros a, b y c bajo condiciones específicas, encontrando que a = -2, b = 2 y c = 2. También se incluyen métodos para calcular la derivada y la integral definida de la función.
PROBLEMA CON PARÁMETROS 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMA CON PARÁMETRO ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Estudiar la continuidad de una función definida a trozos. • Calcular la ecuación de la recta tangente de una función. • Calcular la integral definida de una función definida a trozos.
- 2. ENUNCIADO Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑐 ∙ 𝑙𝑛𝑥 1 < 𝑥 . Calcula a, b y c sabiendo que: • 𝑓(𝑥) es continua en 0, +∞ • La recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 = 1 16 es paralela a la recta 𝑦 = −4𝑥 + 3. • 1 𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS
- 3. Vamos a ir analizando poco a poco las características que nos dan de la función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑐 ∙ 𝑙𝑛𝑥 1 < 𝑥 . En primer lugar nos indican que la función es continua en el conjunto de los números reales positivos. Vamos a analizar la continuidad de la función que nos indican: • Si 0 < 𝑥 < 1, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + b es continua ya que se trata de una función irracional, y está definida para los números reales positivos. • Si 1 < 𝑥, 𝑓 𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑙𝑛𝑥 es continua ya que se trata de una función logarítmica que está definida en todos los números reales positivos. • Vamos a estudiar la continuidad en 𝑥 = 1 Para estudiar la continuidad en x=1, tenemos que estudiar: Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS
- 4. 1) 𝑓 1 = 𝑎 + 𝑏 2) lim 𝑥→1− 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 3) lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1 𝑐 ∙ 𝑙𝑛𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑙𝑛1 = 0 Por tanto para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en 𝑥 = 1 se ha de cumplir que 𝑎 + 𝑏 = 0. Por lo tanto para que la función sea continua en 0, +∞ , tiene que ocurrir que: 𝑎 + 𝑏 = 0 Analizamos ahora el hecho de que la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto 𝑥 = 1 16 es paralela a la recta 𝑦 = −4𝑥 + 3 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS
- 5. La ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto 𝑥 = 1 16 viene determinada por: 𝑦 − 𝑓 1 16 = 𝑓´ 1 16 𝑥 − 1 16 Si nos indican que debe ser paralela a la recta 𝑦 = −4𝑥 + 3, entonces sus pendientes deben ser iguales, esto es: 𝑓´ 1 16 = −4 Calculamos el valor de 𝑓´ 1 16 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS
- 6. Para hallar 𝑓´ 1 16 , hallamos en primer lugar la expresión de la derivada de f. 𝑓´ 𝑥 = 𝑎 2 𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1 𝑐 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1 Por lo tanto 𝑓´ 1 16 = 𝑎 2 1 16 = 𝑎 2 4 = 2𝑎 En consecuencia: 𝑓´ 1 16 = −4 2𝑎 = −4 𝑎 = −2 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS Obsérvese que no ponemos 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, ya que en los puntos x=0, x=1 habría que estudiar si la función es derivable.
- 7. Haciendo un pequeño resumen tenemos: 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑎 = −2 De donde obtenemos que: 𝑎 = −2 𝑏 = 2 A continuación usamos el hecho de que: 1 𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 1 𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑒 𝑐 ∙ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 1 𝑒 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Vamos a calcular la integral 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 . Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS
- 8. Esta integral hay que realizarla utilizando el método de integración por partes: 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 ∙ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐾 Por lo tanto: 1 𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 1 𝑒 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 𝑒 1 = 𝑐 𝑒 ∙ 𝑙𝑛𝑒 − 𝑒 − 1 ∙ 𝑙𝑛1 − 1 = 𝑐 Por tanto tenemos que: 1 𝑒 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑐 = 2 En consecuencia 𝑎 = −2 𝑏 = 2 𝑐 = 2 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: PROBLEMAS CON PARÁMETROS