TFC 02
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El vídeo tutorial aborda la aplicación del teorema fundamental del cálculo para derivar y aproximar la función f(x) = ∫(0, x) t² cos(t²) dt. Se calcula la derivada de f(x), el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 centrado en x=0, y se evalúa el límite de f(x)/x cuando x tiende a 0, obteniendo que este límite es 0.
TFC 02
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Aplicar el Teorema fundamental del Cálculo. • Calcular las derivadas sucesivas de una función. • Calcular el polinomio de Taylor para aproximar una función.
- 2. ENUNCIADO Sea la función F: ℝ → ℝ definida por 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 a) Calcula razonadamente la derivada de F(x). b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0. c) Calcula lim 𝑥→0 𝐹 𝑥 𝑥 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC
- 3. a) Calcula razonadamente la derivada de F. Para calcular la derivada de F, basta con observar que la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 Es una función continua en los números reales, por lo que aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que la función 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Es una función derivable, y además su derivada vale: 𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC
- 4. b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0. Recordemos que el desarrollo en serie de Taylor de la función F(x) viene determinado por: 𝑝 𝑥 = 𝐹 0 + 𝐹´ 0 1! 𝑥 − 0 + 𝐹´´(0) 2! (𝑥 − 0)2+ 𝐹´´´(0) 3! (𝑥 − 0)3 Calculamos las derivadas sucesivas de la función F(x) 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 𝐹 0 = 0 0 𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 = 0 𝐹´ 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 F´ 0 = 0 𝐹´´ 𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥2 − 4𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 𝐹´´ 0 = 0 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC
- 5. 𝐹´´´ 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥2 − 4𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 − 6𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 − 4𝑥4 cos 𝑥2 𝐹´´´ 0 = 2 Por lo tanto tenemos que el polinomio de Taylor de orden 3, de la función F(x) centrado en x=0 , viene determinado por: 𝑝 𝑥 = 𝐹 0 + 𝐹´ 0 1! 𝑥 − 0 + 𝐹´´(0) 2! (𝑥 − 0)2+ 𝐹´´´(0) 3! (𝑥 − 0)3 𝑝 𝑥 = 0 + 0 1 𝑥 + 0 2 𝑥2 + 2 6 𝑥3 = 1 3 𝑥3 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC
- 6. c) Calcula lim 𝑥→0 𝐹 𝑥 𝑥 Observemos que por el Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene que la función F(x) es derivable en todo su dominio y que además 𝐹´ 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ Si recordamos la definición de derivada tenemos que la derivada de F(x) en el punto x=0, viene dada por: 𝐹´ 0 = lim 𝑥→0 𝐹 𝑥 − 𝐹(0) 𝑥 − 0 = lim 𝑥→0 𝐹(𝑥) 𝑥 Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC Ya que 𝐹 0 = 0
- 7. Como: 𝐹´ 0 = 0 Tenemos que: lim 𝑥→0 𝐹(𝑥) 𝑥 = 𝐹´ 0 = 0 FIN Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: TFC