OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 03
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El documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un depósito cúbico con capacidad de 32,000 litros que requiera la menor cantidad posible de chapa para su construcción. Se modela matemáticamente la relación entre el volumen, las dimensiones de la base cuadrada y la altura, y se minimiza la función de la superficie lateral para encontrar que la dimensión óptima es una base de 40 dm de lado y una altura de 20 dm.
OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 03
- 1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Calcular los extremos de una función. - Calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. Vídeo tutorial Problema resuelto PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización ENUNCIADO: Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización En primer lugar realizaremos un dibujo que nos aclare la situación del problema. Tenemos un prisma recto con base cuadrada y abierto, es decir la figura sería: x x h
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización En primer lugar realizaremos un dibujo que nos aclare la situación del problema. Tenemos un prisma recto con base cuadrada y abierto, es decir la figura sería: x x h El volumen del prisma es de 32000 litros, por lo tanto tenemos que: 𝑉 = 𝑥2 ℎ = 32000 Ya tenemos la ecuación que liga las dos variables que intervienen en el problema.
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Nos indican que la superficie de la chapa tiene que ser mínima. Para calcular la superficie de la chapa abrimos el prisma y tenemos que: x x h Por tanto tenemos 4 rectángulos de base x y altura h, y un cuadrado de lado x. La superficie lateral, será la suma de las áreas de los cuatro rectángulos y el cuadrado que aparecen en la figura. Por lo tanto tenemos que: Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥2 + 4𝑥ℎ Esta es la expresión que debemos minimizar.
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Por lo tanto tenemos que minimizar la expresión: Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥2 + 4𝑥ℎ, con la condición 𝑉 = 𝑥2ℎ = 32000. Si despejamos de la expresión que liga las dos variables h, entonces tenemos: ℎ = 32000 𝑥2 A continuación sustituimos en la expresión del área, y denotamos a esa expresión por f(x). Por lo tanto: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 32000 𝑥2 = 𝑥2 + 128000 𝑥 Tenemos que buscar el mínimo de esta función, por lo tanto derivamos la función y calculamos las raíces de la derivada, esto es: 𝑓´ 𝑥 = 2𝑥 − 128000 𝑥2
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: optimización Igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación resultante 2𝑥 − 128000 𝑥2 = 0 𝑥 = 40 Ahora tenemos que estudiar si este valor corresponde a un máximo o a un mínimo, para ello podemos estudiar el signo de la segunda derivada, o si hay un cambio de signo en la primera derivada. Por lo tanto: 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 40, y en tal caso ℎ = 32000 402 = 20 El prisma que tiene menor superficie lateral con un volumen de 32000 litros es el que tiene la base cuadrada de 40dm de lado y una altura de 20 dm. 40 Signo 𝑓´(𝑥)𝑓´ 10 = −1260 < 0 𝑓´ 100 = 92,8 > 0 - +