APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 01
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El vídeo tutorial explica cómo calcular el instante en que el módulo de la velocidad de un móvil, siguiendo una trayectoria específica, es mínimo. Se deriva la expresión de la posición para obtener la velocidad y se minimiza el cuadrado de su módulo, encontrando que el mínimo ocurre en t = ln(2)/4. Además, se verifica que este punto crítico corresponde a un mínimo relativo mediante la segunda derivada.
APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Calcular la ecuación de la velocidad de una curva, sabiendo la expresión de su trayectoria. - Calcular el mínimo de una función.
- 2. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización ENUNCIADO: Un móvil sigue la trayectoria dada por: 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑒 𝑡 Calcular el instante t en el que el módulo de la velocidad es mínimo
- 3. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización Recordemos que la velocidad de un móvil viene determinada por: 𝑣 𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑡 Es decir es la derivada con respecto al tiempo de la posición. Por lo tanto tenemos que derivar con respecto de t, la expresión 𝑟(𝑡). 𝑟´ 𝑡 = 𝑥´ 𝑡 , 𝑦´ 𝑡 , 𝑧´(𝑡) Calculo las derivadas por separado: 𝑥´ 𝑡 = −𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 𝑒−𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦´ 𝑡 = −𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑧´ 𝑡 = 𝑒 𝑡 Por lo tanto: 𝑟´ 𝑡 = 𝑒−𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒 𝑡
- 4. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización El problema nos dice que el módulo de la velocidad debe ser mínimo, por lo tanto, tenemos que minimizar la expresión 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒 𝑡 2 Pero minimizar esta expresión equivale a minimizar ||𝑣(𝑡)||2 , por tanto minimizaremos esta última. Llamaremos por tanto 𝑓 𝑡 = ||𝑣(𝑡)||2 = 𝑒−𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒 𝑡 2 Si desarrollamos esta expresión nos queda: 𝑓 𝑡 = 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑒2𝑡 De donde sacando factor común 𝑒−2𝑡 y teniendo en cuenta que: 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1 Llegamos a: 𝑓 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 + 𝑒2𝑡
- 5. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización Si derivamos la función f(t) obtenida anteriormente para hallar los puntos críticos y poder así calcular el mínimo de la función se tiene que: 𝑓´ 𝑡 = −4𝑒−2𝑡 + 2𝑒2𝑡 Igualando a cero se tiene: −4𝑒−2𝑡 + 2𝑒2𝑡 = 0 𝑒2𝑡 −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0 𝑒2𝑡 = 0 −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0 Por tanto las únicas soluciones posibles, salen de la ecuación −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0. −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0 𝑒−4𝑡 = 1 2 − 4𝑡 = 𝑙𝑛 1 2 = −𝑙𝑛2 De donde llegamos a: 𝑡 = −𝑙𝑛2 −4 = 𝑙𝑛2 4 No tiene solución
- 6. Vídeo tutorial FdeT aplicaciones optimización Tenemos que comprobar ahora si el valor que hemos obtenido para t es un máximo o un mínimo, para ello calculamos la segunda derivada: 𝑓´´ 𝑡 = 8𝑒−2𝑡 + 4𝑒2𝑡 Si sustituimos el punto crítico que hemos obtenido se llega a: 𝑓´´ 𝑙𝑛2 4 = 8𝑒− 𝑙𝑛2 2 + 4𝑒 𝑙𝑛2 2 > 0 Por lo tanto el valor obtenido se trata de un mímimo relativo. Por tanto el instante en el que el módulo de la velocidad es mínimo es para 𝑡 = 𝑙𝑛2 4 Ya que 𝑒− 𝑙𝑛2 2 >0, y 𝑒 𝑙𝑛2 2 >0