MULTIPLICADORES DE LAGRANGE, 01
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1) La temperatura mínima se alcanza en el punto interior (1/3, 2/3) y es de 2/3. 2) Los puntos en la frontera donde la tasa de incremento de la temperatura en la dirección (1,1) es máxima y mínima son (2/3, 1/3) y (-2/3, -1/3), respectivamente.
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE, 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Calcular los extremos de una función de dos variables en el interior de una región. - Calcular los extremos de una función de dos variables en la frontera de una región utilizando los multiplicadores de Lagrange.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables ENUNCIADO: La temperatura en cada punto de una placa elíptica 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 2} Viene dada por la fúnción: 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 + 1 a) Calcula la temperatura mínima que se alcanza en el interior de D y el punto en el que se alcanza b) Calcula el punto de la frontera de D en el que la tasa de incremento de la temperatura en la dirección del vector (1,1) es máxima.
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables a) Se pide en primer lugar que hallemos el mínimo de la temperatura en el interior de la placa, para ello recordamos que los puntos críticos se obtienen de resolver las ecuaciones que se obtienen al igualar a cero el gradiente de la función, es decir 𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑇 𝜕𝑥 , 𝜕𝑇 𝜕𝑦 = (0,0) Es decir, tenemos que calcular todas las soluciones del sistema de ecuaciones dado por: 𝜕𝑇 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑇 𝜕𝑦 = 0 Calculamos en primer lugar las derivadas parciales: 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 − 1 Resolvemos por tanto el sistema de ecuaciones: 2𝑥 − 𝑦 = 0 2𝑦 − 𝑥 − 1 = 0
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables La solución a este sistema es: 𝑥 = 1 3 𝑦 = 2 3 , es decir obtenemos el punto 𝑃 1 3 , 2 3 . Comprobamos que P está en el interior de D. 1 3 2 + 2 2 3 2 = 1 9 + 8 9 = 9 9 = 1 ≤ 2 Por lo tanto P es un punto del interior de D. Tenemos por tanto un único punto crítico. A continuación tenemos que estudiar si este punto se trata de un máximo o de un mínimo. Para ello tenemos que estudiar la matriz Hessiana en dicho punto. Recordemos que la matriz Hessiana es la matriz que viene dada por: 𝐻 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝜕2 𝑇 𝜕𝑥2 𝜕2 𝑇 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕2 𝑇 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝑇 𝜕𝑦2
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables Calculamos las segundas derivadas y obtenemos: 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 𝜕2 𝑇 𝜕𝑥2 = 2 𝜕2 𝑇 𝜕𝑦𝜕𝑥 = −1 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 − 1 𝜕2 𝑇 𝜕𝑦2 = 2 𝜕2 𝑇 𝜕𝑥𝜕𝑦 = −1 Por lo tanto la matriz Hessiana en el punto 𝑃 1 3 , 2 3 , viene dada por: 𝐻 𝑇 1 3 , 2 3 = 2 −1 −1 2
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables A continuación estudiamos la matriz Hessiana. Recordemos que: Si 𝐻 𝑇 1 3 , 2 3 es definida positiva, entonces P es un mínimo. Si 𝐻 𝑇 1 3 , 2 3 es definida negativa, entonces P es un máximo. Para estudiar si 𝐻 𝑇 1 3 , 2 3 es definida positiva o negativa, sólo tenemos que estudiar los menores principales, es decir: ∆1= 2 > 0 ∆2= 2 −1 −1 2 = 3 > 0 Como los dos menores principales son positivos, entonces el Hessiano es definido positivo, y en tal caso P 1 3 , 2 3 es un mínimo de la función T en el interior de D. Por tanto la temperatura mínima se alcanza en el punto P 1 3 , 2 3 y tiene un valor 𝑇 𝑃 = 1 3 2 + 2 3 2 − 1 3 2 3 - 2 3 − 1 = 2 3 .
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables b) A continuación tenemos que estudiar el punto de la frontera de D en el que la tasa de incremento de la temperatura en la dirección del vector (1,1) es máxima. En primer lugar calculamos un vector unitario en la dirección de 1,1 , este vector es 𝑣 = 1 1,1 1,1 = 1 2 , 1 2 . La tasa de incremento de la temperatura en la dirección del vector (1,1), viene determinada por: 𝛻𝑇(𝑥, 𝑦) 1 2 , 1 2 = 2𝑥 − 𝑦, 2𝑦 − 𝑥 − 1 1 2 , 1 2 = 1 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) Por lo tanto tenemos que maximizar la función F x, y = 1 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) sujeta a la restricción 𝑥2 + 2𝑦2 = 2 (frontera de D) Para hallar este máximo, utilizaremos el método de los multiplicadores de Lagrange. Definimos por tanto una función 𝐹 𝑥, 𝑦, λ = 1 2 𝑥 + 𝑦 − 1 + λ 𝑥2 + 2𝑦2 − 2
- 8. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables Calculamos las derivadas parciales de F, e igualamos a cero para obtener los puntos críticos. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝑥, 𝑦, λ = 1 2 + 2λx 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦, λ = 1 2 + 4λy 𝜕𝐹 𝜕λ 𝑥, 𝑦, λ = 𝑥2 + 2𝑦2 − 2 Igualamos a cero y resolvemos el sistema de ecuaciones que se forma: 1 2 + 2λx = 0 1 2 + 4λy = 0 𝑥2 + 2𝑦2 − 2 = 0
- 9. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables Resolvemos el sistema: 1 2 + 2λx = 0 1 2 + 4λy = 0 𝑥2 + 2𝑦2 + 2 = 0 De la primera ecuación si despejamos λ, se tiene: λ = −1 2𝑥 2 Ahora sustituimos este valor en la segunda ecuación y sacamos que: 1 2 + 4 −1 2𝑥 2 y = 0. Simplificamos la expresión sacando factor común 1 2 , y nos queda: 1 − 2𝑦 𝑥 = 0, de donde 𝑦 = 𝑥 2 . Por lo tanto si sustuimos esta expresión en la última ecuación obtenemos: 𝑥2 + 2 𝑥 2 2 − 2 = 0
- 10. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables De aquí despejamos x y obtenemos: 𝑥 = ± 2 3 Por lo tanto: 𝑦 = 𝑥 2 = 1 2 ± 2 3 = ± 1 3 Por lo tanto tenemos dos puntos críticos: 𝑃1 = 2 3 , 1 3 para λ = − 3 4 2 𝑃2 = −2 3 , −1 3 para λ = 3 4 2 Ahora tenemos que estudiar si estos puntos son máximos o mínimos Hallamos las imágenes de estos puntos por la función F y tenemos que:
- 11. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: análisis varias variables 𝐹 2 3 , 1 3 , − 3 4 2 = 1 2 2 3 + 1 3 − 1 + − 3 4 2 2 3 2 + 2 1 3 2 − 2 = 1 2 3 3 − 1 + − 3 4 2 4 3 + 2 3 − 2 = 1 2 3 − 1 𝐹 −2 3 , −1 3 , 3 4 2 = 1 2 −2 3 + −1 3 − 1 + 3 4 2 −2 3 2 + 2 −1 3 2 − 2 = 1 2 −3 3 − 1 + 3 4 2 4 3 + 2 3 − 2 = 1 2 − 3 − 1 Por lo tanto: T alcanza un máximo en 𝑃1 = 2 3 , 1 3 , y la tasa de incremento es F 𝑃1 = 1 2 2 3 + 1 3 − 1 = 1 2 3 − 1 T alcanza un mínimo en 𝑃2 = −2 3 , −1 3 , y la tasa de incremento es F 𝑃1 = 1 2 −2 3 + −1 3 − 1 = 1 2 − 3 − 1 03 3 = 3 03 3 = 3