NÚMEROS COMPLEJOS 01
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El documento presenta el cálculo de varias operaciones con números complejos expresados en forma polar y binómica. Se explican los pasos para sumar, restar y multiplicar números complejos, expresando el resultado final en forma polar.
NÚMEROS COMPLEJOS 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Expresar un número complejo en las distintas formas: binómica, trigonométrica y polar. - Operar correctamente con números complejos en forma binómica y polar.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos ENUNCIADO: Calcula: a) 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 67,62|68,3º+63,66|−90º 80|0º+67,62|68,3º −67,62|68,3º −67,62|68,3º 67,62|68,3º+63,66|−90º b) 80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º −67,62 |68,3º 380|0º ( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º (67,62 |68,3º+63,66 |−90º)
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos a) 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 67,62|68,3º+63,66|−90º 80|0º+67,62|68,3º −67,62|68,3º −67,62|68,3º 67,62|68,3º+63,66|−90º Para resolver esta operación en primer lugar realizaremos las sumas que aparecen indicadas, y daremos el resultado en forma polar. 67,62|68,3º + 63,66|−90º = 67,62 cos 68,3º + 𝑖𝑠𝑒𝑛 68,3º + 63,66 cos −90º + 𝑖𝑠𝑒𝑛 −90º = = 67,2 cos 68,3º + 63,66 cos −90º + 𝑖 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º + 63,66𝑠𝑒𝑛 −90º = 25 − 0,832𝑖 Expresamos este número en forma polar para ello calculamos su módulo y su argumento. 25 − 0,832𝑖 = 252 + 0,8322 = 25,016 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −0,832 25 = −1,91 arg 𝑧 = 360 − 1,91 = 358,09 El argumento debe ser positivo. El número complejo está en el cuarto cuadrante, por tanto el ángulo estará entre 270 y 360º 0º=360º 90º 180º 270º
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos Por lo tanto tenemos que: 67,62|68,3º + 63,66|−90º = 25,016 |358,09º A continuación hacemos la operación 80|0º + 67,62|68,3º 80|0º + 67,62|68,3º = 80 cos 0º + 67,62 cos 68,3º + 𝑖 82𝑠𝑒𝑛 0º + 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º = 105 + 62,8279𝑖 = 122,36|30,894º Para realizar la operación, consideramos en primer lugar el numerador de la expresión: 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 67,62|68,3º + 63,66|−90º = 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 25|358,09º Lo pasamos a forma polar
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 25|358,09º = 380|120º 25|358,09º + 67,62|68,3º 380|0º = = 9500|478,09º + 25695|68,3º = 9500|118,09º + 25695,6|68,3º = = 9500 cos 118,09º + 25695 cos 68,3º + 𝑖 9500𝑠𝑒𝑛 118,09º + 25695,6𝑠𝑒𝑛 68,3º = = 5024,85 + 32260,96𝑖 = 32649,95|81,146º A continuación realizamos el mismo proceso para hacer el determinante del denominador: Recordemos que para multiplicar dos números complejos en forma polar, multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos Lo expresamos en forma polar
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 25|358,09º = 380|120º 25|358,09º + 67,62|68,3º 380|0º = = 9500|478,09º + 25695|68,3º = 9500|118,09º + 25695,6|68,3º = = 9500 cos 118,09º + 25695 cos 68,3º + 𝑖 9500𝑠𝑒𝑛 118,09º + 25695,6𝑠𝑒𝑛 68,3º = = 5024,85 + 32260,96𝑖 = 32649,95|81,146º A continuación realizamos el mismo proceso para hacer el determinante del denominador: Recordemos que para multiplicar dos números complejos en forma polar, multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos Lo expresamos en forma polar
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos 80|0º + 67,62|68,3º −67,62|68,3º −67,62|68,3º 67,62|68,3º + 63,66|−90º = 122,363|30,894º −67,62|68,3º −67,62|68,3º 25|358,09º = = 122,363|30,894º 25|358,09º − 67,62|68,3º 67,62|68,3º = 3061,03|388,984 − 4572,4644136,6º = 3061,03|28,984 − 4572,4644136,6º = 5999,89 − 1658,4𝑖 = 6224,87|344,55º De esta forma tenemos: 380|120º −67,62|68,3º 380|0º 67,62|68,3º + 63,66|−90º 80|0º + 67,62|68,3º −67,62|68,3º −67,62|68,3º 67,62|68,3º + 63,66|−90º = 32649,95|81,146º 6224,87|344,55º = 5,24|−263,4º = 5,24|96,6º Le restamos una vuelta (360º) Lo expresamos en forma polar Expresamos el argumento como un ángulo positivo
- 8. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos b) 80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º −67,62 |68,3º 380|0º ( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º (67,62 |68,3º+63,66 |−90º) En primer lugar hallamos las sumas de números complejos que aparecen 80 |0º+67,62 |68,3º = 80 cos 0º + 67,62 cos 68,3º + 𝑖 80𝑠𝑒𝑛 0º + 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º = = 105 + 62,827𝑖 = 122,36|33,24º 67,62 |68,3º + 63,66 |−90º = 25|358,09º Lo expresamos en forma polar Está hecho en el apartado anterior
- 9. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos Realizamos en primer lugar el numerador: 80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º −67,62 |68,3º 380|0º = 122,36 |33,24º 380|120º −67,62 |68,3º 380|0º = = 122,36|32,24º 380|0º + 380|120º 67,62|68,3º = 46496,8|33,24º + 25695,6|188,2º = = 13456,18 + 21822,15𝑖 = 25636,3|58,34º A continuación realizamos el denominador: ( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º (67,62 |68,3º + 63,66 |−90º) = 122,36 |33,24º −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º 25 |358,09º
- 10. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: números complejos 122,36 |33,24º −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º 25 |358,09º = 122,36|33,24º 25|358,09º − 67,62|68,3º 67,62|68,3º = = 3060,95|391,33º − 4572,4644|136,6º = 3060,95|31,33º − 4572,4644|136,6º = = 5936,8 − 1550𝑖 = 6135,89|−14,63º = 6135,89|345,36º Por lo tanto tenemos que: 80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º −67,62 |68,3º 380|0º ( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º −67,62 |68,3º (67,62 |68,3º + 63,66 |−90º) = 25636,3|58,34º 6135,89|345,36º = 3,99|−290,23º = 3,99|69,77º Pasamos a un ángulo comprendido entre 0º y 360º Lo expresamos en forma polar Pasamos a un ángulo comprendido entre 0º y 360º