PROGRAMACIÓN LINEAL 03
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El documento es un vídeo tutorial sobre la programación lineal que enseña a resolver un problema de optimización relacionado con la producción de anillos de oro y plata. Se presentan las restricciones y se calculan los vértices de la región factible para maximizar los ingresos, encontrando que la producción óptima es de 6 anillos del tipo i y 8 del tipo ii, generando ingresos de 1700 euros. El tutorial incluye el planteamiento de la función objetivo y la representación gráfica de las restricciones.
PROGRAMACIÓN LINEAL 03
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Resolver un problema de programación lineal. - Calcular los vértices de la región factible. - Optimizar la función objetivo.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal ENUNCIADO: Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que los precios de venta de cada tipo de anillo son 150 euros el primero y 100 euros el segundo, ¿cuántos anillos de cada tipo tendría que producir para obtener los ingresos máximos? ¿A cuánto ascenderían estos ingresos?
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal En primer lugar vamos a realizar una tabla que nos aclare un poco la situación Por lo tanto tenemos las restricciones: 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 48 2𝑥 + 𝑦 ≤ 20 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Anillo tipo I Anillo tipo II Restricciones x y 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Oro (g) 4 3 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 48 Plata (g) 2 1 2𝑥 + 𝑦 ≤ 20 Ingresos 150 100
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal La función objetivo será la función que nos define los ingresos, esto es: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 150𝑥 + 100𝑦 Esta es la función que hay que maximizar. A continuación vamos a representar gráficamente el recinto que nos delimitan las restricciones. 3𝑥 + 4𝑦 = 48 2𝑥 + 𝑦 = 20
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal Por lo tanto la región factible está determinada por el polígono ABCD. El teorema fundamental de la programación lineal afirma que cuando la región factible es convexa y acotada, sus extremos absolutos (máximo y mínimo) se encuentran en los vértices de la misma. En el caso de que dos vértices tengan el mismo valor mínimo (o máximo) será solución del problema todo el segmento que los une. Por lo tanto vamos a calcular los vértices A, B, C y D. Para ello resolveremos los sistemas de ecuaciones que se forman. • Calculo A. En este caso A es el origen de coordenadas. A=(0,0) • Calculo B. B se obtiene como la intersección de la recta 2𝑥 + 𝑦 = 20 con la recta y=0 2𝑥 + 𝑦 = 20 𝑦 = 0 𝑥 = 10 𝑦 = 0 Por lo tanto B=(10,0)
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal • Calculo C. Para ello resuelvo el sistema de ecuaciones: 4𝑥 + 3𝑦 = 48 3𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 = 6 𝑦 = 8 Por lo tanto 𝐶 = 6,8 • Calculo D. 4𝑥 + 3𝑦 = 48 𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑦 = 16 Por lo tanto 𝐷 = (0,20) De esta forma tenemos ya calculados los vértices de la región factible: 𝐴(0,0) 𝐵(10,0) 𝐶(6,8) 𝐷(0,16)
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: programación lineal Como hemos comentado anteriormente, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en los vértices, por lo que tenemos que hallar el valor de la función objetivo en estos puntos: • 𝐹 𝐴 = 𝐹 0,0 = 150 0 + 100 0 = 0 • 𝐹 𝐵 = 𝐹 10,0 = 150 10 + 100 0 = 1500 • 𝐹 𝐶 = 𝐹 6,8 = 150 6 + 100 8 = 1700 • 𝐹 𝐷 = 𝐹 0,16 = 150 0 + 100 16 = 1600 Por lo tanto F alcanza el máximo en el punto C. Para que los beneficios sean máximos tiene que producir 6 anillos de tipo I y 8 anillos de tipo II. Ésta producción le daría unos beneficios de 1700 €