Inducción 01
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Este video tutorial enseña cómo demostrar una sucesión utilizando inducción matemática. Explica la sucesión de Fibonacci y muestra cómo probar que (1) si F = [1 1; 1 0], entonces Fn = [fn+1 fn; fn fn-1] para todo n en N, y (2) que fn+1fn = f2n - 1n para todo n en N. Primero se prueba la base y paso de inducción para (1), y luego se usa este resultado para demostrar (2) tomando determinantes.
Inducción 01
- 1. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL Visita los vídeos de integrales En este vídeo vas a aprender: • A realizar una demostración utilizando el método de inducción. • Conocerás la sucesión de Fibonacci.
- 2. Enunciado: Se considera la sucesión de Fibonaci, definida por: 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1, 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 ∀𝑛 ∈ ℕ Se pide: a) Probar que si 𝐹 = 1 1 1 0 , entonces 𝐹 𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 ∀𝑛 ∈ ℕ b) Probar que 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 = 𝑓2 𝑛 + −1 𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción
- 3. a) En primer lugar notaremos por: 𝐴 𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 Y por 𝐹 = 1 1 1 0 . Tenemos que probar que para todo número natural n se cumple que 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛. Probaremos esta igualdad usando el método de inducción. • Vamos a probar la etapa base para n=1. Este caso es obvio, ya que 𝐹1 = 𝐹 = 1 1 1 0 Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción
- 4. Y 𝐴1 = 𝑓2 𝑓1 𝑓1 𝑓0 = 1 1 1 0 Obsérvese que 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1 𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 0 = 1 Por lo tanto se cumple la igualdad 𝐹1 = 𝐴1 • Realizaremos la prueba para n=2, aunque este paso no sea necesario. Para n=2, tenemos que: 𝐹2 = 1 1 1 0 2 = 1 1 1 0 1 1 1 0 = 2 1 1 1 Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción
- 5. Por otro lado tenemos que: 𝐴2 = 𝑓3 𝑓2 𝑓2 𝑓1 = 2 1 1 1 Observamos que 𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 1 + 1 = 2 Por lo tanto se cumple que: 𝐹2 = 𝐴2 • Vamos ahora a realizar la etapa de inducción. Suponemos cierta la igualdad que queremos probar para un cierto n, y la probamos para n+1. Es decir supongamos que 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛 Tenemos que probar que: 𝐹 𝑛+1 = 𝐴 𝑛+1 Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción
- 6. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción Consideramos 𝐹 𝑛+1 = 𝐹 𝑛 𝐹 = 𝐴 𝑛 𝐹 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 1 1 1 0 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛+2 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 = 𝐴 𝑛+1 Por tanto se cumple que: 𝐹 𝑛+1 = 𝐴 𝑛+1 Por tanto se cumple la igualdad 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ Por hipótesis de inducción se cumple 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛 Por la definición de la sucesión de Fibonacci se tiene que: 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛+2 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 = 𝑓𝑛+1
- 7. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción b) Vamos a probar a continuación que se cumple: 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 = 𝑓2 𝑛 + −1 𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ Para probar esta igualdad, basta con utilizar la igualdad demostrada en el apartado anterior, es decir usaremos que 𝐹 𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 . Por lo visto en el apartado anterior demostramos que: 1 1 1 0 𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 Por tanto si tomamos determinantes, se tendría que:
- 8. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: Inducción 1 1 1 0 𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 Vamos a hacer los dos determinantes por separado, y después igualaremos los resultados. • 1 1 1 0 𝑛 = 1 1 1 0 𝑛 = −1 𝑛 • 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 =𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓2 𝑛 Por lo tanto, al igualar tenemos que: 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓2 𝑛 = −1 𝑛 O equivalentemente 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 = 𝑓2 𝑛 + −1 𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ