Matrices 03
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El vídeo tutorial se centra en el estudio y cálculo de la inversa de una matriz, particularmente en determinar los valores de un parámetro 'a' para los cuales una matriz dada no tiene inversa. Se concluye que la matriz no tiene inversa si a = ±1 y que la inversa es calculada para a = -2. El tutorial también explica cómo obtener el determinante y la matriz adjunta necesaria para calcular la inversa.
Matrices 03
- 1. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? - Estudio de la inversa de una matriz. - Cálculo de la inversa de una matriz.
- 2. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices ENUNCIADO: Dada la matriz 𝐴 = 1 𝑎 1 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 1 donde a es un parámetro real. a) Determina para qué valores del parámetro a la matriz A no tiene inversa. b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para 𝑎 = −2.
- 3. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices a) En primer lugar recordaremos que una matriz A cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto en primer lugar calcularemos el determinante de la matriz. 𝐴 = 1 𝑎 1 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 1 = 1 − 𝑎2 Igualamos el determinante a cero para calcular los valores de a, para los cuales el determinante de A es nulo, y por tanto no tiene inversa. 1 − 𝑎2 = 0 𝑎 = ±1 Por lo tanto la matriz: • Si 𝑎 = ±1, la matriz A no tiene inversa. • Si 𝑎 ≠ ±1, la matriz A tiene inversa.
- 4. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices b) En este segundo apartado nos indican que calculemos la inversa, si existe, para el caso en que a=-2. Ya hemos estudiado en el apartado anterior los casos en los que existe la inversa de A. Por lo tanto por el apartado anterior existe la inversa de A para 𝑎 = −2. Calculamos la inversa de A en este caso. 𝑎 = −2 𝐴 = 1 −2 1 −2 1 −2 0 −2 1 Recordamos que la inversa de A viene dada por: 𝐴−1 = 1 |𝐴| 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 Donde 𝐴𝑑𝑗(𝐴) representa la matriz adjunta de A.
- 5. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices El determinante de A viene dado por 𝐴 = 1 − −2 2 = −3, para hallarlo basta con sustituir el valor de a, en la expresión del determinante calculado en el apartado anterior. Calculamos a continuación la matriz adjunta de A. Recordemos que el adjunto del elemento (i,j) es el determinante que resulta de eliminar su fila y su columna, multiplicado por −1 𝑖+𝑗 . En la práctica consiste en realizar el determinante mencionado y cambiar el signo a elementos alternos en la matriz siguiendo el diagrama: + − + − + − + − + Calculamos por tanto la matriz adjunta de A.
- 6. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 1 −2 −2 1 − −2 −2 0 1 −2 1 0 −2 − −2 1 −2 1 1 1 0 1 − 1 −2 0 −2 −2 1 1 −2 − 1 1 −2 −2 1 −2 −2 1 Realizando todos los determinantes tenemos que: 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = −3 2 4 0 1 2 3 0 −3 Por tanto la inversa de la matriz A viene dada por: 𝐴−1 = 1 |𝐴| 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 = 1 −3 −3 2 4 0 1 2 3 0 −3 𝑡
- 7. Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: matrices Es decir: 𝐴−1 = 1 |𝐴| 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 = 1 −3 −3 2 4 0 1 2 3 0 −3 𝑡 = −1 3 −3 0 3 2 1 0 4 2 −3 = 1 0 −1 −2/3 −1/3 0 −4/3 −2/3 1 Para comprobar que realmente esta es la matriz inversa, basta con comprobar que 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼 Es decir: 1 −2 1 −2 1 −2 0 −2 1 1 0 −1 −2/3 −1/3 0 −4/3 −2/3 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1