Leyes de álgebra boleana
- 2. • El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). • por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
- 4. El álgebra booleana emplea los siguientes postulados:
- 5. • Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. • Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. • Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
- 6. • Ley conmutativa: La ley conmutativa de la adición para dos variables se describe algebraicamente como • A+B=B+A • Esta ley establece que no importa el orden en el que las variables estén disyuntivadas. En la terminología del algebra booleana, aplicada a los circuitos lógicos, la adición y la operación OR son lo mismo. AB=BA
- 7. • Ley asociativa: La ley asociativa de la adición para tres variables se escribe algebraicamente como sigue • A+ (B+C)=(A+B)+C • Esta ley establece que en la disyunción de varias variables, el resultado es el mismo, sin importar el agrupamiento de las mismas. • Ley asociativa en la multiplicación para tres variables se escribe como lo siguiente: • A (BC)= (AB) C • Esta ley establece que, al juntar varias variables no importa el orden en la que estas se agrupen.
- 8. • Ley distributiva: La ley distributiva para tres variables se describe como siguiente • A (B+C)=AB+AC • Esta ley establece que al disyuntivar varias variables y conjuntiva el resultado con una sola variable es equivalente a conjuntivar la variable sola con cada una de las varias variables y disyuntivar los conjuntos. • El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único. •
- 10. el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: • Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. • El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- 11. • El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. • El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- 12. • Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:
- 13. • P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT • P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT • P3 Los operadores · y + son conmutativos. • P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). • P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. • P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
- 14. Teoremas del álgebra booleana • Teorema 1: A + A = A • Teorema 2: A · A = A • Teorema 3: A + 0 = A • Teorema 4: A · 1 = A • Teorema 5: A · 0 = 0 • Teorema 6: A + 1 = 1 • Teorema 7: (A + B)' = A' · B' • Teorema 8: (A · B)' = A' + B' • Teorema 9: A + A · B = A • Teorema 10: A · (A + B) = A • Teorema 11: A + A'B = A + B • Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' • Teorema 13: AB + AB' = A • Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' • Teorema 15: A + A' = 1 • Teorema 16: A · A' = 0
- 15. Características: Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x • Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx • Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) • Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) • Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz • Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) • Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x • Identidad respecto a la segunda función: x1 = x • Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 • Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
- 16. Propiedades Del Álgebra De Boole • Idempotente respecto a la primera función: x + x = x • Idempotente respecto a la segunda función: xx = x • Maximalidad del 1: x + 1 = 1 • Minimalidad del 0: x0 = 0 • Involución: x'' = x • Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x • Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x • Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' • Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'