Metodo de cramer
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Este documento presenta el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo convertir el sistema en una matriz de coeficientes y calcular los determinantes del sistema y de cada variable para obtener los valores de X, Y y Z. Resuelve dos ejemplos numéricos aplicando los pasos del método de Cramer.
![Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz y le aumentamos dos filas mas con los coeficiente de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar :Det (A) X Y Z1 -2 1 Se multiplica en diagonal de derecha 2 -1 -2 a izquierda y viceversa1 3 1 1 -2 1 = [-1 + 6 + 4] – [-1 - 6 - 4] 2 -1 -2 = [9] – [-11] = 9 + 11 = 20El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:Det (A1) X Y Z 5 -2 1Para sacar el determinante de X remplazamos los -1 -1 -2 coeficientes de la columna de X por los terminos 0 3 1 independientes:5-2 1 -1 -1 -2](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-4-320.jpg)
![Determinante (A1) X Y Z 5 -2 1 Para hallar el Determinante de (A1) se hace -1 -1 -2 igual que al Determinante (A): 0 3 1 5 -2 1 = [-5 -3 + 0] – [0 -30 + 2] -1 -1 -2 = [-8] – [-28] = -8 + 28 = 20Determinante (A2) X Y Z 1 5 1 Para obtener el determinante de Y remplazamos los 2 -1 - 1 coeficientes de la columna de Y por los valores de 1 0de igualación, como en el determinante anterior: 1 5 1 2 -1 -2](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-5-320.jpg)
![Determinante (A2) X Y Z 1 5 1 = [-1 +0 -10] – [-1 +0 +10] 2 -1 -2 = [-11]-[9] 1 0 1 = -11 - 9 1 5 1 = -20 2 -1 -2Determinante (A3) X Y Z Para hallar el determinante de Z se 1 -2 5 remplaza la columna de Z por los coeficiente 2 -1 -1 de igualacion como lo hemos hecho 1 3 0 anteriormente: 1 -2 5 2 -1 -1 X Y Z 1 -2 5 = [0 +30 +2] - [-5 -3 +0] 2 -1 -1 = [32] – [-8] 1 3 0 = 32 + 8 1 -2 5 = 40 2 -1 -1](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-6-320.jpg)
![3x -4y +6z = 7 Este sistema de ecuaciones de 3x3 se resulve de la misma 5x +2y -4z = 5forma que el primer ejercicio. x +3y -5z =3X Y Z TI 3 -4 6 7 Se obtiene el determinante del sistemas 5 2 -4 5 1 3 -5 3X Y Z 3 -4 6 = [-30 +90 +16] - [12 -36 +100] 5 2 -4 = [76] – [76] 1 3 -5 = 76 - 763 -4 6 = 0 5 2 -4 Este sistema de ecuaciones lineales de 3x3 no tiene solucion por que el determinante del sistema da 0](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-8-320.jpg)
![X +3y +z = 0 1 3 1 0 2x +y -3z = 5 2 1 -3 5-x +7y +9z = a -1 7 9 aSe obtieneel determinante del sistemaDeterminante (A) 1 3 1 = [9 + 14 +9] – [-1 -21 +54] 2 1 -3 = [32] – [-32]-1 7 9 = 32 +32 1 3 1 = 64 2 1 -3Det (A1) X Y Z 0 3 1 = [0 +35 +9a] – [a – 0 +135]5 1 -3 = [35 – 9a] – [a + 135] a 7 9 = 35 – 9a - a - 135 1 3 1 = -100 -10a 2 1 -3](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-9-320.jpg)
![Determinante (A2) X Y Z 1 0 1 = [45 + 2a +0] – [-5 -3a +0] 2 5 -3 = [45 + 2a ] – [-5 - 3a ]-1 a 9 = 45 + 2a + 5 + 3a 1 3 1 = 50 + 5a 2 1 -3Determinante (A3)X Y Z 1 3 0 = [a + 0 -15] – [0+ 35 +6a ]2 1 5 = [a – 15 ] – [35 + 6a ]-1 7 a = a – 15 – 35 – 6a 1 3 1 = -50 -5a 2 1 -3X= -100 -10a0/64 = -3205a/32 Y=50+5a/64=3250a/64 Z=-50 –5a/64=-3250a/64](https://image.slidesharecdn.com/metododecramer-101005000059-phpapp02/85/Metodo-de-cramer-10-320.jpg)
Metodo de cramer
- 1. ALGEBRA LINEALMETODO DE CRAMER
- 2. PRESENTADOR POR:LINA MARCELA SARRIA – 135408 MICHAEL GERMAN APRAEZ – 135418
- 3. Ejercicios resueltos por el: METODO DE CRAMERa) x-2y+z = 5 Se cambia el sistema de 1 -2 1 52x-y-2z = -1 ecuaciones de 3x3 a la 2 -1 2 -1 x+3y+z = 0 matriz de coeficientes 1 3 1 0El siguiente paso es hallarlos valores de X, Y y Z: para eso sacamos 4 determinantes:Determinantes del sistema = det (A)Determinante de X = det ( A1)Determinante de Y = det (A2)Determinante de Z = det (A3)
- 4. Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz y le aumentamos dos filas mas con los coeficiente de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar :Det (A) X Y Z1 -2 1 Se multiplica en diagonal de derecha 2 -1 -2 a izquierda y viceversa1 3 1 1 -2 1 = [-1 + 6 + 4] – [-1 - 6 - 4] 2 -1 -2 = [9] – [-11] = 9 + 11 = 20El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:Det (A1) X Y Z 5 -2 1Para sacar el determinante de X remplazamos los -1 -1 -2 coeficientes de la columna de X por los terminos 0 3 1 independientes:5-2 1 -1 -1 -2
- 5. Determinante (A1) X Y Z 5 -2 1 Para hallar el Determinante de (A1) se hace -1 -1 -2 igual que al Determinante (A): 0 3 1 5 -2 1 = [-5 -3 + 0] – [0 -30 + 2] -1 -1 -2 = [-8] – [-28] = -8 + 28 = 20Determinante (A2) X Y Z 1 5 1 Para obtener el determinante de Y remplazamos los 2 -1 - 1 coeficientes de la columna de Y por los valores de 1 0de igualación, como en el determinante anterior: 1 5 1 2 -1 -2
- 6. Determinante (A2) X Y Z 1 5 1 = [-1 +0 -10] – [-1 +0 +10] 2 -1 -2 = [-11]-[9] 1 0 1 = -11 - 9 1 5 1 = -20 2 -1 -2Determinante (A3) X Y Z Para hallar el determinante de Z se 1 -2 5 remplaza la columna de Z por los coeficiente 2 -1 -1 de igualacion como lo hemos hecho 1 3 0 anteriormente: 1 -2 5 2 -1 -1 X Y Z 1 -2 5 = [0 +30 +2] - [-5 -3 +0] 2 -1 -1 = [32] – [-8] 1 3 0 = 32 + 8 1 -2 5 = 40 2 -1 -1
- 7. Utilizamos la formula :X = Det (A1) Y = Det (A2) Z = Det (A3) Det (A) Det (A) Det (A)X = 20/20 =1 Y = -20/20 =-1 Z = 40/20 =2Los valores de las variables son:X = 1 Y = -1 Z= 2
- 8. 3x -4y +6z = 7 Este sistema de ecuaciones de 3x3 se resulve de la misma 5x +2y -4z = 5forma que el primer ejercicio. x +3y -5z =3X Y Z TI 3 -4 6 7 Se obtiene el determinante del sistemas 5 2 -4 5 1 3 -5 3X Y Z 3 -4 6 = [-30 +90 +16] - [12 -36 +100] 5 2 -4 = [76] – [76] 1 3 -5 = 76 - 763 -4 6 = 0 5 2 -4 Este sistema de ecuaciones lineales de 3x3 no tiene solucion por que el determinante del sistema da 0
- 9. X +3y +z = 0 1 3 1 0 2x +y -3z = 5 2 1 -3 5-x +7y +9z = a -1 7 9 aSe obtieneel determinante del sistemaDeterminante (A) 1 3 1 = [9 + 14 +9] – [-1 -21 +54] 2 1 -3 = [32] – [-32]-1 7 9 = 32 +32 1 3 1 = 64 2 1 -3Det (A1) X Y Z 0 3 1 = [0 +35 +9a] – [a – 0 +135]5 1 -3 = [35 – 9a] – [a + 135] a 7 9 = 35 – 9a - a - 135 1 3 1 = -100 -10a 2 1 -3
- 10. Determinante (A2) X Y Z 1 0 1 = [45 + 2a +0] – [-5 -3a +0] 2 5 -3 = [45 + 2a ] – [-5 - 3a ]-1 a 9 = 45 + 2a + 5 + 3a 1 3 1 = 50 + 5a 2 1 -3Determinante (A3)X Y Z 1 3 0 = [a + 0 -15] – [0+ 35 +6a ]2 1 5 = [a – 15 ] – [35 + 6a ]-1 7 a = a – 15 – 35 – 6a 1 3 1 = -50 -5a 2 1 -3X= -100 -10a0/64 = -3205a/32 Y=50+5a/64=3250a/64 Z=-50 –5a/64=-3250a/64