Metodo de Gauss Jordan por el calculo de matriz inversa
- 1. Matriz inversa Matriz inversa (método de Gauss): Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania. Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz de orden n tal que al multiplicarla por A de la matriz identidad, diremos que ésta es la inversa de A y la indicaremos A-1. A·A-1=A-1·A=In Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss. Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A-1 que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado: Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente: Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar. A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta. Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:
- 2. Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v). El 2 que ocupa el lugar (1 2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2: El 3 que ocupa el lugar (1 2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3: Multiplicamos por – 1 a todos los términos de la primera fila: El valor del elemento (2 1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1: Necesitamos que el valor del lugar (2 2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:
- 3. Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad: Es decir: Estos valores corresponden a x, y, u, v. Comprobamos: No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse