metodos numericos

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas
dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx
cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio
pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj
klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
Proyecto Final
Métodos Numéricos
04/12/2013
Analco Bedolla Víctor Hugo
Bárcenas Galicia Antonio
Saldaña Beltrán Yotzelin

UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
MATERIA
MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFESORA
DRA. ROSA MARGARITA ÁLVAREZ GONZÁLEZ
PROYECTO FINAL
INTEGRANTES
ANALCO BEDOLLA VICTOR HUGO
BÁRCENAS GALICIA ANTONIO
SALDAÑA BELTRÁN YOTZELIN
4 DE DICIEMBRE 2013

EJERCICIO 1
Ajusta la siguiente función
g(x) = C1 + C2x + C3sen(πx)+ C4sen(2πx)
A los datos de la tabla, en el sentido de mínimos cuadrados
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x i 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
y i 0 2.1222 3.0244 3.2568 3.1399 2.8579 2.514 2.1639 1.8358
a) Grafica los datos y la función ajustada
Al ajustar a puntos dados se puede utilizar una combinación lineal de cualesquiera funciones
conocidas por el método de mínimos cuadrados. La curva ajustada a los puntos dados se puede
escribir como:
g(x) = C1f1(x)+ C2f2(x) + C3f3(x)+ ⋯+ Cnfn(x) = ∑ Cnfn(x)
N
n=1
Donde f1, f2 … fn son funciones conocidas
C1, C2 … Cn son coeficientes indeterminados
n … N número total de funciones prescritas
de manera que fn(x) ajuste a los puntos en el sentido de mínimos cuadrados.
La desviación de la curva con respecto a cada punto dado se define como:
fi = ∑ Cnfn(xi)
N
n=1
− yi , i = 1, 2, 3 …m (m = número de puntos dados)
El total de los cuadrados de desviación, es decir minimizar la suma de los errores al cuadrado es:
F = ∑(fi)2
m
i=1
= ∑ [∑ Cnfn(xi)
N
n=1
− yi]
2m
i=1
El mínimo de F ocurre cuando las derivadas parciales de F respecto a las incógnitas Ci, i =
1,2….m son cero
∂F
∂C1
= [2 ∑(∑ Cnfn(xi)
N
n=1
− yi)] ∗ f1(xi) = 0

∂F
∂C2
= [2 ∑(∑ Cnfn(xi)
N
n=1
− yi)] ∗ f2(xi) = 0
. .
. .
. .
∂F
∂Cn
= [2 ∑ (∑ Cnfn(xi)
N
n=1
− yi)] ∗ fn(xi) = 0
Con las derivadas parciales tenemos la ecuación matricial
[
∑ f1
2
∑ f2f1 ⋯ ∑ fnf1
∑ f1f2 ∑ f2
2
⋮ ∑ fnf2
⋮
∑ f1fn
⋮
∑ f2fn
⋱ ⋮
⋯ ∑fn
2
]
[
C1
C2
⋮
Cn
] =
[
∑ y
i
∑ y
i
f2
⋮
∑ y
i
fn]
Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos los valores de los coeficientes C que generan la
menor suma de errores al cuadrado de las funciones
Otra forma para encontrar la ecuación matricial se puede usar:
AC = y
Donde
A = [
f1(x1) f2(x1) ⋯ fn(x1)
f1(x2) f2(x2) ⋮ fn(x2)
⋮
f1(xm)
⋮
f2(xm)
⋮ ⋮
⋯ fn(m)
] C =
[
C1
C2
C3
⋮
Cn]
y =
[
y1
y2
y3
⋮
yn]
Que es equivalente a resolver
AAT
C = Ay (Sistema de ecuaciones normales)
Debido a que m › n
Por lo que la nueva forma matricial seria:
[
∑ f1
2
∑ f2f1 ⋯ ∑ fnf1
∑ f1f2 ∑ f2
2
⋮ ∑ fnf2
⋮
∑f1fn
⋮
∑ f2fn
⋱ ⋮
⋯ ∑ fn
2
]
[
C1
C2
⋮
Cn
] = [
f1(x1) f1(x2) ⋯ f1(xm)
f2(x1) f2(x2) ⋮ f2(xm)
⋮
fn(x1)
⋮
fn(x2)
⋮ ⋮
⋯ fn(m)
]
[
y1
y2
y3
⋮
yn]

PROCEDIMIENTO
Se realizará el método de mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes C1, C2, C3 y C4 de la
siguiente función
g(x) = C1 + C2x + C3sen(πx)+ C4sen(2πx)
Donde
f1 = 1,f2 = x,f3 = sen(πx) y f4 = sen(2πx)son funciones conocidas de manera que f(x)
ajuste a los puntos en el sentido de mínimos cuadrados
F(C1, C2, C3, C4) = ∑(g(xi) − yi)2
n
i=1
= ∑[(g(x1) − y1)2
+ (g(x2) − y2)2
+ (g(x3) − y3)2
+ (g(x4) − y4 )2
9
i=1
+ (g(x5) − y5)2
+ (g(x6) − y6)2
+ (g(x7) − y7)2
+ (g(x8) − y8 )2
+ (g(x9)− y9)2]
Construyendo el Sistema de Ecuaciones Normales correspondiente
F(C1,C2, C3 , C4)
= (C1 + C2x1 + C3sen(πx1)+ C4sen(2πx1) − y1)2
+ (C1 + C2x2 + C3sen(πx2)+ C4sen(2πx2)− y2)2
+ (C1 + C2x3 + C3sen(πx3) + C4 sen(2πx3) − y3)2
+ (C1 + C2x9 + C3sen(πx9) + C4sen(2πx9)− y9)2

Cuyas derivadas parciales son
∂F
∂C1
= [2(C1 + C2x1 + C3sen(πx1) + C4sen(2πx1)− y1)] ∗ 1
+ [2(C1 + C2x2 + C3sen(πx2) + C4sen(2πx2) − y2)] ∗ 1
+ [2(C1 + C2x9 + C3sen(πx9)+ C4 sen(2πx9) − y9)]∗ 1 = 0
∂F
∂C2
= [2(C1 + C2x1 + C3sen(πx1)+ C4sen(2πx1) − y1)] ∗ x1
+ [2(C1 + C2x2 + C3sen(πx2) + C4sen(2πx2)− y2 )] ∗ x2
+ [2(C1 + C2x9 + C3sen(πx9) + C4 sen(2πx9) − y9)]∗ x9 = 0
∂F
∂C3
= [2(C1 + C2x1 + C3sen(πx1) + C4sen(2πx1)− y1)] ∗ sen(πx1)
+ [2(C1 + C2x2 + C3sen(πx2)+ C4sen(2πx2) − y2 )]∗ sen(πx2)
+ [2(C1 + C2x9 + C3sen(πx9) + C4sen(2πx9)− y9)] ∗ sen(πx9) = 0

∂F
∂C4
= [2(C1 + C2x1 + C3sen(πx1)+ C4sen(2πx1)− y1)] ∗ sen(2πx1)
+ [2(C1 + C2x2 + C3sen(πx2) + C4 sen(2πx2) − y2)] ∗ sen(2πx2)
+ [2(C1 + C2x9 + C3sen(πx9)+ C4sen(2πx9) − y9)] ∗ sen(2πx9) = 0
Con las derivadas parciales podemos encontrar nuestra forma matricial
[
m ∑ xi ∑ sen(πxi) ∑sen(2πxi)
∑ xi ∑ xi
2
∑xisen(πxi) ∑xisen(2πxi)
∑ sen(πxi)
∑sen(2πxi)
∑ xisen(πxi)
∑ xisen(2πxi)
∑ sen(πxi)2
∑ sen(πxi) sen(2πxi)
∑ sen(πxi) sen(2πxi)
∑ sen(2πxi)2
]
[
C1
C2
C3
C4
] =
[
∑ yi
∑ yixi
∑ yisen(πxi)
∑ yisen(2πxi)
]
Por lo tanto nuestra matriz es
[
9 4.5 6.3138 0
4.5 2.85 3.1569 −1.5388
6.3138
0
3.1569
−1.5388
5
−0
0
5
][
C1
C2
C3
C4
] = [
20.9147
11.0623
16.5225
−0.3990
]
Resolviendo la matriz nos queda que los valores de los coeficientes C1, C2, C3 y C4 de la función
g(x) son:
C1= -1.8576
C2= 3.8144
C3= 3.2419
C4 = 1.0941
Se tomara el sistema AAT
C = Ay debido de que es más fácil minimizar la función en el programa
MATLAP que minimizar la función F(C1,C2, C3, C4) = ∑ (g(xi) − yi)2n
i=1

MATLAB
>> format short
% ‘x’ y ‘y’ son los puntos dados
>> x = [0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9];
>> y = [0 2.122 3.0244 3.2568 3.1399 2.8579 2.514 2.1639 1.8358];
% Usamos la función plotpara graficar puntos
>> plot(x, y, 'o')
%Para construir la matriz A usamos:
>> A=[ones(1,length(x));x;sin(pi*x);sin(2*pi*x)]
>> AAtr=A*A'
%Para calcular la matriz y usamos
>> Ay= A*y'
>> C = AAtr[Ay]
>> fplot('-1.8576 + 3.8144*x + 3.2419*sin(pi*x) + 1.0941*sin(2*pi*x)',[.1,.9], 'r' )
>> plot(x,y,'ob'); hold on; fplot('-1.8576 + 3.8144*x + 3.2419*sin(pi*x) + 1.0941*sin(2*pi*x)',[.1,.9], 'r' )
Grafica de los datos
Grafica de la función ajustada en los puntos dados

EJERCICIO 2
La curva formada por un cable colgante se llama catenaria. Supongamos que el punto mas bajo de
una catenaria es el origen (0,0), entonces la ecuación de la catenaria es y=C cosh(x/C) – C. Usando
un programa hecho por usted, de alguno de los métodos numéricos visto en el curso:
a) Comprueba que la catenaria que pasa por los puntos (±10,6) es
y=9.1889cosh(x/p.1889) – 9.1889
b) Halla la ecuación de la catenaria que pasa por los puntos (±12,5)
SOLUCION (método de Newton – Raphson)
a) Nos dicen que la catenaria pasa por los puntos (±10,6). Además se supone que en el origen
se presencia el punto de intersección de la función.
Representación grafica de la función:
Como la grafica es simétrica, podemos utilizar solamente el intervalo (0,10)
Consideremos elpunto (10,6) y considerando el hecho de que nos piden demostrar que C=9.1889,
remplazaremos los valores x,y respectivamente:

6=Ccosh(
10
𝐶
) – C
0=Ccosh(
10
𝐶
) – C – 6
Por lo que nos queda una nueva función que podemos llamar Φ(c)
Φ(c)=Ccosh(
10
𝐶
) – C – 6
Derivamos la función
Φ’(c)=cosh(
10
𝐶
) –
10senh(
10
𝐶
)
𝐶
– 1
A continuación buscaremos la convergencia de la función, para ello determinaremos dos funciones
G(c) y H(c) tal que: Φ(c)= G(c) – H(c)
G(c)= Ccosh(
10
𝐶
)
H(c)= C + 6
Evaluamos estas funciones en el intervalo (0,10]
C G(c) H(c)
1 11013.232 7
2 148.4198 8
3 42.10094 9
4 24.52915 10
5 18.81097 11
C G(c) H(c)
6 16.15009 12
7 15.44334 13
8 15.10739 14
9 15.15116 15
10 15.43080 16

Representación grafica:
Basados en la grafica, podemos decir que la raíz se encuentra en [9,10]
Observemos que:
Φ(9)= G(9) – H(9)=0.1511614
Φ(10)= G(10) – H(10)= - 0.56919
Φ(9)*Φ(10)<0
Por lo que tenemos que 𝐶0=9.1 la convergencia de Newton Raphson
C Φ(c) Φ‘(c)
9 0.1511614 –0.82128
9.1 0.0701715 –0.79867
9.2 –0.0086057 –0.77701
9.3 –0.0852620 –0.75625
9.4 –0.1598840 –0.73632
9.5 –0.2325536 –0.71719
C Φ(c) Φ‘(c)
9.6 –0.303348 –0.82128
9.7 –0.372342 –0.68116
9.8 –0.439603 –0.66418
9.9 –0.505200 –0.64784
10 –0.569193 –0.63212

Remplazamos Φ(c) y Φ’(c) en el método de Newton Raphson
Φ 𝑛+1 = Φ 𝑛 –
𝐶 𝑛cosh(
10
𝐶 𝑛
) – 𝐶 𝑛 – 6
cosh(
10
𝐶 𝑛
) –
10senh(
10
𝐶 𝑛
)
𝐶 𝑛
– 1
Comprobamos que con 𝐶3=9.1889414
y(9.1889414) = 9.1889414 cosh(
10
9.1889414
) – 9.1889414
Se cumple que y(9.1889414)=6.000000002
b) Considerando que usamos la misma función podemos decir que es simétrica , por lo que
podemos utilizar el intervalo (0,12], es decir que tendremos lo puntos [12,5], por lo que
tenemos lo siguiente:
y=Ccosh(
𝑥
𝐶
) – C
5=Ccosh(
12
𝐶
)– C
0=Ccosh(
12
𝐶
) – C– 5
De igualforma llamaremos a esta nueva función α(c)
α(c)=Ccosh(
12
𝐶
) – C– 5
derivamos la función
α’(c)=cosh(
12
𝐶
) –
12senh(
12
𝐶
)
𝐶
– 1
De igual forma buscaremos la convergencia de la función, para ello determinaremos dos funciones
A(c) y B(c) tal que: α(c)= A(c) – B(c)
n 𝐶 𝑛
0 9.1
1 9.1878595
2 9.1889412
3 9.1889414

A(c)= Ccosh(
12
𝐶
)
B(c)= C + 5
Evaluamos estas funciones en el intervalo (0,12]
Como la raíz no se encuentra en el intervalo deseado,tomaremos por tanto el intervalo (0, 16]
Representación grafica
C A(c) B(c)
1 81377.3957 6
2 403.4312 7
3 81.9246 8
4 40.27064 19
5 27.78473 10
6 22.57317 11
C A(c) B(c)
7 20.064800 12
8 18.819276 13
9 18.257692 14
10 18.106555 15
11 18.220895 16
12 18.516967 17
C A(c) B(c)
13 18.94306 18
14 19.46553 19
15 20.06152 20
16 20.71493 21

Ecuación de la catenaria
podemos apreciar que la raíz se encuentra en [15,16]
α(15)= G(15) – H(15)=0.061524
α(16)= G(16) – H(16)= - 0.285067
α(15)* α(16)<0
Por lo que tenemos que 𝐶0=15.1 la convergencia de Newton Raphson
Remplazamos α(c) y α’(c) en el método de Newton Raphson
α 𝑛+1 = α 𝑛 –
𝐶 𝑛cosh(
12
𝐶 𝑛
) – 𝐶 𝑛 – 5
cosh(
12
𝐶 𝑛
) –
12senh(
12
𝐶 𝑛
)
𝐶 𝑛
– 1
Comprobamos que con 𝐶3=15.16702831
y(15.16702831) = 15.16702831 cosh(
12
15.16702831
) –15.16702831
Se cumple que y(15.16702831)=5.000000012
C α(c) α ‘(c)
15 0.061524 –0.373059
15.1 0.0245023 –0.367409
15.2 –0.011962 –0.361900
15.4 –0.083269 –0.351255
15.6 –0.152495 –0.341984
15.8 –0.21973 –0.331354
16 –0.28506 –0.322054
n 𝐶 𝑛
0 15.1
1 15.1666893
2 15.16771756
3 15.16702831

EJERCICIO 3
En una reacción química, una molécula de una sustancia A se combina con una molécula de una
sustancia B para formar una molécula de una sustancia c. Se sabe que la concentración y(t) de la
sustancia C en el instante t es la solución del problema de valor inicial
𝑦′
= 𝑘( 𝑎 − 𝑦)( 𝑏 − 𝑦) 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0
Donde k es una constante positiva, y a y b son las concentraciones iniciales de las sustancias A y B,
respectivamente. Supongamos que k=0.01, a=70milimoles/litro y b=50milimoles/litro. Usa el método
Runge-Kutta 4, programado, con h=0.5 para hallar la solución en el intervalo [0,20]
a) Compara la solución numérica con la solución exacta y(t)=350(1-e-0.2t)( 7-5e-0.2t ), dibujando
ambas.
PROCEDIMIENTO
Resolveremos una EDO por el método Runge-Kutta 4 el cual tiene la siguiente forma:
𝑦′
= 𝑓( 𝑥, 𝑦) 𝑓( 𝑥0) = 𝑦0
𝑦 𝑘+1 = 𝑦 𝑘 +
ℎ(𝑓1 + 2𝑓2 + 2𝑓3 + 𝑓4)
6
Donde
𝑓1 = 𝑓(𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘)
𝑓2 = 𝑓(𝑥 𝑘 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑘 +
ℎ
2
∗ 𝑓1)
𝑓3 = 𝑓(𝑥 𝑘 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑘 +
ℎ
2
∗ 𝑓2)
𝑓4 = 𝑓(𝑥 𝑘 + ℎ , 𝑦 𝑘 + ℎ ∗ 𝑓3)
Y 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 + ℎ
𝑘 = 0,1,2,3 ….

Nosotros tenemos la EDO
𝑦′
= 𝑘( 𝑎 − 𝑦)( 𝑏 − 𝑦) 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0
Para los valores
𝑘 = 0.01 𝑎 = 70 𝑦 𝑏 = 50
Tenemos
𝑦′
= .01(70 − 𝑦)(50 − 𝑦)  𝑦′
= .01𝑦2
+ 1.2𝑦 + 35
Esta es la ecuación que resolveremos mediante el método Runge-Kutta 4, con un incremento h=0.5,
en un intervalo [0,20].
𝑦′
= 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 01𝑦2
+ 1.2𝑦 + 35
𝑦(0) = 0  𝑦0 = 0 𝑦 𝑥0 = 0
ℎ = 0.5
Nuestro intervalo es [0,20] con un incremento de h=0.5, esto nos lleva a un total de 40 valores para
k, por ser un procedimiento bastante tedioso solo encontraremos el valor “y1” mismo que después
comprobaremos mediante el programa realizado en matlab; siguiendo el procedimiento del método
Runge-Kutta necesitamos calcular f1, f2, f3, y f4, para obtener “y1” .
Como nuestra función solo depende de ‘y’ utilizaremos los valores de la siguiente forma:
𝑓1 = 𝑓( 𝑦 𝑘)  𝑓1 = 𝑓( 𝑦0) = 35
𝑓2 = 𝑓 ( 0 +
. 5
2
∗ 35) = 𝑓( 8.75) = 25.26
𝑓3 = 𝑓 ( 0 +
. 5
2
∗ 25.26) = 𝑓( 6.31) = 27.81
𝑓4 = 𝑓( 0 + .5 ∗ 27.81) = 𝑓( 13.90) = 20.24
𝑦1 = 0 +
. 5(35 + 2 ∗ 25.26 + 2 ∗ 27.81 + 20.24)
6
= 13.45

Desarrollamos el siguiente programa en matlab, para obtener cada uno de los valores se creó un
ciclo for.
Donde los primeros 10 valores de “y” son:
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
0 13.4511 21.0618 25.5075 28.1502 29.7371 30.6958 31.2771 31.6303 31.8451
Como podemos comprobar el resultado que obtuvimos para y1 es el mismo que y2,ya que el ciclo no
nos permite iniciar en cero. Por lo que los valores se ven recorridos.
%Método de Runge-Kutta de orden 4
%Aproximaremos la solución de la EDO y'= k(a-y)(b-y) con
y(0)=0
% En el intervalo [0,20] con un incremento h=0.5
%Donde k=0.01; a=70 y b=50
clear all
clc
%esta es la ecuación con la que trabajaremos
%y'=.01y^2-1.2y+35
%establecemos nuestro intervalo [p,q]
p=0; %inicio del intervalo
q=20; %fin del intervalo
h=.5; %incremento del intervalo
%procedemos a realizar un vector tal que sus puntos se
encuentren
%dentro del intervalo con un incremento igual a .05.
x=linspace(p,q,41);% vector x
y(1)=0; %esta es nuestra condición inicial y(0)=0
for i=1:((q-p)/h)
f1=((.01*(y(i)^2))-(1.2*y(i))+35);
f2=((.01*(y(i)+((h/2)*f1)^2))-(1.2*(y(i)+((h/2)*f1)))+35);
f3=((.01*(y(i)+((h/2)*f2)^2))-(1.2*(y(i)+((h/2)*f2)))+35);
f4=((.01*((y(i)+(h*f3))^2))-(1.2*(y(i)+(h*f3)))+35);
y(i+1)=(y(i)+(((h*(f1+2*f2+2*f3+f4))/6)));
end
y
plot(y,'g')%grafica de la solución obtenida por RG4
%la compararemos con la solución exacta la cual es la función
%y(t)=350(1-e^(-.2t))/(7-5e^(-.2t))
hold on
fplot('350*(1-(exp(-.2*x)))/(7-(5*exp(-.2*x)))',[0,41])

Graficamos los valores obtenidos:
Calculamos la solución a la EDO
𝑦′
= 𝑘( 𝑎 − 𝑦)( 𝑏 − 𝑦) 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0
Tenemos que
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘( 𝑎 − 𝑦)( 𝑏 − 𝑦)
Hacemos separación de variables
𝑑𝑦
( 𝑎 − 𝑦)( 𝑏 − 𝑦)
= 𝑘𝑑𝑡
Integramos
1
𝑏 − 𝑎
∫
1
(𝑎 − 𝑦)
−
1
(𝑏 − 𝑦)
= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
ln
𝑏 − 𝑦
𝑎 − 𝑦
= 𝑘𝑡 (𝑏 − 𝑎)
Aplicamos la exponencial y acomodando el resultado nos queda:
𝑦( 𝑡) =
𝑎𝑏[1 − 𝑒−(𝑎−𝑏)𝑘𝑡
]
𝑎 − 𝑏𝑒−(𝑎−𝑏)𝑘𝑡

Sustituyendo nuestros valores tenemos la solución
𝑦( 𝑡) =
350[1− 𝑒−0.2𝑡
]
7 − 5𝑒−0.2𝑡
Graficamos esta función y obtenemos
Comparando ambas soluciones tenemos:
Lo que nos muestra uno de los principales defectos de este programa es que elerror es
acumulativo.

metodos numericos

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (10)

Similar a metodos numericos (20)

Más de Victor Hugo Analco (6)

Último (20)

metodos numericos