Presentacion sistemas numericos

Escuela Politécnica Nacional
Facultad de Ingenier´ıa de Sistemas
Sistemas, Representación y Conversiones Numéricas
Añasco Loor Cesar Washington
Apolo Romero Claribel Margarita
Defaz Guachamin Cristian Vinicio
Oviedo Moreno John Danilo
Fundamentos de Ciencias de la Computación - 2015A - SIS-404
27 de julio 2015
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Índice
1 Sistemas de Numeración
Sistema Binario
Sistema Octal
Sistema Hexadecimal
2 Conversiones y Operaciones entre distintas bases
Conversiones de bases Bn a B10 y B10 a Bn
Conversiones de bases arbitrarias Bn - Bm
3 Representaciones Numéricas
Enteros
Reales
4 Ejercicios Propuestos
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Sistemas de Numeración
Los sistemas y códigos de Numeración
Los números pueden representarse en diversos sistemas de numeración
posicionales o ponderados que se caracterizan por asignar a cada número
un conjunto de s´ımbolos o cifras cada una de las cuales tiene asignado un
peso. Se diferencian por la base, que es el número de s´ımbolos distintos
utilizados para la representación de las cantidades en el mismo. La base
diez o decimal, es el sistema de numración utilizado en la vida
cotidiana[4], pero no es el único.
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Sistemas de Numeración Sistema Binario
El Sistema Binario
Este sistema utiliza solamente dos s´ımbolos distintos, que se
representan gráficamente por 0 y 1 y reciben el nombre de ”bit”.
Prácticamente su uso es exclusivo de equipos electrónicos
informáticos, de comunicaciones y de control automático, debido a la
rapidez de respuesta de dichos aparatos y a la sencillez de las
operaciones aritméticas binarias.
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Sistemas de Numeración Sistema Octal
El Sistema Octal
Este sistema alberga ocho s´ımbolos diferentes (del 0 a 7).
El interés del sistema octal proviene de que, al ser el número 8 una
potencia de 2, su conversión al sistema binario y viceversa se torna
muy sencilla
Por ejemplo
Dado el número 325 en base 8, convertimos cada cifra a binario.
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Sistemas de Numeración Sistema Hexadecimal
El Sistema Hexadecimal
El sistema de numeración hexadecimal utiliza 16 s´ımbolos diferentes:
los d´ıgtos del 0 al 9 y seis letras del alfabeto en mayúsculas
relacionados de la siguiente manera:
Se utiliza este sistema en la informática porque simplifica la expresión
binaria de los objetos.
Es as´ı que con el byte, la Unidad Básica de Información compuesto
por 8 bits (conjunto de unos y ceros) el cual puede representar 256
valores desde el 0 hasta el 255 se la puede simplificar a 2 d´ıgitos con
este sistema.
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Conversiones y Operaciones entre distintas bases
Conversiones entre bases diferentes
Existen varios métodos para convertir números de una base a otra. Como
el sistema decimal es el sistema de numeración de uso común, primero se
presentan los métodos para convertir de base 10 a otra base y de otra base
a base 10 . Después se explicará la conversión entre dos bases arbitrarias
(Bn-Bm).[3]
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Conversiones y Operaciones entre distintas bases Conversiones de bases Bn a B10 y B10 a Bn
Conversiones a base 10
De binario a decimal
La conversión de binario a decimal se hace utilizando el desarrollo del
número binario a base de potencias de 2, como se refleja en la figura.
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Conversiones desde base 10
De decimal a binario
La conversión de número decimal a binario se obtiene dividiendo
sucesivamente para 2, la base binaria. Los restos de las divisiones son
las cifras binarias, leyéndolas de abajo hacia arriba.
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De decimal a octal
Al igual que la conversión binaria, la conversión de número decimal a
octal también se logra dividiendo sucesivamente, pero en este caaso
para su base: 8. Los restos de las divisiones son las cifras binarias,
igualmente su lectura es desde abajo hacia arriba.
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De decimal a octal
Un método alternativo y más corto ser´ıa el convertir el número
decimal a binario para posteriormente agruparlos en grupos de 3,
deduciendo as´ı su equivalente.
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De octal a decimal
La conversi´on de un n´umero octal a decimal es igualmente sencilla.
A cada una de estras cifras le agregamos un multiplicador por 8 (*8).
A Cada “*8 lo elevamos, de derecha a izquierda, a una potencia
consecutiva empezando desde el cero.
Resolvemos y sumamos.
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De decimal a hexadecimal
La conversion de decimal a hexadecimal puede utilizarse mediante el
uso de la division repetida entre 16.
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De decimal a hexadecimal
O podemos hallar el binario del n´umero a convertir, formar grupos de
4 de derecha a izquierda:
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De hexadecimal a decimal
Multiplicamos el valor de posici´on de cada columna por el d´ıgito
hexadecimal correspondiente.
El resultado del n´umero decimal equivalente se obtiene, sumando
todos los productos obtenidos en el paso anterior
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Conversiones y Operaciones entre distintas bases Conversiones de bases arbitrarias Bn - Bm
Bases distintas de B10
Antecedentes
Nuestros antepasados sintieron la necesidad de contar y, a partir de
los 10 dedos de las manos, inventaron la numeración decimal, algunos
se quisieron pasar de listos y señalaron que tenemos más de 20 dedos,
de las manos y de los pies. Complicaron la cuestión, pero la
numeración vigesimal (base 20) no prosperó.[2]
Se podr´ıan establecer numeraciones distintas a la decimal
fundamentándose en otras bases. As´ı se escribir´ıan los 20 primeros
números según las diferentes sistemas de numeración:
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Conversiones entre bases distintas de B10
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Bases distintas de B10
Antecedentes
La escritura de los números en las bases superiores a 10 requerirá la
creación de nuevos s´ımbolos: sustituyéndolos por letras. Cuanto
mayor es la base, menos cifras o d´ıgitos se necesitarán para escribir un
número. Ej. el Número 1000 en base 10: [2]
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Bases diferentes de 10 más utilizadas
El sistema duodecimal (Base12)
Este sistema ofrec´ıa ciertas ventajas, ya que 12 tiene un mayor número de divisores
que el 10, aunque no se puede abandonar el sistema decimal, al estar
universalmente adoptado. [2]
El sistema sexagesimal (Base 60)
Fue desarrollado por la civilización mesopotámica y se lo utiliza para medir el
tiempo y para los ángulos en el ámbito de las ciecias exactas.
Si decimos por ejemplo, 8 horas 20 minutos y 15 segundos (que podr´ıa escribirse
lógicamente 8,20,15) solo en segundos ser´ıa:
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Conversiones entre Bases distintas de B10
Convertir de
La escritura de los números en las bases superiores a 10 requerirá la
creación de nuevos s´ımbolos: sustituyéndolos por letras. Cuanto
mayor es la base, menos cifras o d´ıgitos se necesitarán para escribir un
número. Ej. el Número 1000 en base 10: [2]
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Representaciones Numéricas
Representaciones Numéricas
En esta sección se explica el modo en que las computadoras representan
números negativos mediante el uso de la notación de complementos a uno
y dos. Primero explicaremos los diferentes métodos existentes para
representar negativos, luego el complemento a uno y detallaremos cómo se
forma el complemento a dos de un número binario, y el por qué ésta nueva
expresión representa el valor negativo de dicho binario.
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Representaciones Numéricas Enteros
Métodos de representación de enteros
Binario Puro
Los números escritos en Binario Puro sólo pueden ser positivos, ya
que, en este tipo de representación los números negativos no están
contemplados.
En este sentido, su rango de representación únicamente va desde el
número
010
hasta el número
(2n
− 1)10
donde n es el número de bits dedicados a representar a los números
enteros.
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De este modo,en este sistema de numeración, el rango de valores que
puede tomar cualquier cantidad numérica x, viene dado por la expresión:
010 ≤ x ≤ (2n
− 1)10
Ejemplo:
Si n = 8, el rango de representación en binario puro es:
010 ≤ x ≤ (28 − 1)10
010 ≤ x ≤ (256 − 1)10
010 ≤ x ≤ (255)10
Por lo tanto, determinamos que solamente podemos representar números
desde 0 hasta 255 en el sistema decimal.
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Magnitud-Signo
Llamada Signo Módulo, es un formato que imita nuestra escritura
manual de números enteros, pues estamos acostumbrados a escribir
los enteros separando el signo de la magnitud del número, por
ejemplo, -32, +25.
Si no hay signo, sobreentendemos que se trata de un número entero
positivo.
En este método se reserva un bit para el signo, el resto de bits
representan a la magnitud. Por tanto, dado un número en Signo
Magnitud de n bits
El primer bit tendrá entonces un solo valor: 1 para negativos y 0 para
positivos
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Magnitud-Signo
Es as´ı que si trabajamos con m bits, tendremos disponibles m - 1 bits
para escribir la magnitud del número en binario.
El número de magnitud más grande que podremos escribir en este
espacio será aquel donde todos los bits están en uno (111guatda.com/cmx.p111...11),
entonces:
Máximo: 2m−1 − 1
M´ınimo: -(2m−1 − 1)
Entonces podremos representar un número desde 0 hasta 255 en el
sistema decimal.
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Ejemplo:
En Signo Magnitud, para n = 8, los números 2310 y −2310 se
escriben:
Como muestra el ejemplo, los dos tienen la misma magnitud, diferenciándose
solamente, en el bit de signo, que al tratarse de un número negativo, su valor es 1
en lugar de 0.
Por tanto, 2310 = 00010111SM y −2310 = 10010111SM
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Complemento a 1
En este sistema de representación, los números positivos se expresan
igual que en Signo Magnitud o que en Binario Puro.
Sin embargo, para escribir los números negativos se utiliza el
Complemento a la Base Menos 1.
De forma normalizada, el Complemento a la Base Menos 1 de un
número entero positivo N de base b, se expresa de la siguiente
manera:
Cb−1(N) = bn − 1 − N [1]
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Complemento a 1
Si n es el número de cifras destinadas a representar al número,
entonces en codificación binaria, el Complemento a 1 (C1) de un
número entero positivo (N) se puede expresar como:
C1(N) = 2n − 1 − N = Nc1 [1]
El rango de representación será el mismo que en Magnitud-Signo:
(−2n−1 + 1)10 ≤ x ≤ (2n−1 − 1)10
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Ejemplo:
El negativo del n´umero 8610 en complemento a 1 se representa como:
Entonces, el complemento a uno no es mas que complementar cada bit mediante
el intercambio de ceros por unos y viceversa. Como apunte adicional, el cero
decimal tiene 2 formas de representarse:
010 = (0000000000000000)C1 = (1111111111111111)C1
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Complemento a 2
En este sistema de representación, los números positivos se expresan
igual que en el sistema Magnitud- Signo o que en Binario Puro.
Sin embargo, para escribir los números negativos se utiliza el
Complemento a la Base.
Formalmente, el Complemento a la Base de un número entero
positivo N de base b, se expresa de la siguiente manera:
Cb(N) = 2n − N [1]
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Complemento a 2
Si n es el número de cifras destinadas a representar al número,
entonces en codificación binaria, el Complemento a 2 (C2) de un
número entero positivo (N) se puede expresar como:
C2(N) = 2n − N = Nc2 [1]
El rango de representación del complemento a 2 viene dado por:
(−2n−1)10 ≤ x ≤ (2n−1 − 1)10
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Ejemplo:
El negativo del número 910 en complemento a 2 se representa como:
Entonces, el complemento a 2 se obtiene tomando el complemento a 1, y
sumándole 1 al bit menos significativo, en este caso, al primer bit desde la
derecha.
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Representaciones Numéricas Reales
Representación de Reales en el computador
Ahora nuestro objetivo es representar un número con un punto decimal en
sistema binario (por ejemplo, 101.01, que no se lee ciento uno punto cero
uno ya que es, de hecho, un número binario, ó 5,25 en el sistema decimal).
El estándar IEEE 754 define cómo codificar un número real.
El Estándar IEEE 754
El estándar IEEE 754 ha sido definido por el Instituto de Ingenieros
Eléctricos y Electrónicos (Institute of Electrical and Electronics Engineers,
IEEE) y establece dos formatos básicos para representar a los números
reales en la computadora digital: precisión simple y precisión doble. [1]
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Precisión Simple
Establece 32 bits para escribir un número real, de ellos, el primer bit,
que por lo general es el de mayor peso, (aquel que se encuentra más a
la izquierda) representa el signo más/menos.
El exponente se codifica utilizando 8 bits inmediatamente después del
signo.
Los bits después del punto decimal son los 23 bits restantes que
representarán a la ’mantisa’:
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Precisión Doble
Establece 64 bits para escribir un número real, de los cuales, el primer
bit de mayor peso, (aquel que se encuentra más a la izquierda)
representa el signo más/menos,
El exponente se codifica utilizando 11 bits inmediatamente después
del signo.
Los bits después del punto decimal son los 52 bits restantes que
representarán a la ’mantisa’:
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Ejemplo de representación de reales
Mediante el siguiente ejemplo, detallaremos cómo el computador
representa un número real.
Representar el valor -125,125 en el computador, utilizando precisión
simple, es decir, 32 bits.
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Procedimiento para representar reales
1) Como -125,125 es negativo, el primer bit será 1.
2) Su representación en el sistema binario (base 2), aplicando las reglas de
conversiones es: 1111101,0010.
3) Normalizamos el binario recorriendo cada término de derecha a izquierda
como en notación cient´ıfica; as´ı, obtenemos: 1, 1111010010x(10)6
.
4) El exponente se suele representar en Exceso a 2n−1
− 1, donde n es el
número de bits asignado para el exponente (8) por tanto tenemos:
28−1
− 1 = 127
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Procedimiento para representar reales
5) Sumándole 127 al exponente, que en este caso es 6, da 13310 y
convertido a binario: 1100001012.
6) Colocamos esta cantidad en los 8 siguientes casilleros de la gráfica:
7) Finalmente la mantisa estará compuesta por la parte decimal de -125,125
obtenida en la normalización (paso 3), que es: 1111010010, la ubicamos en
los 23 bits siguientes y en aquellos que queden vac´ıos, lo completamos con
ceros:
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Por lo tanto, el número −125, 12510 quedará representada como
110000101111101001000000000000002
, el cual puede ser convertido a cualquier otro sistema numérico, como el
hexadecimal: C2FA400016
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Casos especiales del Estándar IEEE 754
Tanto en precisión doble como en precisión simple, existen algunos casos
especiales que dependen de los valores del signo, del exponente y de la mantisa:
[1]
Figura: Casos especiales en el estándar IEEE 754 con precisión simple o doble.
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Ejercicios Propuestos
Transformaci´on de decimal a binario
12.80 =1100.11001
12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
0.8×2 = 1.6 1
0.6×2 = 1.2 1
0.2×2 = 0.4 0
0.4×2 = 0.8 0
0.8×2 = 1.6 1
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Transformaci´on de binario a decimal
1001010.10 =74.5
0×20 = 0
1×21 = 2
0×22 = 0
1×23 = 8
0×24 = 0
0×25 = 0
1×26 = 64
suma=74
0.5 =
0.1
2
42 / 64

Transformaci´on de binario a octal
001 001 010 =112
001⇒ 1 × 20 = 1
001⇒ 1 × 20 = 1
010⇒ 1 × 21 = 2
43 / 64

Transformaci´on de octal a binario
4710 =100 111 001 000
4 2
0 2 2
0 1
7 2
1 3 2
1 1
1 2
1 0
44 / 64

Transformaci´on de binario a hexadecimal
1111 1101 0111 0011 =FE73
1×20 = 1
1×21 = 2
1×22 = 4
1×23 = 8
suma=15⇒ F
1×20 = 1
0×21 = 0
1×22 = 4
1×23 = 8
suma=14⇒ E
45 / 64

1×20 = 1
1×21 = 2
1×22 = 4
0×23 = 0
suma=7
1×20 = 1
1×21 = 2
0×22 = 0
0×23 = 0
suma=3
46 / 64

Transformaci´on de hexadecimal a binario
9F2 =100111110010
9 2
1 4 2
0 2 2
0 1
F=15
15 2
1 7 2
1 3 2
2 2
0 1
2 2
0 1 2
1 0
47 / 64

Transformaci´on de octal a hexadecimal
754 =0001 1110 1100
De octal a binario
7 2
1 3 2
1 1
5 2
1 2 2
0 1
4 2
0 2 2
0 1
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754 =1EC
De binario a hexadecimal
0001⇒ 1 × 20 = 1
suma=1
1110⇒ 1 × 21 = 2
1×22 = 4
1×23 = 8
suma=14⇒ E
1100⇒ 1 × 22 = 4
1×23 = 8
suma=12⇒ C
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Transformaci´on de hexadecimal a octal
FAD =111 110 101 101
De hexadecimal a binario
F= 15 15 2
1 7 2
1 3 2
1 1
A=10 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1
D=13 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
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111 110 101 101=7655
De binario a octal
111⇒ 1 × 20 = 1
1×21 = 2
1×22 = 4
suma=7
110⇒ 1 × 21 = 2
1×22 = 4
suma=6
101⇒ 1 × 20 = 1
1×22 = 4
suma=5
101⇒ 1 × 20 = 1
1×22 = 4
suma=5
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Conversion de B(N) a B10
B3 a B10
1200012201=32959
1×30 = 1
0×31 = 0
2×32 = 18
2×33 = 54
1×34 = 81
0×35 = 0
0×36 = 0
0×37 = 0
2×38 = 13122
1×39 = 19683
suma=32959
52 / 64

B9 a B10
1200012201=473’522.113
1×90 = 1
2×92 = 162
2×93 = 1458
1×94 = 6561
2×98 = 86093442
1×99 = 387420489
suma=473’522.113
53 / 64

B17 a B10
1200012201=132.539’485.305
1×170 = 1
2×172 = 578
2×173 = 9826
1×174 = 83521
2×178 = 13951514882
1×179 = 118587876568
suma=132.539’485.305
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Conversion de B(N) a B(M)
B7 a B4
635=11000
5×70 = 5
3×71 = 21
6×72 = 294
suma=320
320 4
0 80 4
0 20 4
0 5 4
1 1
55 / 64

B5 a B15
342 = 67
2×50 = 2
4×51 = 20
3×52 = 75
suma=97
97 15
7 6
En B15⇒ 67
56 / 64

B8 a B12
1644 = 658
4×80 = 4
4×81 = 32
6×82 = 384
1×83 = 512
suma=932
932 12
8 77 12
5 6
En B12⇒ 658
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Representacion de enteros en el computador
Almacena en 8 bits el 12 = 0000 1100
12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
Signo= +⇒ 0
Almacenado⇒ 0000 1100
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Almacena en 16 bits el -245 = 100000000 11110101
245 2
1 122 2
0 61 2
1 30 2
0 15 2
1 7 2
1 3 2
1 1
Signo= - ⇒ 1
Almacenado⇒ 10000000 11110101
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Representacion de reales en el computador
12.75=0 10000010 10011000000000000000000
12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
0.75×2 = 1.5 1
0.5×2 = 1 1
⇒ 1100.11
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signo= 0 ⇒ +
Exponente = 127 + 3=130
130 2
0 65 2
1 32 2
0 16 2
0 8 2
0 4 2
0 2 2
0 1
Representacion⇒ 0 10000010 10011000000000000000000
61 / 64

1 10000011 11111000000000000000000= -31.05
signo= 1 ⇒ −
10000011
1×20 = 1
1×21 = 2
1×27 = 128
suma=131
Exponente = 131 - 127=4
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1.11111⇒ 11111.1
1×20 = 1
1×21 = 2
1×22 = 4
1×23 = 8
1×24 = 16
suma=31
1×0.5 = 0.5
Equivale a⇒ −31.05
63 / 64

Carlospes.com.
Curso/tutorial de representaciÓn de los datos.
urlhttp://www.carlospes.com/cursorepresentaciondatos/0503compleme
André Jouette.
El secreto de los números.
Ediciones Robinbook, 2008.
Héctor Antonio Villa Mart´ınez.
Sistemas de numeración y aritmética binaria.
Technical report, Technical report, Universidad de Sonora, Hermosillo,
Sonora, 2008.
Enrique Mandado Pérez, Enrique Mandado, and Yago Mandado.
Sistemas electrónicos digitales.
Marcombo, 2007.
64 / 64

GRACIAS POR SU ATENCI´ON.
64 / 64

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