Problema resuelto con Gauss
- 1. Resolución de problemas mediante el método de GAUSS Para resolver un problema algebraicamente hay que seguir los siguientes pasos: 1º Plantear el sistema de ecuaciones lineales. 2º Resolver el sistema por el método de Gauss: * Triangularizar el sistema. * Resolver de abajo hacia arriba. VAMOS A VER UN EJEMPLO CONCRETO.
- 2. Problema concreto: Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50€ y un total de 2000€. Si el número de billetes de 10€ es el doble que el número de billetes de 20€, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.
- 3. Planteamos el sistema de ecuaciones lineales: x = número de billetes de 10€ y = número de billetes de 20€ z = número de billetes de 50€ x + y + z = 95 x + y + z = 95 10x + 20y + 50z = 2000 10x + 20y + 50z = 2000 x = 2y x – 2y = 0
- 4. Triangularizamos el sistema: Multiplicamos la 1ª fila por -10 y la sumamos a la 2ª fila: Multiplicamos la 1ª fila por -1 y la sumamos a la 3ª fila: x + y + z = 95 10y + 40z = 1050 -3y -z = -95 Dividimos la 2ª fila entre 10. Multiplicamos la nueva 2ª fila por 3 y la sumamos a la 3ª fila: x + y + z = 95 x + y + z = 95 y + 4z = 105 y + 4z = 105 -3y -z = -95 11z = 220
- 5. Resolvemos el sistema: Resolvemos de abajo hacia arriba: x + y + z = 95 x = 95 – 25 – 20 = 50 y + 4z = 105 y = 105 – 4·20 = 25 11z = 220 z = 20
- 6. Damos la solución del sistema y comprobamos: SOLUCIÓN: 50 billetes de 10€, 25 billetes de 20€ y 20 billetes de 50€ COMPROBACIÓN: x + y + z = 95 50 + 25 + 20 = 95 10x + 20y + 50z = 2000 10·50+20·25+50+20=2000 x = 2y 50 = 2·25